【正文】 ??????????????sjjjijijijjijnsjniNX12.0,... ,2,1,... ,2,1,),0(~,???????獨(dú)立各個(gè)不全相等。記為 Xij μj =εij ，則Xij 可以寫(xiě)為 Xij = μj +εij εij ~N(0, ζ2),各 εij獨(dú)立 i=1,2,…,nj , j=1,2,…,s (1,1)稱為單因素方差分析的數(shù)學(xué)模型。這就變?yōu)闄z驗(yàn)同方差的多個(gè)正態(tài)總體均值是否相等的問(wèn)題。 機(jī)器 1 機(jī)器 2 機(jī)器 3 類型 1 類型 2 類型 3 類型 4 19 15 22 20 18 20 40 21 33 27 16 17 15 18 26 18 22 19 第三個(gè)例子 ? 一火箭使用四種燃料，三種推進(jìn)器做射程試驗(yàn)。 ? 試驗(yàn)的分析：利用方差分析來(lái)分析試驗(yàn)的結(jié)果。 ? 方差分析：根據(jù)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)行分析，鑒別各個(gè)因素對(duì)試驗(yàn)結(jié)果的影響的一種分析方法。1單因素試驗(yàn)的方差分析 （一）單因素試驗(yàn) ? 試驗(yàn)指標(biāo)：在試驗(yàn)中，要考察的指標(biāo)稱為試驗(yàn)指標(biāo)。 ? 因素：影響試驗(yàn)指標(biāo)的條件稱為因素。 ? 化學(xué)生產(chǎn)中，因素有： 原料成分、原料劑量、催化劑、反應(yīng)溫度、壓力、反應(yīng)時(shí)間、機(jī)器設(shè)備、操作人員水平 等。 ? 根據(jù)影響試驗(yàn)結(jié)果的因素的多少分為單因素試驗(yàn)的方差分析和多因素試驗(yàn)的方差分析。每種燃料與美中推進(jìn)器的組合個(gè)發(fā)射火箭兩次，得射程如下： ? 試驗(yàn)指標(biāo)：射程；因素：推進(jìn)器（三個(gè)水平）、燃料（四個(gè)水平）；目的：考察推進(jìn)器核燃料這兩個(gè)因素對(duì)射程是否有顯著影響。而方差分析法就是解決這一問(wèn)題的一種統(tǒng)計(jì)方法。 (1,1) 方差分析的任務(wù) I. 檢驗(yàn) s個(gè)總體 的均值是否相等，即檢驗(yàn)假設(shè) II. 作出未知參數(shù) 的估計(jì) 若記 的加權(quán)平均為 再引入 表示總體平均值與總平均的差異，稱為水平 Aj的效應(yīng)。ssHH??????,... ,:,0...:211210 ????()’ ()’ (二）平方和的分解 ? 引入總偏差平方和（或總變差）與總平均：即 ? 水平 Aj下的樣本均值為 ? 這時(shí)，可以將 ST寫(xiě)成： ? ?? ?? ?? ????sjniijsjniijTjjXnXXXS1 11 121)(與（ 1， 5） （ 1， 6） ???jniijjj XnX1.1（ 1， 7） ? 上式的第三項(xiàng)為 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ????????????sjnijjijsjnijsjnijijsjnijjijTjjjjXXXXXXXXXXXXS1 1..1 12.1 12.1 12..))((2)()()]()[(0])[)(2])([)(2))((21.1.1.1.1 1..?????????????? ?????? ?jjjnijjijsjjnijijsjjsjnijjijXnXXXXXXXXXXX? 若記 ? SE稱為 誤差平方和 ， SA表示 Aj水平下的樣本均值與數(shù)據(jù)總平均的差異，叫做 效應(yīng)平方和， 他是由水平 Aj的效應(yīng)的差異以及隨機(jī)誤差引起的。 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 F比 因素 A SA= 053 33 2 526 67 誤差 SE= 192 12 016 總和 ST = 245 33 14 例 4的方差分析表 （五）未知參數(shù)的估計(jì) （ 1）參數(shù) σ2 ， μ， μj ， δj的估計(jì) 由上面的討論，不管 H0是否為真， 是 ζ2的無(wú)偏估計(jì) 由于 故 分別是 μ， μj的無(wú)偏估計(jì)。 ? 解：經(jīng)計(jì)算 ? 由 (ns)= (12)=，得 ? 故 μ1 – μ2 ， μ1 – μ3 ， μ2 –μ3的置信水平為 信區(qū)間分別為 .,?,?,00 ..2?????????????????????xxxxxxxxxxsnSE????????5)11()( 4 ???????kjE nnSsnt ? 例 6 設(shè)在第二個(gè)例子中，四類電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài)分布，切割總體的方差相同，但參數(shù)未知，并且個(gè)樣本相互獨(dú)立。 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 F比 因素 誤差 3 14 2825 總和 17 一元線性回歸 本節(jié)的內(nèi)容提綱 （一）一元線性回歸的概念和數(shù)學(xué)模型 （二） a、 b的估計(jì) （三） σ2的估計(jì) （四）線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn) （五）系數(shù) b的置信區(qū)間 （六）回歸函數(shù) μ(x)=a+bx函數(shù)值的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間 （七） Y的觀測(cè)值的點(diǎn)預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)區(qū)間 第三節(jié)、一元線性回歸 ? 兩個(gè)變量之間的關(guān)系包括： 1. 確定性關(guān)系：能用函數(shù)關(guān)系表達(dá)； 2. 非確定性關(guān)系：就是相關(guān)關(guān)系。 1. 預(yù)測(cè)問(wèn)題：在給定的置信度下，估計(jì)出當(dāng) x取某一定值時(shí)，隨機(jī)變量 y的取值情況； 2. 控制問(wèn)題：在給定的置信度下，控制自變量 x的取值范圍，使 y在給定的范圍內(nèi)取值； 回歸分析的任務(wù) ? 主要是根據(jù)試驗(yàn)，估計(jì)回歸函數(shù)，討論點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等問(wèn)題。 ? 在直角坐標(biāo)系中描出散點(diǎn)圖，粗略得出 μ(x) ? 例 1 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中溫度 (x,)與產(chǎn)品得率 y的影響。 ? 一元線性回歸模型： 設(shè) Y~N(a+bx, σ2 )其中 a,b, σ2是未知參數(shù)，記 ε = Y（ a+bx），則 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 稱上式為一元線性回歸模型。 ? 令 ? 得方程組： ? 稱這個(gè)方程組為正規(guī)方程組。 ? 也可以把經(jīng)驗(yàn)回歸方程寫(xiě)為 ? 若記 xbax ??)(? ??? xbay ??? ?? )(?? xxbyy ?????????????????????????? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ??nininiiiiiniiixyniniiiniiyyniniiiniixxyxnyxyyxxSynyyySxnxxxS1 1 111