新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-221合情推理與演繹推理同步測試題2套-wenkub
2022-12-13 10:15:17 本頁面
【正文】 ?， 1 1 1 312 3 7 2? ? ? ? ?， 1 1 1122 3 15? ? ? ? ?， ，你能得到一個(gè)怎樣的一般不等式？并加以證明． 解：根據(jù)給出的幾 個(gè)不等式可以猜想第 n 個(gè)不等式，即一般不等式為： 1 1 11 ( )2 3 2 1 2n n n ?? ? ? ? ? ?? N． 用數(shù)學(xué)歸納法證明如下： （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)， 112?，猜想成立； （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，猜想成立，即 1 1 112 3 2 1 2k k? ? ? ? ??， 則當(dāng) 1nk??時(shí)， 1 1 11 1 1 1 1 1 1 1 1 2 11 2 3 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 2 2kk k k k k k k kk k k? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?，即當(dāng) 1nk??時(shí)，猜想也正確，所以對(duì)任意的 n ??N ，不等式成立． 22．是否存在常數(shù) a b c， ， ，使得等式 2 2 2 2 2 2 4 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )n n n n n a n b n c? ? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)一切正整數(shù) n 都成立？若存在，求出 a b c， ， 的值；若不存在，說明理由． 解：假設(shè)存在 a b c， ， ，使得所給等式成立． 令 123n?， ， 代入等式得 016 4 381 9 18abca b ca b c? ? ???? ? ???? ? ??，，解得14140abc? ???? ????????，， 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明等式 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44n n n n n n n? ? ? ? ? ? ? ?對(duì)一切正整數(shù)n 都成立． （ 1）當(dāng) 1n? 時(shí)，由以上可知等式成立； （ 2）假設(shè)當(dāng) nk? 時(shí)，等式成立，即 2 2 2 2 2 2 4 2111 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( )44k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ?， 則當(dāng) 1nk??時(shí)， 2 2 2 2 2 2 2 21 [ ( 1 ) 1 ] 2 [ ( 1 ) 2 ] [ ( 1 ) ] ( 1 ) [ ( 1 ) ( 1 ) ]k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 21 ( 1 ) 2 ( 2 ) ( ) ( 2 1 ) 2 ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k k k k k? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 2 4 21 1 ( 1 ) 1 1( 2 1 ) ( 1 ) ( 1 )4 4 2 4 4kkk k k k k?? ? ? ? ? ? ? ? ” Ｃ．“ ()a b c ac bc? ? ? ”類比得出“ ( 0)a b a b cc c c? ? ? ?” Ｄ．“ ()n n npq p q? ，則 mn? ”類比得出“若 00mn?， 又 55(5)2aag ???， 因此 ( 5 ) ( 3 ) ( 2) ( 3 ) ( 2)g f g g f??． （ 2）由 ( 5 ) ( 3 ) ( 2) ( 3 ) ( 2)g f g g f，即 ( 2 3 ) (3 ) ( 2) (3 ) ( 2)g f g g f? ? ?， 于是推測 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )g x y f x g y g x f y? ? ?． 證明：因?yàn)?()2xxaafx ???， ()2xxaagx ???（大前提）． 所以 ()()2x y x yaag x y ? ? ????， ()2yyaagy ???， ()2yyaafy ???，（小前提及結(jié)論） 所以 ()( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2x x y y x x y y x y x ya a a a a a a a a af x g y g x f y g x y? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ． 于是 22 1 1 12 2 2A B C B C M B C DS B C A E B C E M B C E D S S? ? ? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?△ △ △ ，類經(jīng)上述性質(zhì)，在等比數(shù)列 ??nb 中，若 01nbq??， ，則 4578b b b b， ， ， 的一個(gè)不等關(guān)系是（ ） Ａ． 4 8 5 7b b b b? ? ? Ｂ． 5 7 4 8b b b b? ? ? Ｃ． 4 7 5 8b b b b? ? ? Ｄ． 4 5 7 8b b b b? ? ? 答案：Ｂ 5．（ 1）已知 332pq??，求證 2pq? ≤ ，用反證法證明時(shí)，可假設(shè) 2pq? ≥ ， （ 2）已知 ab?R， ， 1ab??，求證方程 2 0x ax b? ? ? 的兩根的絕對(duì)值都小于 1．用 反證法證明時(shí)可假設(shè)方程有一根 1x 的絕對(duì)值大于或等
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