【正文】 5 表 二 城市編號 竣工面積 人口增長率 工薪收入 儲蓄余額 造價 人均 每年住房支出 開發(fā)商投資 房價 1 0 0 1 1 1 1 1 1 2 0 0 1 1 1 1 0 1 3 0 1 0 0 0 0 1 0 4 0 0 1 1 1 1 1 1 5 1 0 0 0 1 1 1 0 6 1 0 1 1 1 1 1 1 7 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0 1 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 0 0 1 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 1 0 0 0 1 0 0 12 0 1 0 0 0 0 0 0 13 0 1 1 0 0 1 0 0 最終是根據(jù)房價來求其他因子的信息增益 ，所以統(tǒng)計房價中 0,1 的樣本數(shù)為： 1s =1 有 4個樣本， 2s =0 有 9 個樣本。 為了計算各因子的信息增益，我們先給定房價所需的信息期望： ? ? ? ? ????? 139l o g139134l o g1349,4,2221 IssI 接下來計算每個屬性的的熵，我們從竣工面積開始。觀察竣工面積的每個樣本值的分布，對于竣工面積 =1，有 1 個房價 =1,1 個房價 =0；對于竣工面積 =0，有 3 個房價 =1，有 8 個房價 =0（見表 三 ）。所以 8,3。1,1 22122111 ???? ssss 房價 =1 房價 =0 竣工面積 =1 1 1 竣工面積 =0 3 8 表 三 則 ? ? ???? 21lo g2121lo g21,222111 ssI1 ? ? ???? 118lo g118113lo g113,222212 ssI 因此該屬性對應(yīng)的熵為： ? ? ? ? ? ? ???22122111 ,1311,132 ssIssIE 竣工面積 信息增益為： ? ? ? ? ? ? ??? 竣工面積竣工面積 EssIG ai n 21 , 6 同理可得： 各個屬性等于 1 或等于 0 時，房價等于 1 和房價等于 0時的樣本數(shù)如表 四 所示： 房價 =1 房價 =0 人口增長率 =1 0 5 人口增長率 =0 4 4 房價 =1 房價 =0 工薪收入 =1 4 1 工薪收入 =0 0 8 房價 =1 房價 =0 儲蓄余額 =1 4 0 儲蓄余額 =0 0 9 房價 =1 房價 =0 造價 =1 4 1 造價 =0 0 8 房價 =1 房價 =0 年人均住房支出 =1 4 3 年人均住房支出 =0 0 6 房價 =1 房價 =0 開發(fā)商投資 =1 3 3 開發(fā)商投資 =0 1 6 表 四 同理， 計算各個屬性的信息增益為： ? ? ? ? ? ? ??? 人口增長率人口增長率 EssIG a i n 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 工薪收入工薪收入 EssIG ai n 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 儲蓄余額儲蓄余額 EssIG a in 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 造價造價 EssIG a in 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 年人均住房支出年人均住房支出 EssIG a i n 21 , ? ? ? ? ? ? ??? 開發(fā)商投資開發(fā)商投資 EssIG a in 21 , 由以上數(shù)據(jù)比較可得： Gain(儲蓄余額 )Gain(工薪收入 )=Gain(造價 )Gain(年人均住房支出 )Gain(人口增長率 )Gain(開發(fā)商投 資 )Gain(竣工面積 ) 因此 ， 選擇其半數(shù)以上的屬性作為預(yù)測屬性，即為影響房價的因子為儲蓄余額、工薪收入、造價以及年人均住房支出。 7 主要因素和 商品房平均銷售價 的關(guān)系圖 通過表一依次做出主要因素和 商品房平均銷售價 的關(guān)系圖 （ 利用 MATLAB 軟件，關(guān)系圖畫法 程序 參見附錄 2） ： 圖 1 圖 2 8 圖 3 圖 4 由 商品房平均銷售價分別與 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額 、 造價、 人均 全年住房支出 的關(guān)系圖可以看出， 商品房平均銷售價 和 工薪收入 、 城鄉(xiāng)人均儲蓄余額 、 造價、 人均 全年住房支出 存在著相 依的關(guān)系 。 9 一般地，當(dāng)影響結(jié)果 Y 的因素不只是一個時，要通過作圖來確定它們的關(guān)系是困難的，可以假設(shè)它們之間有線性相關(guān)關(guān)系 ， 即得到我們的 模型 ： Y= 1a A+ 2a B+ 3a C+ 4a D+ t? 六、模型的求解 模型的求解過程： 模型 為 Y= 1a A+ 2a B+ 3a C+ 4a D+ t? 上式 表示因變量 Y 對自變量 A,B,C,D 的相依性，其中 1a , 2a , 3a , 4a 為 未知 參數(shù) ， 模型特點如下： A、 B、 C、 D 為一般變量， t? 為隨機變量； Y 為一般變量和隨機變量的線形組合， Y 序列的值既取決于 A,B,C， D 序列，又受制于 t? 。 如表 五 所示各序列 t? 一般假定為白噪聲序列，假定其服從均值為 0，方差為 2 б 的正態(tài)分布 表 五 城市 Y A B C D 北 京 13799 天 津 6886 石家莊 3263 上 海 12840 南 京 4983 杭 州 7826 福 州 5427 武 漢 3532 長 沙 2680 成 都 3509 昆 明 2931 拉 薩 2452 西 安 3223 將其中心化后得 YpjY= 1a *(ApjA)+ 2a *(BpjB)+ 3a *(CpjC)+ 4a *(DpjD)+ t? 10 上式即為 Δ Y = 1a *Δ A + 2a *Δ B + 3a *Δ C + 4a *Δ D+ t? 現(xiàn)在對模型的參數(shù)進(jìn)行最小二乘法估計 [3] 其中 Δ Y、 Δ A、 Δ B、 Δ C、 Δ D 各序列（矩陣）的值見表 六 表 六 令 a= ( 1a , 2a , 3a , 4a )T ,則 a 的最小二乘估計，應(yīng)使殘差 t? 平方和 S(a)達(dá)到最小，其中 稱 實際值 與回歸值 的差為殘差。 S(a)=??nt12t? =??nt1(Δ Y t 1a *Δ A t 2a *Δ B t 3a *Δ C t 4a *Δ Dt)2 由于 S(a)是 1a , 2a , 3a , 4a 的 一個非負(fù)二次型，故其極小值必存在， 根據(jù)微積分的理論可知 ，只要求 S(a)分別對 1a , 2a , 3a , 4a 的一階偏導(dǎo)數(shù) aaS?? )( =0， 先對 1a 求一階偏導(dǎo) 即可得到 ： 1)(aaS?? =??nt12*(Δ tY 1a *Δ tA 2a *Δ tB 3a *Δ tC 4a *Δ tD )*(Δ tA )=0 化簡上式可得： ??nt1 Δ tY *Δ tA + 1a *Δ tA *Δ tA + 2a *Δ tB *Δ tA + 3a *Δ tC *Δ tA + 4a *Δ tD *Δ tA =0 用 181。ya 表示序列 Δ Y 和 Δ A 的協(xié)方差， 181。aa 表示 Δ A 序列的 協(xié) 方差， 181。ba 表示序列 Δ B和 Δ A 的協(xié)方差， 181。ca 表示序列 Δ C和 Δ A 的協(xié)方差 ， 181。da 表示序列 Δ D和 Δ A 的協(xié)方差， △ Y △ A △ B △ C △ D 北 京 天 津 石家莊 上 海 南 京 杭 州 福 州 武 漢 長 沙 成 都 昆 明 拉 薩 西 安 11 則 上式 可寫成： 181。ya+ 1a *181。aa+ 2a *181。ba+ 3a *181。ca+ 4a *181。da=0式 1 同理2)(aaS?? ＝ 0 推出 ： 181。yb+ 1a *181。ab+ 2a *181。bb+ 3a *181。cb+ 4a *181。db=0式 2 同理3)(aaS?? ＝ 0 推出 ： 181。yc+ 1a *181。ac+ 2a *181。bc+ 3a *181。cc+ 4a *181。dc=0式 3 同理4)(aaS?? ＝ 0 推出 ： 181。yd+ 1a *181。ad+ 2a *181。bd+ 3a *181。cd+ 4a *181。dd=0式 4 式 式 2，式 3，式 4 寫成矩陣相乘的形式為： a a b a c a d a a b b b c b d b a c b c c c