蘇教版高中數(shù)學(xué)選修1-222直接證明與間接證明2篇-wenkub
2022-12-20 04:43:22 本頁(yè)面
【正文】 的面積比這個(gè)正方形的面積大． 評(píng)注：在分析法證明中，從 結(jié)論出發(fā)的每一個(gè)步驟所得到的判斷都是 結(jié)論成立的充分條件，最后一步歸結(jié)到已被證明了的事實(shí)．因此，從最后一步可以倒推回去，直到結(jié)論，但這個(gè)倒推過(guò)程可以省略． 例 3 已 知 三 個(gè) 關(guān) 于 x 的 方 程 2 , 4 0xx? ? ? ， 2 ( 1) 16 0x m x? ? ? ?；2 2 3 10 0x m x m? ? ? ?中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，求實(shí)數(shù) m的取值范圍． 解析：三個(gè)方程都沒(méi)有實(shí)根的充要條件是 123000???????????，． 即22216 0( 1) 64 04 4 ( 3 10 ) 0mmmm? ???? ? ??? ? ? ? ??，．解得 24m? ? ? ． ∴使三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的實(shí)數(shù) m的取值范圍為 ? ? ? ?24? ? ?∞ ， ， ∞． 評(píng)注：反證法的邏輯根據(jù)為：要證明命題“若 p則 q”為真，應(yīng)證“若 p則 q? ”為假 ，因此，反證法的核心是從 q? 出發(fā)導(dǎo)出矛盾． 綜合法及其應(yīng)用 綜合法就是從命題提供的條件，或是已證明過(guò)的結(jié)論，或是已知的定義、公理、定理等條件及事實(shí)出發(fā)，經(jīng)正確的推理得到結(jié)論的方法，是一種直接的演繹推理方法，也就是“由因?qū)Ч钡姆椒ǎ? 一、綜合法適用范圍 1．定義明確的題型，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，求證無(wú)條件的等式或不等式問(wèn)題等； 2．已知條件明確，且容易通過(guò)找已知條件的必要條件逼近欲得結(jié)論的題型． 二、應(yīng)用舉例 例１ 設(shè)函數(shù) ()fx 在區(qū)間 [01]， 上有定義， (0) (1)ff? ， 且 對(duì) 任 意 的1 2 1 2[0 1]x x x x??， ， ， ，均有 2 1 2 1( ) ( )f x f x x x? ? ?，求證： 21 1( ) ( ) 2f x f x??． 分析：直接運(yùn)用綜合法給予證明，不妨設(shè) 1201xx?≤ ≤ ，運(yùn)用分類(lèi)討論即可． 證明：不妨設(shè) 1201xx?≤ ≤ ，則 （ 1）如果2112xx? ≤，則2 1 2 1 1( ) ( ) 2f x f x x x? ? ? ≤． （ 2）如果2112xx??，由 (0) (1)ff? ，得 2 1 2 1( ) ( ) [ ( ) ( 1 ) ] [ ( 0) ( ) ]f x f x f x f f f x? ? ? ? ? 21( ) (1 ) ( 0) ( )f x f f f x? ? ?≤ 2 1 2 1 11 0 1 ( ) 2x x x x? ? ? ? ? ? ? ?。 綜合（ 1）（ 2），得21 1( ) ( ) 2f x f x??． 例 2 已知： x， y， z都是小于 1的正數(shù)，且它們的和為 2．求證： 413xy yz zx? ? ? ≤． 分析：直接運(yùn)用綜合法進(jìn) 行證明，但證明過(guò)程中要應(yīng)用不等式證明的放縮法． 證明：∵ 2x y z? ? ? ， ∴ 2 2 2 2 2 2 4x y z x y y z zx? ? ? ? ? ?． ∵ 222x y xy? ≥ ， 222z x zx? ≥ ， 222y z yz? ≥ ， ∴ 3( ) 4xy yz zx?? ≤． 即 43xy yz zx?? ≤ ． ∵ 01x??， 01y??， 01z??， ∴ 10x??， 10y??， 10z?? ， ∴ (1 )(1 )(1 ) 0x y z? ? ? ?． ∴ 10x y x y z x z y z x y z? ? ? ? ? ? ? ?． ∴ 1 2 1 1 1x y y z zx x y z x y z x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?． ∴ 1xy zy zx? ? ? 得證． 瞄準(zhǔn)反證法 反證法是間接證明的一種基本方法，常常是解決某些“疑難”問(wèn)題的有力工具．對(duì)于一些用直接證明的方法難以證明的結(jié)論，常采用反證法．熟練掌握并運(yùn)用反證法，對(duì)提高同學(xué)們的解題能力大有裨益．下面就反證法的要點(diǎn)進(jìn)行歸納整理． 1．反證法的基本思想是：否定結(jié)論就會(huì)導(dǎo)致矛盾．它可以用下面的程序來(lái)表示：“否定—— 推理 —— 肯定．” “否定” —— 假設(shè)所要證明的結(jié)論不成立
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