【正文】 n n n n n n k n k nn n n nx x n x x n x n C x n C x n k C x C x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 1 2( ) (1 ) (1 )n n nF x x n x x n x?? ? ? ? ? 11( 1 ) ( 0 ) 2 2 1 ( 2 ) 2 1n n nF F n n n n??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因此結(jié)論成立 。 證法 2： 當(dāng) 11x? ? ? 時(shí) , 2 1 2 ( 1 ) 2 2 ( 2 ) 2 ( ) 1 2( ) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2 1n n n k n k nn n n nF x x n C x n C x n k C x C x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) x0 時(shí) , ( ) 0Fx? ? ,所以 ()Fx在 [0,1]上為增函數(shù) 。 11()() (1)kkkfxfx f ???,其中 ( , )k n n k N???,設(shè) 0 2 1 2 2 201( ) ( ) ( ) .. . ( ) .. . ( )knn n n k n nF x C f x C f x C f x C f x? ? ? ? ? ?, ? ?1,1x?? 。 求證：當(dāng) n? *N 時(shí)： （ I） 221132n n n nx x x x??? ? ?；（ II） 1211( ) ( )22nnnx????。在該數(shù)列的前 n項(xiàng)中共有 1 2 12? ? ? ? ?? n n n( )個(gè)奇數(shù)，故 S n n n n n nn ?? ? ? ? ? ? ?( ) [ ( ( ) ) ] ( )12 1 1 12 1 22 142 2179。 例 6．設(shè)數(shù)列 ??na 是公差為 d ，且首項(xiàng)為 da ?0 的等差數(shù)列， 求和： nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 解 析 ：因?yàn)?nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 ， 00111 nnnnnnnn CaCaCaS ???? ??? ? nnnnn CaCaCa 0110 ???? ? ?， 011 0 1 1 02 ( ) ( ) ( ) nn n n n n n nS a a C a a C a a C??? ? ? ? ? ? ? ? 0100( ) ( ) ( ) 2nnn n n n na a C C C a a? ? ? ? ? ? ? 110( ) 2 nnnS a a ??? ? ? ?。 ① 又 S nC n C C Cn nn nn n n? ? ? ? ? ??3 3 1 3 01 1 0( ) ? 178。 第 4 頁 共 23 頁 解 析 ： , lgnnnna a b n a a? ? ?， 232 3 4 1( 2 3 ) l g( 2 3 ) l gnnnnS a a a n a aa S a a a n a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? … … ①… … ② ① ②得： anaaaaSa nnn lg)()1( 12 ??????? ?， ? ?nn anana aaS )1(1)1( lg 2 ??????新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 點(diǎn)評：設(shè)數(shù)列 ??na 的等比數(shù)列，數(shù)列 ??nb 是等差數(shù)列，則數(shù)列 ? ?nnba 的前 n 項(xiàng)和 nS求解，均可用 錯(cuò)位相減法 。 解 析 ：)1( 221 1 ??????? kkka k?， ])1n(n 132 121 1[2S n ????????? 1211121113121211[2 ???????? ????????? ??????????? ???????? ?? n nnnn新疆源頭學(xué)子小屋 特級教師 王新敞htp::/ 點(diǎn)評：裂項(xiàng)求和的關(guān)鍵是先將形式復(fù)雜 的因式轉(zhuǎn)化的簡單一些。 四．典例解析 題型 1：裂項(xiàng)求和 第 3 頁 共 23 頁 例 1． 已知數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，且公差不為 0，首項(xiàng)也不為 0，求和： ?? ?ni iiaa1 11 。 （ 3）代換法。由遞歸關(guān)系及 k 個(gè)初始值可以確定的一個(gè)數(shù)列叫做遞歸數(shù)列。 ⑤錯(cuò)項(xiàng)相消法 對一個(gè)由等差數(shù)列及等比數(shù)列對應(yīng)項(xiàng)之積組成的數(shù)列的前 n 項(xiàng)和，常用錯(cuò)項(xiàng)相消法。最基本的形式是： an=(an－ an－ 1)+(an－ 1+an－ 2)+? +(a2－ a1)+a1； ③歸納、猜想法。 預(yù) 測 20xx 年高考對本將的考察為： 1．可能為一道考察關(guān)于數(shù)列的推導(dǎo)能力或解決生產(chǎn)、生活中的實(shí)際問題的解答題； 2．也可能為一道知識交匯題是數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、應(yīng)用問題上等聯(lián)系的綜合題，以及數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法等有機(jī)結(jié)合。第 1 頁 共 23 頁 普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書 — 數(shù)學(xué) [人教版 ] 高三新 數(shù)學(xué) 第一輪復(fù)習(xí)教案（講座 30） — 數(shù)列求和及數(shù)列實(shí)際問題 一．課標(biāo)要求： 1． 探索并掌 握一些基本的 數(shù)列 求前 n 項(xiàng)和 的方法； 2． 能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的 數(shù)列的通項(xiàng)和遞推 關(guān)系，并能用有關(guān) 等差、等比數(shù)列 知識解決相應(yīng)的 實(shí)際 問題。 三．要點(diǎn)精講 1．?dāng)?shù)列求通項(xiàng)與和 （ 1）數(shù)列前 n 項(xiàng)和 Sn 與通項(xiàng) an 的關(guān)系式： an=??? ? ?11s ss nn 12??nn 。 （ 3）數(shù)列前 n 項(xiàng)和 ①重要公式： 1+2+? +n=21 n(n+1)； 第 2 頁 共 23 頁 12+22+? +n2=61n(n+1)(2n+1)； 13+23+? +n3=(1+2+? +n)2=41n2(n+1)2； ②等差數(shù)列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數(shù)列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項(xiàng) 求和 將數(shù)列的通項(xiàng)分成兩個(gè)式子的代數(shù)和，即 an=f(n+1)－ f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項(xiàng)，這種先裂后消的求和法叫裂項(xiàng)求和法。nnn cba ?? , 其中 ??nb 是等差數(shù)列， ??nc 是等比數(shù)列，記nnnnn cbcbcbcbS ?????? ?? 112211 ，則 1 2 1 1n n n n nqS b c b b c??? ? ? ? ? ?，? ⑥并項(xiàng)求和 把數(shù)列的某些項(xiàng)放在一起先求和，然后再求 Sn。如由 an+1=2an+1，及 a1=1，確定的數(shù)列 }12{ ?n 即為遞歸數(shù)列。包括 代數(shù)代換，對數(shù)代數(shù)，三角代數(shù)。 解 析 ：首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1 ， 則?? ?ni iiaa1 11 = 1111 )11(1 ?? ?? nn aa naad 。 題型 2：錯(cuò)位相減法 例 3． 設(shè) a 為常數(shù)，求數(shù)列 a， 2a2， 3a3，?， nan，?的前 n 項(xiàng)和 。 題型 3：倒序相加 例 5． 求 S C C nCn n n nn? ? ? ?3 6 31 2 ?。 ② 所以 S nn n? ?3 2 1178。 第 5 頁 共 23 頁 點(diǎn)評：此類問題還可變換為探索題形：已知數(shù)列 ??na 的前 n 項(xiàng)和 nS 12)1( ??? nn ，是否存在等差數(shù)列 ??nb 使得 nnnnnn CbCbCba ???? ?2211 對一切自然數(shù) n 都成立 。 例 8． 求數(shù)列 1， 3＋ 13， 32＋ 132， …… ， 3n＋ 13n的各項(xiàng)的和 。 解析：（ I）因?yàn)?39。 (I) 寫出 (1)kf ； (II) 證明 : 對任意的 ? ?12, 1,1xx?? , 恒有112( ) ( ) 2 ( 2) 1nF x F x n n?? ? ? ? ?。 因函數(shù) ()Fx為偶函數(shù)所以 ()Fx在 [1,0]上為減函數(shù) 所以對 任意的 ? ?12, 1,1xx?? 12( ) ( ) (1 ) ( 0 )F x F x F F? ? ? 0 1 2 1( 1 ) ( 0) ( 1 ) .. . ( 1 ) .. . 2knn n n n nF F C nC n C n k C C ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又因 1 2 1 1 0( 1 ) ( 0 ) 2 3 .. . .. .knn n n n nF F C C k C n C C??? ? ? ? ? ? ? ? 所以 1 2 1 1 02 [ ( 1 ) ( 0 ) ] ( 2 ) [ .. . .. . ] 2knn n n n nF F n C C C C C??? ? ? ? ? ? ? ? ? 1 2 1 1 012( 1 ) ( 0) [ .. . .. . ]22 ( 2 2) 1 2 ( 2) 12knn n n n nnnnF F C C C C Cn nn????? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? 因此結(jié)論成立 。 點(diǎn)評：數(shù)列與函數(shù)、導(dǎo)數(shù)結(jié)合在一塊，考察數(shù)列是一種特殊的函數(shù)的性質(zhì)，其中還要用到數(shù)列的函數(shù)性質(zhì)來解釋問題。 （Ⅰ）求 xn+1 與 xn 的關(guān)系式； （Ⅱ）猜測：當(dāng)且僅當(dāng) x1， a， b， c 滿足什么條件時(shí)，每年年初魚群的總量保持不變？（不要求證明） （Ⅱ）設(shè) a＝ 2， b＝ 1，為保證對任意 x1∈（ 0,2），都有 xn＞ 0， n∈ N*，則捕撈強(qiáng)度 b的最大允許值是多少？證明你的結(jié)論。 而 x1∈ (0, 2)，所以 ]1,0(?b 。 點(diǎn)評：數(shù)學(xué)歸納法在猜想證明數(shù)列通項(xiàng)和性質(zhì)上有很大的用處，同時(shí)該題又結(jié)合了實(shí)際應(yīng)用題解決問題。 若第一次出現(xiàn)的零項(xiàng)為第 n 項(xiàng)，記 an1=A（ A≠ 0） ，則自第 n 項(xiàng)開始 ，沒三個(gè)相鄰的項(xiàng)周期地取值 O， A， A，即 331320, 0 , 1 , 2 , 3 ,nknknkaa A kaA??????????????… … 所以絕對 等差數(shù)列 {an}中有無窮多個(gè)為零的項(xiàng)。 解答：（ 1）由已知，得 S1=a1=1,S2=a1+a2=7,S3=a1+a2+a3=18。 方法 2. 由已知， S1=a1=1, 又 (5n8)Sn+1(5n+2)Sn=20n8,且 5n8 0? , 所以數(shù)列 }{}{ nn a，s 因而數(shù)列是惟一確定的 是惟一確定的。 五．思維總結(jié) 1． 數(shù)列求和的常用方法 （ 1）公式法 ： 適用于等差、等比數(shù)列或可轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列 ； （ 2） 裂項(xiàng)相消法 ： 適用于???????1nnaac 其中 { na }是各項(xiàng)不為 0 的等差數(shù)列， c 為常數(shù)；部分無理數(shù)列、含階乘的數(shù)列等 ； （ 3） 錯(cuò)位相減法 ： 適用于 ? ?nnba 其中 { na }是等差數(shù)列， ??nb 是各項(xiàng)不為 0 的等比數(shù)列。體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān) 系。 三．要點(diǎn)精講 1． 等比數(shù)列定義 一般地，如果一個(gè)數(shù)列從 第二項(xiàng)起 ． ． ． ． ，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比等于同一個(gè) 常數(shù) ． ． ，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比；公比通常用字母 q 表示( 0)q? ，即： 1na? ： ( 0