方差分析及回歸分析-文庫(kù)吧資料
2025-03-14 10:36本頁(yè)面
【正文】 1 1 111 122121 12212))((1))(()(1)()(1)( ? 這時(shí)， a,b的估計(jì)值是 ? 在例 1中，測(cè)得溫度對(duì)產(chǎn)品得率的關(guān)系是 ? 為了求回歸方程，我們需要計(jì)算 ??????????????bxnynaSSbniiniixxxy?)1(1??11溫度 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 得率 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 和 Σ x Y x 2 y 2 xy 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 10 000 12 100 14 400 16 900 19 600 22 500 25 600 28 900 32 400 36 100 2 025 2 601 2 916 3 721 4 356 4 900 5 476 6 084 7 225 7 921 4 500 5 610 6 480 7 930 9 240 10 500 11 840 12 260 15 300 16 910 1 450 673 218 500 47 225 101570 ? 于是得回歸直線方程為 ???????????????????????????????73 101673101?48 ?,3985673145010110 157 08250145010121 850 02aSSbSSxxxyxyxx于是得xy ???根據(jù)上表可以計(jì)算 三、 σ2的估計(jì) ? 根據(jù) Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 即 ε = Y ( a + bx)； 得到 E{[Y –( a+bx)]2 }= E(ε2)=D(ε2)+[E(ε)]2= σ2, ? 這說(shuō)明： 1. σ2愈小，用回歸函數(shù) μ(x)=ax+b作為 Y的近似所導(dǎo)致的均方誤差就愈??；用 μ(x)=ax+b研究 Y就愈有效； 2. 因?yàn)?σ2是未知的，這就要利用樣本來(lái)估計(jì) σ2 。稱為 Y關(guān)于 x的經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)。 ? 令 ? 得方程組： ? 稱這個(gè)方程組為正規(guī)方程組。 二、 a、 b的估計(jì) ? 取 x的 n個(gè)完全不相同的值 x1,x2,…,xn，作獨(dú)立試驗(yàn)，得樣本 (x1, Y1),(x2, ,Y2),…,(xn ,Yn )，于是 ? Y= a+bxi + εi , εi ~N(0, σ2 )；各 εi獨(dú)立 （ 2） ? Yi ~N(a+bxi, σ2 )， Y1,Y2,…,Y n的聯(lián)合概率密度為 ? 利用最大似然估計(jì)法來(lái)估計(jì)未知參數(shù) a、 b。 ? 一元線性回歸模型： 設(shè) Y~N(a+bx, σ2 )其中 a,b, σ2是未知參數(shù)，記 ε = Y（ a+bx），則 Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) （ 1） 稱上式為一元線性回歸模型。利用樣本來(lái)估計(jì)μ(x)的問(wèn)題稱為求 Y關(guān)于 x的回歸問(wèn)題。 ? 在直角坐標(biāo)系中描出散點(diǎn)圖，粗略得出 μ(x) ? 例 1 為研究某一化學(xué)反應(yīng)過(guò)程中溫度 (x,)與產(chǎn)品得率 y的影響。相應(yīng)的樣本值是： (x1, y1),(x2, y2),…,(xn ,yn )。 1. 預(yù)測(cè)問(wèn)題：在給定的置信度下，估計(jì)出當(dāng) x取某一定值時(shí)，隨機(jī)變量 y的取值情況； 2. 控制問(wèn)題：在給定的置信度下，控制自變量 x的取值范圍，使 y在給定的范圍內(nèi)取值； 回歸分析的任務(wù) ? 主要是根據(jù)試驗(yàn)，估計(jì)回歸函數(shù)，討論點(diǎn)估計(jì)、區(qū)間估計(jì)、假設(shè)檢驗(yàn)等問(wèn)題。 一、一元線性回歸 ? 回歸：設(shè) y是隨機(jī)變量，若對(duì)于 x的每一確定值，y有它的分布。 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 F比 因素 誤差 3 14 2825 總和 17 一元線性回歸 本節(jié)的內(nèi)容提綱 （一）一元線性回歸的概念和數(shù)學(xué)模型 （二） a、 b的估計(jì) （三） σ2的估計(jì) （四）線性假設(shè)的顯著性檢驗(yàn) （五）系數(shù) b的置信區(qū)間 （六）回歸函數(shù) μ(x)=a+bx函數(shù)值的點(diǎn)估計(jì)和置信區(qū)間 （七） Y的觀測(cè)值的點(diǎn)預(yù)測(cè)和預(yù)測(cè)區(qū)間 第三節(jié)、一元線性回歸 ? 兩個(gè)變量之間的關(guān)系包括： 1. 確定性關(guān)系：能用函數(shù)關(guān)系表達(dá)； 2. 非確定性關(guān)系：就是相關(guān)關(guān)系。 )0,()(),()(),()(??????????????? ? 解 以 μ1 ， μ2 ， μ3 ， μ4 ， 記類型 ⅰ ， ⅱ ，ⅲ ， ⅳ 四種電路的響應(yīng)時(shí)間總體平均值。 ? 解：經(jīng)計(jì)算 ? 由 (ns)= (12)=，得 ? 故 μ1 – μ2 ， μ1 – μ3 ， μ2 –μ3的置信水平為 信區(qū)間分別為 .,?,?,00 ..2?????????????????????xxxxxxxxxxsnSE????????5)11()( 4 ???????kjE nnSsnt ? 例 6 設(shè)在第二個(gè)例子中，四類電路的響應(yīng)時(shí)間的總體均為正態(tài)分布，切割總體的方差相同，但參數(shù)未知，并且個(gè)樣本相互獨(dú)立。 由于 δj=μjμ, j=1,2,…,s,可知 是 δj的無(wú)偏估計(jì)。 方差來(lái)源 平方和 自由度 均方 F比 因素 A SA= 053 33 2 526 67 誤差 SE= 192 12 016 總和 ST = 245 33 14 例 4的方差分析表 （五）未知參數(shù)的估計(jì) （ 1）參數(shù) σ2 ， μ， μj ， δj的估計(jì) 由上面的討論，不管 H0是否為真， 是 ζ2的無(wú)偏估計(jì) 由于 故 分別是 μ， μj的無(wú)偏估計(jì)。 2)()( ?snSE E ?????sjjnn1 )( . XXn jj ?0)(])([1 11.1.1.????????? ????? ????sjniijsjjjsjjjsjjjjXnXXnXnXXnXXnnj（ 1， 13） ? （由（ 1， 3），（ 1， 6）及 Xij的獨(dú)立性得知 ? 經(jīng)計(jì)算 )/,(~ 2 nNX ???????????????????????????????????sjjjAsjjjsjjjsjjjjsj jjsjjjsjjjAnsSEnnnnnsnn
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