【正文】 法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運算律及坐標表示．向量的數(shù)量積把向量的長度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關問題提供了方便，特別是能有效解決線段的垂直等問題．這節(jié)內(nèi)容是整個向量部分的重要內(nèi)容之一，對它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學習．這節(jié)內(nèi)容的教學難點是對平面向量數(shù)量積的定義及運算律的理解和對平面向量數(shù)量積的應用．教學目標、幾何意義和數(shù)量積的坐標表示，會初步使用平面向量的數(shù)量積來處理有關長度、角度和垂直的問題，掌握向量垂直的條件．，初步體會知識發(fā)生、發(fā)展的過程和運用過程，培養(yǎng)學生的科學思維習慣．任務分析兩個向量的數(shù)量積從形式和實質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個概念帶來了一些困難．在學習時，要充分讓學生理解、明白兩個向量的數(shù)量積是一個數(shù)量，而不是向量．兩個向量的數(shù)量積的值是這兩個向量的模與兩個向量夾角余弦的乘積，其符號由夾角余弦值的正負而確定．兩向量的數(shù)量積“ab＝0與a＝0或b＝0的關系，以及（ae＝｜a｜cos〈a，e〉．（2）設ab｜≤｜a｜｜b｜（這與實數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．三、解釋應用 ［例 題］已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120176。＝－10． ［練習］｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）ab＝b（λb）（數(shù)乘結合律）． 證明：設a，b夾角為θ，當λ＞0時，λa與b的夾角為θ，∴（λa）b＝｜λa｜｜b｜cos（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜cosθ＝λ（ab）． 總之，（λa）b）．（3）（a＋b）a＋cc．思考：（1）向量的數(shù)量積滿足結合律，即（ab，那么a＝c嗎？五、應用與深化 ［例 題］，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類似地，對任意向量a，b，也有類似結論嗎？為什么？解：類比完全平方和公式與平方差公式，有（a＋b）2＝a2＋2aa＋ab＋b2，22（a＋b）a－b（a－3b）＝ a2－3a（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k216＝0，k＝177。c＋2b＋b，即以b在a上射影的長和ａ的長為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．，如圖404，＝－＝＋，．試說明平行四邊形對角線的長度與兩條鄰邊長度之間的關系．，b，c有相同終點且a＋b＋c＝0，問：它們的起點連成怎樣的三角形？解法1：如圖405，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．解法2：如圖406，．＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．又｜｜＝1，∴∠AOB＝120176。＝（－）＝0，即c與a＝c的關系，ab＝｜a｜｜b｜cosθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜cosθ（｜b｜cosθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．由上述定義可知，兩個向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個實數(shù)．說明：向量a與b的夾角θ是指把a，b起點平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當θ＝時，稱a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見，a與b的夾角記作〈a，b〉． 根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出（1）設e是單位向量，ab＝0．.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜ab＝｜a｜｜b｜cos〈a，b〉＝54cos120176。．：從數(shù)學的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運算，也能像數(shù)量乘法那樣滿足某些運算律，這樣數(shù)量積運算才更富有意義．回憶實數(shù)的運算律，你能類比和歸納出向量數(shù)量積的一些運算律嗎？它們成立嗎？為什么？已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）ab）＝ab）； 當λ＜0時，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）b＝0＝λ（a（λb）＝λ（ac（乘法對加法的分配律）．證明：如圖402，任取一點O，作＝a，＝ｂ，＝c．∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即｜a＋b｜cosθ＝｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2，∴｜c｜｜a＋b｜cosθ＝｜c｜（｜a｜cosθ1＋｜b｜cosθ2）＝ ｜c｜｜a｜cosθ1＋｜c｜｜b｜cosθ2＝cc＋bb＝c（a＋b）＝ ab＝ a2＋2ab＋b（a－3b）． 解：（a＋2b）－6｜b｜＝－72．｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線．當k為何值時，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）b＋2a（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．＋21＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2．，求六、拓展延伸b的幾何意義嗎？ 如圖403，a． 同理∠BOC＝∠AOC＝120176。＝即β＝30176。＝－cos30176。的值．分析：本題關鍵是將15176。與45176。＋45176。＋sin75176。的值．分析：對于（1），可先用誘導公式化sin75176。＋α）＝，60176。這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．（36176。）．分析：這里可以把角36176。＝cosαcosβ＋sinαsinβ．于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導才是正確的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時，以上推導是否正確．當α－β為任意角時，由誘導公式總可以找到一個角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．若θ∈［0，π］，則的值，那么即可求出鋼絲繩的長度．75176。的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來表示呢？二、建立模型 究已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關系？ 通過誘導公式可實現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導以上公式的方法并不是唯一的，其他推導方法由學生課后自己探索． Sα+β與Sαβ中兩邊的加減運算符號相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應特別注意公式兩邊符號的差異．三、解釋應用 ［例題一］已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．分析：本題主要訓練公式Sαβ與Sα+β的使用．由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．［練習一］分析：1.（1）強調(diào)公式的直接運用，尋找所求角與已知角之間的關系，α＝（30176。到′→的位置，求點P′（x′，y′）解：設∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．∵x′＝5cos（α＋45176。）＝5（sinαcos45176。到1，2的位置，求點P1，P2的坐標．［例題三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosｘ－sinx．（2）y＝3sinx＋4cosx．（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問題，是為（3）作鋪墊，推導時，要關注解題過程，以便讓學生充分理解輔助角φ滿足的條件．（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標的點P（ａ，ｂ），設以OP為終邊的一個角為φ，則［練習三］求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．（2）y＝sinx－sin（x＋）（3）已知兩個電流瞬時值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45176。），求它們合成后的電流瞬時值的函數(shù)式I＝I1＋I2＋I3，并指出這個函數(shù)的振幅、初相和周期．（x，y），與原點的距離保持不變繞原點旋轉(zhuǎn)θ角到點P′（x′，y′）（如圖422），求證：三角形邊和角關系的探索教材分析初中已研究過解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關系，并且應用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進而得出一般性的結論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長度與三角形的邊長、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來．對于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學生嘗試用文字語言敘述兩個定理，以便理解其實質(zhì)．當然，就知識而言，正弦定理有三個等式，可視為三個方程；余弦定理的三個式子也可看成三個方程，每個方程中均有四個量，知道其中任意三個量便可求第四個量．這節(jié)課的重點是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實際問題．任務分析這節(jié)內(nèi)容是在初中對三角形有了初步認識的基礎上，進一步研究三角形的邊、角之間的等量關系．對正弦定理的推導，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進，學生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應用兩個定理解三角形時，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結合起來應用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關問題．教學目標、余弦定理的推證方法，并掌握兩個定理． 、余弦定理解斜三角形．，結合解三角形的知識，解決生產(chǎn)、生活中的簡單問題．教學設計一、問題情景，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機的機身上（如圖431），問：飛機離兩探照燈的距離分別是多少？，自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構，設計時應計算油泵頂桿BC的長度．已知車廂的最大仰角為60176。AB＝2558m．求AC，BC的長．組織學生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長度．（讓學生思考，允許有不同的解法）結論：如圖403，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝ACsinB．又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長度，同理可求BC的長度．教師明晰：（1）當△ABC為直角三角形時，由正弦函數(shù)的定義，得（2）當△ABC為銳角三角形時，設AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理.（3）當△ABC為鈍角三角形時，結論是否仍然成立？引導學生自己推出．（詳細給出解答過程）事實上，當∠A為鈍角時，由（2）易知設BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180176。c＝（a－b）解三角形．（角精確到1176。邊長精確到1cm）（1）A＝45176。ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30176。．（2）ｂ＝，ｃ＝，A＝176。＜B＜180176。時，A＋B＝187176?！镀矫嫦蛄康臄?shù)量積及應用》，計劃安排兩個課時，本節(jié)課是第2課時。三、命題走向及高考預測通過對近幾年廣東高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運算律一直是高考數(shù)學的熱點內(nèi)容之一，對向量的數(shù)量積及運算律的考查多為一個小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時經(jīng)常用到．整個命題過程緊扣課本，重點突出，有時考查單一知識點；有時通過知識的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運算律等內(nèi)容。五、教學目標知識目標：掌握平面向量的數(shù)量積公式及向量的夾角公式；運用平面向量的知識解決有關問題。七、教法、學法分析教法：采取啟發(fā)引導、反饋評價等方式；學法：引導學生積極參與、自主探索，培養(yǎng)探究能力。︱b︱cosq叫做a與(1)eb＝地，有ab=，(ab)(a+b)=，求： 22rrrrrr（1）a與b的夾角的大小。(ba)=2，則向