【正文】 ） 人口增長率（?） 工薪收入（元） 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額（元 /人） 造價（元 /平方米） 人均 全年住房支出（元 ） 城鎮(zhèn)房地產(chǎn)開發(fā)投資（億元） 房 價（元 /平方米） 北 京 13799 天 津 6886 石家莊 3263 上 海 12840 南 京 4983 杭 州 7826 福 州 5427 武 漢 3532 長 沙 2680 成 都 3509 昆 明 2931 拉 薩 2452 西 安 3223 平 均 4 這里s sss mjjj ??? ?21充當(dāng)?shù)?j 個子集的權(quán)，并且等于子集（即 A 值為 ja ）中的樣本個數(shù)除以 S 中的樣本總數(shù) 根據(jù)上面給出的期望信息計算公式，對于給定的子集 jS ，其期望信息由下式計算： ? ? ????mi ijijmjjj ppsssI 1 221 lo g, ?， 其中jijij ssp ? 是 jS 中樣本屬于類 iC 的概率。對于一個給定的樣本分類所需要的期望信息由下式給出： ? ? ???? mi iim ppsssI 1 221 lo g, ? ， 其中 ip 是任意樣本屬于 iC 的概率，一般可以用 ssi 來估計。因此， ID3 總 是選擇具有最高信息增益的屬性作為當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的測試屬性。依照此表可以求得各因素 對 商品房平均 售價 的影響程度 ，計算方法采用 信息增益 法 。 三 、 基本 假設(shè) 假設(shè)一 、 所選的城市物價和其他情況相對比較穩(wěn)定，全局內(nèi)沒有大起大落的現(xiàn)象 ； 假設(shè)二 、 未來幾年不 會發(fā)生特大自然災(zāi)害 、 戰(zhàn)爭動亂 以及 人為 傷 害 ； 假設(shè)三 、 房屋建造成本用竣工房屋造價來代替 ； 假設(shè)四、 房屋價格通過商品房平均銷售價（元 /平方米）來表示； 假設(shè)五 、 房價購買能力用人均儲蓄存款、人均可支配收入來表示，銀行利率每年保持穩(wěn)定； 假設(shè)六、 忽略消費(fèi)成本如交通費(fèi)用、物業(yè)費(fèi)用、停車費(fèi)用等對房價的影響； 假設(shè) 七 、 供需平衡指：供應(yīng)量 =需求量 。判斷房價是否合理，若不合理，則分析相關(guān)的成因， 看如何達(dá)到抑制房價的目的。 問題二分析 本問題的對某地區(qū)未來幾年的房價走勢進(jìn)行預(yù)測，較為準(zhǔn)確地預(yù)測房價，對社會發(fā)展極為重要 ，可以為經(jīng)濟(jì)決策提供參考，故其研究意義相當(dāng)重大。房價問題關(guān)系國計民生，既是經(jīng)濟(jì)問題，更是影響社會穩(wěn)定的重要民生問題。 問題二： 選擇某一地區(qū)，調(diào)查近些年來房價變化情況，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)預(yù)測未來幾年該地區(qū)房價的走勢。第一， 用信息增益法找出影響房價的主要因素，再 用概率論與數(shù)理統(tǒng)計的方法 確定各 因素 與房價 之間 呈 近似線性關(guān)系，確定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的參數(shù)，用回歸分析確定模型精度及檢驗，從而得出一個完整的數(shù)學(xué)模型；第三，利用 往年數(shù)據(jù)建立擬合曲線，預(yù)測了未來四年 影響北京市房價的主要因素及房價 走勢；第四，根據(jù)分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房價合理的具體措施，以及可能對經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進(jìn)行定量 分析；第五，根據(jù)模型及建議進(jìn)行合理的預(yù)測，最后分析模型的優(yōu)缺點(diǎn)并提出了改進(jìn)方向。 陜西理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽 房價 問題的模型設(shè)計 及相關(guān)問題討論 摘要 : 本文選取了全國幾類代表性城市，并收集了影響房價的因素， 選取了影響房價的主要因素 ， 發(fā)現(xiàn) 了房價和其主要因素之間近似成線性關(guān)系， 進(jìn) 而建立表示房價的數(shù)學(xué)模型 —— 多元線性回歸模型 （ Y = 1a *Δ A + 2a *Δ B +3a *Δ C + 4a *Δ D+ pjY）。 關(guān)鍵詞： 房價問題 回歸模型 擬合曲線 預(yù)測 經(jīng)濟(jì)發(fā)展 1 一 問題 的提出 房價問題事關(guān)國計民生，對國家經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會穩(wěn)定有重大影響，一直是各國政府大力關(guān)注的問題。 問題三：對房價的合理 性 和形成 進(jìn)行分析 。 房價的關(guān)鍵是影響房價問題的因素，但影響房價問題的因素有很多，要逐一分析每一種因素是不可能辦到的，只要抓住主要因素去著重分析即可。我們需要確定的是具體研究哪一座城市的房價數(shù)據(jù)，然后再考慮房價走勢的預(yù)測問題。 2 問題四分析 房價飛漲對社會影響的殺傷力很大，房價飛漲不僅影響到房地產(chǎn)市場上供求雙方，還具有很強(qiáng)的轉(zhuǎn)移社會財富的效應(yīng)，引起了民眾和政府的高度關(guān)注。 四、 定義 符號說明 A：表示 工薪收入（元） ； B：表示 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額（元 /人） ； C：表示 造價（元 /平方米） ； D： 人均 全年住房支出（元） ； Y： 商品房平均銷售價（ 元 /平方米） ； t? ： 為隨機(jī)變量 ； 2 б ： 序列的方差 ； pjY,pjA,pjB,pjC,pjD 分別 表示 Y,A,B,C,D 序列的均值序列 ； Δ Y,Δ A,Δ B,Δ C,Δ D 分別表示 YpjY,ApjA,BpjB,CpjC,DpjD 序列，即中心化序列 ； 1a , 2a , 3a , 4a ：模型參數(shù) ； S(a)：為殘差的平方和 ； n ： 統(tǒng)計城市數(shù)（樣本數(shù)） ； 181。 3 表一 13 個主要城市 商品房平均銷售價 及其相關(guān)因素的統(tǒng)計表 [1] 信息增益計算法 [2] 信息增益基于信息論中熵的概念。 設(shè) S 是 s 個數(shù)據(jù)樣本的集合。 設(shè)屬性 A 有 v 個不同的值 ? ?vaaa ?, 21 。 由期望信息和熵可以得到對應(yīng)的信息增益。在此我們借用 ID3 算法計算出每個屬性關(guān)于房價的信息增益，而為了測試 準(zhǔn)確，我們選取半數(shù)以上信息增益較大的屬性作為測試屬性，即為影響 A 的屬性。 為了計算各因子的信息增益，我們先給定房價所需的信息期望： ? ? ? ? ????? 139l o g139134l o g1349,4,2221 IssI 接下來計算每個屬性的的熵，我們從竣工面積開始。 7 主要因素和 商品房平均銷售價 的關(guān)系圖 通過表一依次做出主要因素和 商品房平均銷售價 的關(guān)系圖 （ 利用 MATLAB 軟件，關(guān)系圖畫法 程序 參見附錄 2） ： 圖 1 圖 2 8 圖 3 圖 4 由 商品房平均銷售價分別與 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額 、 造價、 人均 全年住房支出 的關(guān)系圖可以看出， 商品房平均銷售價 和 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額 、 造價、 人均 全年住房支出 存在著相 依的關(guān)系 。ya 表示序列 Δ Y 和 Δ A 的協(xié)方差， 181。da 表示序列 Δ D和 Δ A 的協(xié)方差， △ Y △ A △ B △ C △ D 北 京 天 津 石家莊 上 海 南 京 杭 州 福 州 武 漢 長 沙 成 都 昆 明 拉 薩 西 安 11 則 上式 可寫成： 181。ca+ 4a *181。bb+ 3a *181。ac+ 2a *181。yd+ 1a *181。dd=0式 4 式 式 2，式 3，式 4 寫成矩陣相乘的形式為： a a b a c a d a a b b b c b d b a c b c c c d c a d b d c d d d ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? * ??????????????4321aaaa = ya yb yc yd???????????????? 則 求 解 參數(shù)的公式為： ??????????????4321aaaa = 1 a a b a c a d a a b b b c b d b a c b c c c d c a d b d c d d d ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????? * ya yb yc yd????????????????式 5 具體到本 問 題中，我們運(yùn)用往年的統(tǒng)計數(shù)據(jù)對模型中各個參數(shù)的求解。ab= 910? 181。ad= 610? 12 181。db=181。cd= 610? 181。yc= 710? 181。 模型計算值 Y = 1a *（ ApjA） + 2a *(BpjB) + 3a *(CpjC) + 4a *(DpjD) + pjY 將上式右側(cè)參數(shù)及矩陣帶入可得模型計算值 Y（利用 MATLAB 軟件，計算