球盒模型的概率問題-wenkub
2023-04-09 06:01:41 本頁(yè)面
【正文】 組合列舉的方法和基本的有限差分的計(jì)算方法是最主要的。組合數(shù)學(xué)應(yīng)用方面的有關(guān)文獻(xiàn)報(bào)道是極為有限的，而在廣大的生產(chǎn)領(lǐng)域幾乎是空白，極少數(shù)科研單位和高校等在極個(gè)別方面有一些初步的嘗試。高層次的軟件產(chǎn)品處處用到組合數(shù)學(xué)，更確切地說就是組合算法。美國(guó)一個(gè)重要的國(guó)家實(shí)驗(yàn)室Sandia國(guó)家實(shí)驗(yàn)室有一個(gè)專門研究組合數(shù)學(xué)的機(jī)構(gòu)，主要從事組合編碼理論和密碼學(xué)的研究，在美國(guó)政府以及國(guó)際學(xué)術(shù)界都具有很高的地位。組合數(shù)學(xué)滲透到其它很多領(lǐng)域，同時(shí)其它學(xué)科方法（如概率論方法等）又為組合數(shù)學(xué)提供了新的工具。本文主要研究了概率方法在一些重要組合數(shù)中的應(yīng)用。其二,為了適應(yīng)計(jì)算機(jī)科學(xué)的發(fā)展,它很注重對(duì)方法的能行性和程序化問題進(jìn)行研究.。盡管看上去這僅僅是一個(gè)普通的組合或概率問題，但里面包含著許多組合工具，如發(fā)生函數(shù)、整數(shù)分拆、Stirling 數(shù)等。選擇這個(gè)問題討論對(duì)象（或情況不同），會(huì)產(chǎn)生許多有趣的組合結(jié)論（主要是組合恒等式），實(shí)際上包括一個(gè)組合恒等式的組合解釋。該方法
在組合數(shù)學(xué)中應(yīng)用大致分為兩類：一類是非構(gòu)造性的概率方法,該類方法從本質(zhì)上
講，是一種粗糙的計(jì)數(shù)論證方法，常被用來斷定具有某種特性的組合對(duì)象的存在
性；一類是構(gòu)造性的概率方法,該方法是用概率的語(yǔ)言描述一些組合對(duì)象，然后借
助概率論中的方法與技巧解決組合分析的問題。 組合數(shù)學(xué)是一門即古老又新穎的數(shù)學(xué)分支。在組合數(shù)學(xué)中，組合恒等式的證明和尋找是一個(gè)很重要的內(nèi)容，而組合恒等式作為計(jì)數(shù)問題的結(jié)果，所以組合數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支是如何證明和尋找組合恒等式。日本的NEC公司還在美國(guó)的設(shè)立了研究中心，理論計(jì)算機(jī)科學(xué)和組合數(shù)學(xué)已是他們重要的研究課題。除此之外，歐洲也在積極發(fā)展組合數(shù)學(xué)，英國(guó)、法國(guó)、德國(guó)、荷蘭、丹麥、奧地利、瑞典、意大利、西班牙等國(guó)家都建立了各種形式的組合數(shù)學(xué)研究中心。這可能預(yù)示著在不久的將來組合技術(shù)在國(guó)內(nèi)會(huì)有一個(gè)較快的發(fā)展。尤其是，在離散型概率理論中，隨機(jī)現(xiàn)象或隨機(jī)實(shí)驗(yàn)被描述為是球放入盒子的隨機(jī)分配模型。 研究的目的和研究的內(nèi)容 本文研究的目的主要是利用組合數(shù)學(xué)知識(shí)與概率的的知識(shí)相結(jié)合，從而得到組合恒等式的證明。發(fā)生函數(shù)的英文原詞是 generating function。概率本來最初就是開始于賭博，由賭博發(fā)展而來的。所謂球盒模型，最基本的情況就是將n個(gè)球放到m個(gè)盒子里，依據(jù)球和盒子是否有區(qū)別以及是否“許空盒而“在種23=8種狀態(tài)。而概率論發(fā)展初期的主要研究對(duì)象是等可能的數(shù)學(xué)模型，這種數(shù)學(xué)模型就是我們通常稱為的古典概型，它在概率論中有很重要的地位。 本文主要是建立一些常見的數(shù)學(xué)模型，利用球隨機(jī)地放入盒里面，對(duì)球盒模型進(jìn)行計(jì)算。概率問題蘊(yùn)含著許多豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，構(gòu)建模型，可以幫助我們解讀概率問題的意義和本質(zhì)。k元重集中一個(gè)元出現(xiàn)的次數(shù)稱為該元在這個(gè)重集中的重?cái)?shù)。 多重集合 中取k個(gè)元的排列，若限定元素出現(xiàn)的次數(shù)集合為Mi(1_i_n)，把這種排列的個(gè)數(shù)記為Ck，則數(shù)列 的指數(shù)型生成函數(shù) 把k個(gè)不同的球放入n個(gè)不同的盒子中，限定盒子a，的容量集合為Mi(1_i_n),則其分配方案數(shù)的生成函數(shù)為 (容斥原理)設(shè)A1, A2,...An均為有限集合，則14 設(shè)A1, A2,...An均為有限集合E的子集，則 把n個(gè)不同的球放入m個(gè)不同的盒子里，每個(gè)盒子可放多個(gè)，也可以不放，其不同的方案數(shù)為mn 第二類Stirling數(shù):一個(gè)n元集的所有k部分拆的個(gè)數(shù)記為S2(n, k) ,稱為第二類Stirling數(shù)(即:n個(gè)元素的集合劃分為k個(gè)不相交的非空子集合的劃法數(shù)，或者解釋為:n個(gè)完全不同的球放入k個(gè)相同的盒子里，不允許有空盒的方案數(shù))。 把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)相同的盒子里，不允許有空盒的方案數(shù)為 S2，則把n個(gè)完全不同的球放入m個(gè)相同的盒子里，允許有空盒的方案數(shù)為 n元集上的k元重集(即n元集的k元可重復(fù)組合)的個(gè)數(shù)記為則，不允許有空盒的方案數(shù)為 把正整數(shù)n表示成k個(gè)正整數(shù)之和的一種表示法n = n1 +n2 …+ nk正整數(shù)n的k分拆中，各分布量的次序無關(guān)緊要，一般按遞降次序排列，即 稱為n的一個(gè)k部分拆，每個(gè)被加數(shù)ni稱為此分拆的一個(gè)分部。對(duì)于E的每一件事A賦予一個(gè)實(shí)數(shù)，記為P(A)，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)P (?)滿足下列條件:⑴非負(fù)性:對(duì)于每個(gè)事件A,有P(A) ≥0；⑵規(guī)范性:對(duì)于必然事件S，有P(S) = 1；⑶可列可加性:設(shè)A1，A2…是兩兩互不相容的事件，即對(duì)于i ≠ j，A1 A2 =Φ i, j=1, 2，…，則有P(A1A2.......)=P(A1 )+P(A2 )+…。k ≠ j故 我們稱(. 1為離散型隨機(jī)變量X分布律，也稱分布列，有時(shí)簡(jiǎn)稱分布。如果隨機(jī)變量咨只能取得有限個(gè)值而取得這些值的概率分別是則數(shù)學(xué)期望為如果隨機(jī)變量ξ只能取得可數(shù)無窮多個(gè)值而概率分別是則數(shù)學(xué)期望Eξ是下列級(jí)數(shù)的和:假定這級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的，因而級(jí)數(shù)的和與各項(xiàng)的排列次序無關(guān)。 例如在魏宗舒等編著的《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程(第二版)》中有這樣一個(gè) m只顏色各不同的球，有放回地摸取n次，求摸出的球的顏色數(shù)的數(shù)學(xué)期望。(2)分布律設(shè)X表示n次抽球所抽出的顏色數(shù)(X =1,2,…,m)，事件表示“抽到第i種顏色”C i=1,2,…,m)，P(Ai)表示事件我發(fā)生的概率，由概率加法公式得故注意到所以(4)進(jìn)一步思考設(shè)m種不
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