【正文】 是數(shù)學知識在更高層次上的抽象和概括，單純的知識教學只能是學生知識的積累，而思想和方法的教學則潛移默化于能力的提高過程中，函數(shù)這一部分重要的數(shù)學思想方法有函數(shù)與方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合的思想，數(shù)學方法有配方法、換元法、待定系數(shù)法、比較法、構造法等．數(shù)學思想方法是以具體的知識為依托的，在復習教學中，要重視知識的形成過程，著重研究解題的思維過程，有意識地滲透思想方法，使學生從更高層次去領悟，去把握，去反思數(shù)學知識，增強數(shù)學意識，提高數(shù)學能力． 使用建議 返回目錄 3．課時安排 本單元包括 12講及 45分鐘滾動基礎訓練卷 (二 )、 (三 )、(四 )，單元能力 檢測卷 (二 )，每講建議 1課時完成， 45分鐘滾動基礎訓練卷 (二 )、 (三 )、 (四 )建議各 1課時完成， 單元能力檢測卷建議一課時完成，大約共需 16課時． 使用建議 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 雙向固基礎 點面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．了解構成函數(shù)的要素，會求一些簡單函數(shù)的定義域和值域；了解映射的概念． 2．在實際情境中，會根據(jù)不同的需要選擇恰當?shù)姆椒?(如 圖像 法、列表法、解析法 )表示函數(shù)． 3．了解簡單的分段函數(shù)，并能簡單應用． 考試大綱 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 —— 知 識 梳 理 —— 一、函數(shù)與映射 1． 概念： 返回目錄 雙向固基礎 非空的數(shù)集 函數(shù) 映射 兩集合 A， B 設 A， B是兩個 ________ 設 A， B是兩個 ________ 對應關系 f： A→ B 按照某種確定的對應關系 f，使對于集合 A中的 ________一個數(shù) x，在集合 B中都有____________的數(shù) f(x)和它對應 按某一個確定的對應關系 f，使對于集合 A中的 ________一個元素 x，在集合 B中都有 ____________的元素 y與之對應 名稱 稱 ________為從集合 A到集合 B的一個函數(shù) 稱對應 ________為從集合 A到集合 B的一個映射 記法 y＝ f(x)， x∈ A 對應 f： A→ B 非空的集 合 任意 唯一確定 任意 唯一確定 f： A→ B f： A→ B ： ________、 ________、________． 二 、 函數(shù)的表示方法 1 ． 基 本 表 示 方 法 ： ________ 、 ________ 、________． 2．分段函數(shù)：在定義域的不同范圍內(nèi)函數(shù)具有不同的解析式，這類函數(shù)稱為 ___________．分段函數(shù)是一個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的 ________，值域是各段值域的 ________． 返回目錄 雙向固基礎 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 定義域 對應關系 值域 解析法 列表法 圖象法 分段函數(shù) 并集 并集 3． 求函數(shù)解析式的方法： 返回目錄 雙向固基礎 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 待定系數(shù)法 方法 示例 ________ f(x)＝ ax＋ b的圖象過點 (1， 1)， (4， 2) ________ f(sinx)＝ 2sin2x－ cos2x ________ 對稱方程法 f(x)＋ 2f(－ x)＝ x＋ 1 換元法 配湊法 f ????????x ＋ 1x ＝ x2 ＋ 1x 2 三、函數(shù)定義域的求法 返回目錄 雙向固基礎 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 類型 x滿足的條件 ________________ ________________ logaf(x) ________________ logf(x)g(x) ________________ f(x)g(x) ________________ tanf(x) ________________ f(g(x))(f(x)定義域為 [a， b]) a≤g(x)≤b解集與 g(x)定義域的 ________ 四則運算組成的函數(shù) 各個函數(shù)定義域的 ________ 實際問題 使實際問題有 ________ 2 n f （ x ） ， n ∈ N * 1f （ x ） 與 [ f ( x )] 0 f(x)≥0 f(x)≠0 f(x)0 f(x)0， f(x)≠1， g(x)0 f(x)0， f(x)≠1 交集 交集 意義 f ( x ) ≠ k π ＋ π2 ( k ∈ Z ) 四、求函數(shù)值域的方法 雙向固基礎 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 公式法 (配方法 ) 方 法 示 例 ________ y＝ x2＋ x－ 2 性質(zhì)法 y＝ sinx， y＝ lgx ________ 換元法 y＝ sin2x＋ sinx＋ 1 ________ ________ 判別式法 ________ y ＝ x ＋ x － 2 y ＝ x ＋ 1x ＋ 1 ( x － 1) y ＝ xx ＋ 1 y ＝ x2 － 2 x ＋ 3x 2 ＋ x ＋ 1 y ＝3 － s i n x2 － co s x 單調(diào)性法 基本不等式法 反解自變量法 數(shù)形結(jié)合法 —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) 179。 2 ．函數(shù)的定義域、值域的求法 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( － 3) a 0 ，得－ 1 2 a 0 . 綜上知－ 1 2 a ≤ 0. 故選 C. 點評 (1)中要注意分母不為零，真數(shù)大于零，偶次根式內(nèi)非負； (2)中的分母可能是一次函數(shù)或二次函數(shù)，區(qū)分不同情況討論． 歸納總結(jié) 求函數(shù)定義域一般要考查如下幾個方面：分式的分母不等于零、偶次被開方式不小于零、對數(shù)的真數(shù)大于零、正切函數(shù)的定義域等．如果函數(shù)是一些函數(shù)通過四則運算復合而成的，那么它的定義域是各函數(shù)定義域的交集；由實際問題列出的函數(shù)式的定義域問題，由自變量的實際意義給出，復合函數(shù)的定義域求法綜合考慮內(nèi)外兩層函數(shù)的定義域． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 變式題 ( 1 ) 已知 f ( x ) ＝1x ＋ 1，則函數(shù) f ( f ( x )) 的定義域是( ) A ． { x | x ≠ － 1 } B ． { x | x ≠ － 2} C ． { x | x ≠ － 1 且 x ≠ － 2 } D ． { x | x ≠ － 1 或 x ≠ － 2} ( 2 ) [ 2 0 1 2 福建卷 ] 設 f ( x ) ＝????? 1 ， x ＞ 0 ，0 ， x ＝ 0 ，－ 1 ， x ＜ 0 ，g ( x )＝?????1 ， x 為有理數(shù)，0 ， x 為無理數(shù)，則 f ( g ( π) ) 的值為 ( ) A ． 1 B ． 0 C ．－ 1 D ． π [ 答案 ] B [ 解析 ] 解題的關鍵是求分段函數(shù)的值時，一定要認真分析自變量所在的區(qū)間，因為各段上的解析式是不相同的． ∵ π 是無理數(shù)， ∴ g ( π ) ＝ 0 ， f ( g ( π )) ＝ f ( 0 ) ＝ 0 ，所以選擇 B. ? 探究點 四 求函數(shù)的解析式 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 5 ( 1 ) 已知 f????????2x－ 1 ＝ 2x，則 f ( x ) ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 設 y ＝ f ( x ) 是二次函數(shù)，方程 f ( x ) ＝ 0 有兩個相等的實根，且 f ′( x ) ＝ 2 x ＋ 2 ，則 f ( x ) 的解析式為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 思考流程 ( 1 ) 分析：用換元法令 t ＝2x－ 1 ；推理：求出 x 的表達式；結(jié)論：代入原函數(shù)得出結(jié)論． ( 2 ) 分析：用待定系數(shù)法，設 f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ；推理：依據(jù)條件列出關于 a ， b ， c 的方程；結(jié)論：解方程求出 a ， b ， c 的值，得出解析式． [ 答案 ] ( 1 ) 22x ＋ 1 ( 2 ) f ( x ) ＝ x2 ＋ 2 x ＋ 1 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 令 t ＝2x－ 1 ，則 x ＝2t ＋ 1，所以 f ( t ) ＝ 22t ＋ 1，即f ( x ) ＝ 22x ＋ 1. ( 2 ) 設 f ( x ) ＝ ax2＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ，則 f ′( x ) ＝ 2 ax ＋ b ＝ 2 x ＋ 2 ，所以 a ＝ 1 ， b ＝ 2 ， f ( x ) ＝ x2＋ 2 x ＋ c . 又因為方程 f ( x ) ＝ 0 有兩個相等的實根，所以 Δ ＝ 4 －4 c ＝ 0 ，得 c ＝ 1 ，所以 f ( x ) ＝ x2＋ 2 x ＋ 1. 點評 (1)是用換元法求解析式， (2)是用待定系數(shù)法求解析式． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 歸納總結(jié) 求函數(shù)解析式的常見題型： ① 已知函數(shù)類型，用待定系數(shù)法求解析式． ② 已知函數(shù)圖象，用待定系數(shù)法求解析式，如果圖象是分段的，要用分段函數(shù)表示． ③ 已知 f ( x ) 求 f [ g ( x )] ，或已知 f [ g ( x )] 求 f ( x ) ，用換元法、配湊法． ④ 若 f ( x ) 與 f????????1x或 f ( － x ) 滿足某個等式，可構造另一個等式，通過解方程組求解． ⑤ 應用題求解析式可用待定系數(shù)法求解． 求函數(shù)解析式一定要注意函數(shù)的定義域，否則極易出錯． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( － 1) － 3 ＝ 0. 所以 f ( a ＋ 1) ≥ 0 ，即函數(shù) f ( a ＋ 1) 的最小值為 0. 備選理由 例 1將分段函數(shù)的求值與集合相結(jié)合給單一的求值問題增添了色彩，更重要的是通過練習能提高學生綜合分析問題、解決問題的能力；求由實際問題確定的函數(shù)定義域時，除考慮函數(shù)的解析式有意義外，還要考慮使實際問題有意義．例 2使函數(shù)解析式有意義的 x的取值范圍是 x∈ R，但實際上要受等腰梯形的底邊長的限制，并且要根據(jù)具體情況求多邊形面積，因此該問題又是一個分段函數(shù)問題． 返回目錄 教師備用題 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 返回目錄 教師備用題 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 1 函數(shù) f ( x ) ＝????? x 2 ， x ≤ 0 ，4 si n x ， 0 x ≤ π ，則集合 M ＝ { x | f ( f ( x )) ＝ 0} 中元素的個數(shù)是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] 5 [ 解析 ] 結(jié)合函數(shù)表達式知，若 f ( f ( x )) ＝ 0 ，得 f ( x ) ＝ 0或 f ( x ) ＝ π . 若 f ( x ) ＝ 0 ，則 x ＝ 0 或 x ＝ π ；若 f ( x ) ＝ π ，則x2＝ π ( x ≤ 0) ? x ＝－ π 或 4 si n x ＝ π ( 0 x ≤ π ) ? 有 2 個根．故集合 M 中有 5 個元素． 返回目錄 教師備