【正文】 ） 人口增長(zhǎng)率（?） 工薪收入（元） 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額（元 /人） 造價(jià)（元 /平方米） 人均 全年住房支出（元 ） 城鎮(zhèn)房地產(chǎn)開(kāi)發(fā)投資（億元） 房 價(jià)（元 /平方米） 北 京 13799 天 津 6886 石家莊 3263 上 海 12840 南 京 4983 杭 州 7826 福 州 5427 武 漢 3532 長(zhǎng) 沙 2680 成 都 3509 昆 明 2931 拉 薩 2452 西 安 3223 平 均 4 這里s sss mjjj ??? ?21充當(dāng)?shù)?j 個(gè)子集的權(quán)，并且等于子集（即 A 值為 ja ）中的樣本個(gè)數(shù)除以 S 中的樣本總數(shù) 根據(jù)上面給出的期望信息計(jì)算公式，對(duì)于給定的子集 jS ，其期望信息由下式計(jì)算： ? ? ????mi ijijmjjj ppsssI 1 221 lo g, ?， 其中jijij ssp ? 是 jS 中樣本屬于類(lèi) iC 的概率。對(duì)于一個(gè)給定的樣本分類(lèi)所需要的期望信息由下式給出： ? ? ???? mi iim ppsssI 1 221 lo g, ? ， 其中 ip 是任意樣本屬于 iC 的概率，一般可以用 ssi 來(lái)估計(jì)。因此， ID3 總 是選擇具有最高信息增益的屬性作為當(dāng)前結(jié)點(diǎn)的測(cè)試屬性。依照此表可以求得各因素 對(duì) 商品房平均 售價(jià) 的影響程度 ，計(jì)算方法采用 信息增益 法 。 三 、 基本 假設(shè) 假設(shè)一 、 所選的城市物價(jià)和其他情況相對(duì)比較穩(wěn)定，全局內(nèi)沒(méi)有大起大落的現(xiàn)象 ； 假設(shè)二 、 未來(lái)幾年不 會(huì)發(fā)生特大自然災(zāi)害 、 戰(zhàn)爭(zhēng)動(dòng)亂 以及 人為 傷 害 ； 假設(shè)三 、 房屋建造成本用竣工房屋造價(jià)來(lái)代替 ； 假設(shè)四、 房屋價(jià)格通過(guò)商品房平均銷(xiāo)售價(jià)（元 /平方米）來(lái)表示； 假設(shè)五 、 房?jī)r(jià)購(gòu)買(mǎi)能力用人均儲(chǔ)蓄存款、人均可支配收入來(lái)表示，銀行利率每年保持穩(wěn)定； 假設(shè)六、 忽略消費(fèi)成本如交通費(fèi)用、物業(yè)費(fèi)用、停車(chē)費(fèi)用等對(duì)房?jī)r(jià)的影響； 假設(shè) 七 、 供需平衡指：供應(yīng)量 =需求量 。判斷房?jī)r(jià)是否合理，若不合理，則分析相關(guān)的成因， 看如何達(dá)到抑制房?jī)r(jià)的目的。 問(wèn)題二分析 本問(wèn)題的對(duì)某地區(qū)未來(lái)幾年的房?jī)r(jià)走勢(shì)進(jìn)行預(yù)測(cè)，較為準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)房?jī)r(jià)，對(duì)社會(huì)發(fā)展極為重要 ，可以為經(jīng)濟(jì)決策提供參考，故其研究意義相當(dāng)重大。房?jī)r(jià)問(wèn)題關(guān)系國(guó)計(jì)民生，既是經(jīng)濟(jì)問(wèn)題，更是影響社會(huì)穩(wěn)定的重要民生問(wèn)題。 問(wèn)題二： 選擇某一地區(qū)，調(diào)查近些年來(lái)房?jī)r(jià)變化情況，并根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)未來(lái)幾年該地區(qū)房?jī)r(jià)的走勢(shì)。第一， 用信息增益法找出影響房?jī)r(jià)的主要因素，再 用概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法 確定各 因素 與房?jī)r(jià) 之間 呈 近似線性關(guān)系，確定模型；第二，用最小二乘法求解模型中的參數(shù)，用回歸分析確定模型精度及檢驗(yàn)，從而得出一個(gè)完整的數(shù)學(xué)模型；第三，利用 往年數(shù)據(jù)建立擬合曲線，預(yù)測(cè)了未來(lái)四年 影響北京市房?jī)r(jià)的主要因素及房?jī)r(jià) 走勢(shì)；第四，根據(jù)分析結(jié)果，進(jìn)一步探討使得房?jī)r(jià)合理的具體措施，以及可能對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展產(chǎn)生的影響，并進(jìn)行定量 分析；第五，根據(jù)模型及建議進(jìn)行合理的預(yù)測(cè)，最后分析模型的優(yōu)缺點(diǎn)并提出了改進(jìn)方向。 陜西理工學(xué)院大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽 房?jī)r(jià) 問(wèn)題的模型設(shè)計(jì) 及相關(guān)問(wèn)題討論 摘要 : 本文選取了全國(guó)幾類(lèi)代表性城市，并收集了影響房?jī)r(jià)的因素， 選取了影響房?jī)r(jià)的主要因素 ， 發(fā)現(xiàn) 了房?jī)r(jià)和其主要因素之間近似成線性關(guān)系， 進(jìn) 而建立表示房?jī)r(jià)的數(shù)學(xué)模型 —— 多元線性回歸模型 （ Y = 1a *Δ A + 2a *Δ B +3a *Δ C + 4a *Δ D+ pjY）。 關(guān)鍵詞： 房?jī)r(jià)問(wèn)題 回歸模型 擬合曲線 預(yù)測(cè) 經(jīng)濟(jì)發(fā)展 1 一 問(wèn)題 的提出 房?jī)r(jià)問(wèn)題事關(guān)國(guó)計(jì)民生，對(duì)國(guó)家經(jīng)濟(jì)發(fā)展和社會(huì)穩(wěn)定有重大影響，一直是各國(guó)政府大力關(guān)注的問(wèn)題。 問(wèn)題三：對(duì)房?jī)r(jià)的合理 性 和形成 進(jìn)行分析 。 房?jī)r(jià)的關(guān)鍵是影響房?jī)r(jià)問(wèn)題的因素，但影響房?jī)r(jià)問(wèn)題的因素有很多，要逐一分析每一種因素是不可能辦到的，只要抓住主要因素去著重分析即可。我們需要確定的是具體研究哪一座城市的房?jī)r(jià)數(shù)據(jù)，然后再考慮房?jī)r(jià)走勢(shì)的預(yù)測(cè)問(wèn)題。 2 問(wèn)題四分析 房?jī)r(jià)飛漲對(duì)社會(huì)影響的殺傷力很大，房?jī)r(jià)飛漲不僅影響到房地產(chǎn)市場(chǎng)上供求雙方，還具有很強(qiáng)的轉(zhuǎn)移社會(huì)財(cái)富的效應(yīng)，引起了民眾和政府的高度關(guān)注。 四、 定義 符號(hào)說(shuō)明 A：表示 工薪收入（元） ； B：表示 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額（元 /人） ； C：表示 造價(jià)（元 /平方米） ； D： 人均 全年住房支出（元） ； Y： 商品房平均銷(xiāo)售價(jià)（ 元 /平方米） ； t? ： 為隨機(jī)變量 ； 2 б ： 序列的方差 ； pjY,pjA,pjB,pjC,pjD 分別 表示 Y,A,B,C,D 序列的均值序列 ； Δ Y,Δ A,Δ B,Δ C,Δ D 分別表示 YpjY,ApjA,BpjB,CpjC,DpjD 序列，即中心化序列 ； 1a , 2a , 3a , 4a ：模型參數(shù) ； S(a)：為殘差的平方和 ； n ： 統(tǒng)計(jì)城市數(shù)（樣本數(shù)） ； 181。 3 表一 13 個(gè)主要城市 商品房平均銷(xiāo)售價(jià) 及其相關(guān)因素的統(tǒng)計(jì)表 [1] 信息增益計(jì)算法 [2] 信息增益基于信息論中熵的概念。 設(shè) S 是 s 個(gè)數(shù)據(jù)樣本的集合。 設(shè)屬性 A 有 v 個(gè)不同的值 ? ?vaaa ?, 21 。 由期望信息和熵可以得到對(duì)應(yīng)的信息增益。在此我們借用 ID3 算法計(jì)算出每個(gè)屬性關(guān)于房?jī)r(jià)的信息增益，而為了測(cè)試 準(zhǔn)確，我們選取半數(shù)以上信息增益較大的屬性作為測(cè)試屬性，即為影響 A 的屬性。 為了計(jì)算各因子的信息增益，我們先給定房?jī)r(jià)所需的信息期望： ? ? ? ? ????? 139l o g139134l o g1349,4,2221 IssI 接下來(lái)計(jì)算每個(gè)屬性的的熵，我們從竣工面積開(kāi)始。 7 主要因素和 商品房平均銷(xiāo)售價(jià) 的關(guān)系圖 通過(guò)表一依次做出主要因素和 商品房平均銷(xiāo)售價(jià) 的關(guān)系圖 （ 利用 MATLAB 軟件，關(guān)系圖畫(huà)法 程序 參見(jiàn)附錄 2） ： 圖 1 圖 2 8 圖 3 圖 4 由 商品房平均銷(xiāo)售價(jià)分別與 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額 、 造價(jià)、 人均 全年住房支出 的關(guān)系圖可以看出， 商品房平均銷(xiāo)售價(jià) 和 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲(chǔ)蓄余額 、 造價(jià)、 人均 全年住房支出 存在著相 依的關(guān)系 。ya 表示序列 Δ Y 和 Δ A 的協(xié)方差， 181。da 表示序列 Δ D和 Δ A 的協(xié)方差， △ Y △ A △ B △ C △ D 北 京 天 津 石家莊 上 海 南 京 杭 州 福 州 武 漢 長(zhǎng) 沙 成 都 昆 明 拉 薩 西 安 11 則 上式 可寫(xiě)成： 181。ca+ 4a *181。bb+ 3a *181。ac+ 2a *181。yd+ 1a *181。dd=0式 4 式 式 2，式 3，式 4 寫(xiě)成矩陣相乘的形式為： a a b a c a d a a b b b c b d b a c b c c c d c a d b d c d d d ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??????? * ??????????????4321aaaa = ya yb yc yd???????????????? 則 求 解 參數(shù)的公式為： ??????????????4321aaaa = 1 a a b a c a d a a b b b c b d b a c b c c c d c a d b d c d d d ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ???????? * ya yb yc yd????????????????式 5 具體到本 問(wèn) 題中，我們運(yùn)用往年的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)對(duì)模型中各個(gè)參數(shù)的求解。ab= 910? 181。ad= 610? 12 181。db=181。cd= 610? 181。yc= 710? 181。 模型計(jì)算值 Y = 1a *（ ApjA） + 2a *(BpjB) + 3a *(CpjC) + 4a *(DpjD) + pjY 將上式右側(cè)參數(shù)及矩陣帶入可得模型計(jì)算值 Y（利用 MATLAB 軟件，計(jì)算