【正文】 線升階公式產(chǎn)生端點(diǎn)插值降階的方法，取得了較好的效果；白寶鋼等“三次 Bezier 曲線的自適應(yīng)降階”提出了一種基于選擇分割點(diǎn)的三次 Bzier曲線的自適應(yīng)降一階方法也取得了較好的效果；劉慶生的“ Bezier曲線可降階條件及其降階逼近”用一組遞推式來判別一條 n+1次 Bezier曲線的可降階條件，并在可降階的條件成立時(shí)構(gòu)造出相應(yīng)的低階曲線； 2020年，許凱和趙新明的“基于拐點(diǎn)分割的 Bezier曲線降階”提出把中點(diǎn)分割和拐點(diǎn)分割相混合的曲線降階方式，使逼近曲線既滿足一定的精度要求并提降階效率得到提高，并可以盡可能少地分段，但是，四階以上的 Bezier曲線拐點(diǎn)定位是比較困難的，因此，降階的效率將被降低 。因而，降階逼近算法的理論研究也就一直成為了研究的熱點(diǎn)。 4 研究內(nèi)容 本論文主要基于 VC++程序?qū)崿F(xiàn)對平面曲線的繪制，論文中將會具體提供對下面幾種平面曲線的繪制算法。 1972~1974年Gorden等將 Bezier的基函數(shù)換成 B樣條函數(shù) ,從而構(gòu)造了等距離節(jié)點(diǎn)的 B樣條曲線 ,也稱為均勻 B樣條曲線。在當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)發(fā)展的影響下 ,為了利用計(jì)算機(jī)更高效地進(jìn)行設(shè)計(jì) ,人們開始尋找研究曲線或曲面的表示方法 ,其中最著名、最實(shí)用的是法國雷諾汽車公司的工程師提出的 Bezier技術(shù) [1]和美國機(jī) 械工程師 Coons提出的 Coons技術(shù) [2,3]。介紹 在繪制曲線的過程需要注意哪些關(guān)鍵的東西。對本文的研究做出重要貢獻(xiàn)的個(gè)人和集體均已在文中以明確方式標(biāo)明。本人完全意識到本聲明的法律 結(jié)果由本人承擔(dān)。還會具體的分析該曲線所 具有哪些屬于自己的關(guān)鍵性質(zhì)。 在大多數(shù)情況下 ,描述產(chǎn)品外形的曲線或曲面只有大概形狀或者只知道它所通過的一系列空間點(diǎn)列 ,這些點(diǎn)稱為控制點(diǎn) ,這類曲線或曲面叫自由曲線或自由曲面 ,而計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)就是研究自由曲線曲面的表示、設(shè)計(jì)、顯示、分析與綜合以及處理等問題。 B樣條曲線的應(yīng)用范圍非常廣泛 ,不僅在幾何造型方面 ,還應(yīng)用到其它許多方面 ,如應(yīng)用 B樣條函數(shù)處理力學(xué)問題 [4],結(jié)合小波方法應(yīng)用于圖像的完整性認(rèn)證 [5],應(yīng)用于實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的壓縮 [6],應(yīng)用于一維 、 二維空間中軌跡的規(guī)劃 [7]等。 貝塞爾 (Bezier)曲線的繪制 B樣條曲線的繪制 正葉線 繪制 國內(nèi)外研究現(xiàn)狀 Bezier曲線的提出是 1962最先由貝齊爾開始的， 它最初的研究是面向幾何而不是面向代數(shù) 。對 Bezier曲線的降階問題的研究大致可分為如下兩類： 一類是基于控制頂點(diǎn)幾何信息的離散化方法，這類 方法主要著眼于原曲線的控制頂點(diǎn)和導(dǎo)矢等幾何信息進(jìn)行降階。 另一類是側(cè)重于基轉(zhuǎn)換的代數(shù)方法， Watkins和 Worsey以及 Eck利用升階反過程與約束 Chebyshev多項(xiàng)式有機(jī)地結(jié)合起來，對曲線降階問題進(jìn)行處理； Eck用約束 Legendre多項(xiàng)式在 L2范數(shù)空間中進(jìn)行降階，逼近效果優(yōu)于以往的方法，但多階降階逼近問題采取每次降一階來分次實(shí)現(xiàn)。 雖然 Bezier曲線的降 階問題研究得比較多，但都很少有討論采用中點(diǎn)分割與基本降階相結(jié)合并考慮誤差具體進(jìn)行一次降二階的情況。從處理技術(shù)上來看圖形主要分為 兩類，一類是基于線條信息表示的，如工程圖等高線地圖、曲面的線框圖等，另一類是明暗圖，也就是通常所說的真實(shí)感圖形。該顯示器用一個(gè)類似示波的陰極射線管 (CRT)來顯示一些簡單的圖形。此前的計(jì)算機(jī)主要是符號處理系統(tǒng) ， 自從有了計(jì)算機(jī)圖形學(xué)，計(jì)算機(jī)可以部分地表現(xiàn)人的右腦功能了，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的建立意義重大。經(jīng)過反復(fù)的選代設(shè)計(jì)，便可利用結(jié)果數(shù)據(jù)輸出零件表、材料單、加工流程和工藝卡。三維形體重建是從 二維信息中提取三維信息。尤其在醫(yī)學(xué)領(lǐng)域。當(dāng)我們做腦部手術(shù)時(shí)．可視化技術(shù)技術(shù)將醫(yī)用 CT掃描的數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成圖像．使得醫(yī)生能夠看到并準(zhǔn)確的判別病人的體內(nèi)患處 ．然后通過碰撞檢測一類的技術(shù)實(shí)現(xiàn)手術(shù)效果的反饋，幫助醫(yī)生成功完成手術(shù)。在自然景物仿真這項(xiàng)技術(shù)中我們需要過行消除隱藏線及面、明暗效應(yīng)、顏色模型、紋理、光線跟蹤，輻射度等工作?？茖W(xué)計(jì)算等方面應(yīng)用范圍很廣 。在生成幾幅被稱作“關(guān)鍵幀”．連續(xù)播放時(shí) 2個(gè)關(guān)健幀就被有機(jī)的結(jié)合起來了。然而要真正到達(dá)真實(shí)運(yùn)動是很難的，比如人的行走或跑步，要實(shí)現(xiàn)很自然的人走路的畫面，計(jì)算機(jī)方程非常復(fù)雜和計(jì)算量極大，基于物理模型的計(jì)算機(jī)動畫還有許多內(nèi)容需要進(jìn)一步研究 。這是電影界最高的殊榮。計(jì)算機(jī)圖形學(xué) 的已經(jīng)應(yīng)用到各個(gè)領(lǐng)域。 還有將可視化用于天氣預(yù)報(bào)。 Visual C++ Visual C++ 的簡介 Visual C++ ，簡稱 VC或者 ，是微軟推出的一款 C++編譯器，將 “ 高級語言 ” 翻譯為 “ 機(jī)器語言（低級語言） ” 的程序。所以實(shí)際中，更多 9 的是以 Visual C++。 Microsoft的主力軟件產(chǎn)品。所以實(shí)際中，更多的是以 Visual C++平臺。其編譯及創(chuàng)建預(yù)編譯頭文件 ()、最小重建功能及累加連結(jié) (link)著稱。最大的缺點(diǎn)是對于模版的支持比較差。 3 貝塞爾 (Bezier)曲線的繪制 貝塞爾曲線的介紹 一般地說，可以用任何數(shù)目的控制點(diǎn)擬合出一條 Bezier曲線，但這需要計(jì)算更高次的多項(xiàng)式。 三次 Bezier曲線寫成坐標(biāo)分量的形式如下： x(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)x0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)x1﹢ (3u3﹢ 3u2)x2﹢ u3x3 y(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)y0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)y1﹢ (3u3﹢ 3u2)y2﹢ u3y3 z(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1)z0﹢ (3u3﹣ 6u2﹢ 3u)z1﹢ (3u3﹢ 3u2)z2﹢ u3z3 實(shí)際生成曲線時(shí)，取一合適的步長，控制 u從 0到 1變化，求出一系列 (x, y)坐標(biāo)點(diǎn)，將其用小線段順序連接起來，就可以得到一條 Bezier曲線。 三次 Bezier曲線繪制 void CMyView::OnDraw3bezier() { RedrawWindow()。 11 float points_y[nPoints+1]。 CPen pen。 pdcTextOut(200,150,三次 Bezier曲線 )。 coeff_x[2]=40。 coeff_y[2]=13。j=degree。 pdcMoveTo(110,110)。 points_y[i]=ThreeBezier(degree,coeff_y,t)。 } 程序運(yùn)行效果圖： 圖 Bezier曲線 4 三 次 B 樣條曲線的繪制 三 次 B樣條曲線的 介紹 工程上常用的是三次 B樣條曲線函數(shù)式為： ???30 3, )()( k kk uFPuP u?[0, 1] 其 中： ??? ? ?????kjjjk jkuCuF 303133, )3()1(!31)( 展開有： F0,3(u)﹦ (u3﹢ 3u2﹣ 3u﹢ 1 )/6； F1,3(u)﹦ (3u3﹣ 6u2﹢ 4)/6； F2,3(u)﹦ (3u3﹢ 3u2﹢ 3u﹢ 1 )/6； F3,3(u)﹦ u3 /6。 （ 3） 可微性或連續(xù)性： C(u)在每一個(gè)曲線段內(nèi)部是無限次可微的，在定義域內(nèi) 重復(fù)度為 k的節(jié)點(diǎn)處則使 pk次可微或具有 pk階參數(shù)連續(xù)性。 （ 6） 控制多邊形是 B樣條曲線的線性近似，若進(jìn)行節(jié)點(diǎn)插入或升階會更加近 似；次數(shù)越低， B樣條曲線越逼近控制頂點(diǎn) （ 7） 如圖 ，設(shè) P0 , P1,...,Pn為 B樣條曲線的控制多邊形 ，某平面與 B樣條曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)不多于該平面與其控制多邊形的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 14 圖 三次 B樣條曲線的繪制： 畫出三次 B樣條曲線曲線。 (PS_SOLID,1,RGB(0,0XFF,0))。 int cx,cy,i,n。 cy= a2=(x[2]2*x[1]+x[0])/2。 15 b2=(y[2]2*y[1]+y[0])/2。i=n。 xa=a0+a1*t+a2*t2+a3*t3+cx。 } pdcDeleteDC()。 (PS_SOLID,1,RGB(0,0XFF,0))。 double r,p,th,x,y,pi。 cx=320。 for(p=1。th+=pi/k){ r=abs(a*cos(n*th)*p)。 gy=int(cy+y)。 pdcLineTo(gx,gy)。 2020年 12月，當(dāng)我 知道我的選題通知后，我開始著手準(zhǔn)備論文，開始的，對于論文的題目都有些不懂，不明白論文要寫那些方面， 而且既然決定開始寫的話，就必須確定自己要寫那些方面，于是我主動去找我的導(dǎo)師，卜飛宇老師，及時(shí)與他溝通，通過老師的耐心指導(dǎo)和幫助，我確立了我要寫的方向。 4月中旬 ，學(xué)校要求我們準(zhǔn)備畢業(yè)設(shè)計(jì)論文的一稿。 這就是我畢業(yè)設(shè)計(jì)的準(zhǔn)備過程，有許多的困難，但是我最后還是挺過來了，感謝卜老師的幫助，沒有你的幫助，我不可能這么順利的完成。exes[J]. Computer Aided Design, 1994,26:735746. 20 致 謝 本文是在卜飛宇老師的諄諄教誨和悉心指導(dǎo)下完成，卜老師在學(xué)術(shù)上有著嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目蒲凶黠L(fēng)，實(shí)事求是的治學(xué)態(tài)度，并時(shí)刻能夠把握最新科技的前沿，讓我受益匪淺，卜老師生活上平易近人，和藹可親，令我欽佩不已，是我學(xué)習(xí)和生活中的榜樣。 內(nèi)部資料 請勿外傳 9JWKf wvGt YM*Jgamp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$ UE9wEwZQcUE% amp。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。MuWFA5ux^Gjqv^$UE9wEwZQcUE% amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。 6a*CZ7H$dq8Kqqf HVZFedswSyXTyamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。 qYpEh5pDx2z Vkumamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。qYpEh5pDx2zVkumamp。qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2zVkum amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。 qYpEh5pDx2z Vkum amp。 qYpEh5pDx2zVkumamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz84! z89Am v^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5ux^Gj qv^$UE9wEwZQcUE%amp。MuWFA5uxY7JnD6YW Rr Wwc^vR9CpbK!zn%Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。 MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn% Mz849Gx^Gj qv^$U*3t nGK8!z89Am YWpazadNuKNamp。MuWFA5uxY7JnD6YWRrWwc^vR9CpbK!zn% Mz849Gx^Gj qv^$UE9wEwZQcUE% amp。MuWFA5uxY7JnD6YWRr Wwc^vR9CpbK! zn%Mz849Gx^Gj qv^$U*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWpazadNuGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。ksv*3t nGK8!z89Am YWv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 ksv*3tnGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 ksv*3t nGK8! z89Am YWpazadNuKNamp。 gTXRm 6X4