方差分析及回歸分析(參考版)
2025-03-12 10:36本頁面
【正文】 x0 Y0的預(yù)測區(qū)間 x0 Y0的預(yù)測區(qū)間 125 (?) 150 ( ? ) 130 ( ? ) 155 ( ? ) 135 ( ? ) 160 ( ? ) 140 ( ? ) 165 ( ? ) 145 ( ? ) 。 ???????????????????1})(11?)2(?)(11?)2(?{202/00202/0xxxxSxxnntYYSxxnntYP])(11?)2(?[202/0xxSxxnntY ????? ?? ])(11?)2(??[202/0xxSxxnntxba ?????? ??|| 0 xx ? ? 例 5 續(xù)例 2， (1)求回歸函數(shù) μ(x)在 x=125處的值μ(125)的置信水平為 ，求在x=125處 Y的新觀測值的置信水平為 區(qū)間；（ 2）求在 x=x0處 Y的新觀察值 Y0的置信水平為 。由此可以得到 ? 即 ? 在根據(jù)前面的討論，得到 b? )(??? 00 xxbY ??? ))(11[,0(~? 2200 ?xxSxxnNYY????)1,0(~)(11?2200 NSxxnYYxx????? ? 即 ? 對于給定的置信水平 1α，有 )2(~)2/(?)2()(11?222200 ???????ntnnSxxnYYxx???)2(~)(11??200 ?????ntSxxnYYxx??????????????????????????1)2()(11?|?|2/200ntSxxnYYPxx ? 區(qū)間 即區(qū)間 ? 稱該區(qū)間為 Y0的置信水平為 1α的預(yù)測區(qū)間。 000 ??)(?? xbaxy ??? ? ? 由于 Y0是要做的獨立試驗的結(jié)果，所以他與已經(jīng)得到的結(jié)果 Y1， Y2， … Yn，相互獨立。 ? Y0是在 x=x0處的觀測結(jié)果，他滿足 Y0= a+bx0 + ε0, ε0 ~N(0, σ2 ) 我們利用在 x0處的經(jīng)驗回歸函數(shù)值 作為 Y0= a+bx0 + ε0的點預(yù)測。由于 xbaxy ??)(?? ??? ? 000 ??)(?? xbaxy ??? ?00 ?? xbaY ??)1,0(~)(1)(?2000 NSxxnbxaYxx????? 即 )2(~?)2( 2222??? nQn e ????且)2(~)2/(?)2()(1)(?222000 ???????ntnnSxxnbxaYxx???則有 )2(~)(1?)(?2000 ?????ntSxxnbxaYxx? ? 由此可以得到 μ(x0)=a+bx0的置信水平為 1α的置信區(qū)間為 ? 該置信區(qū)間的長度是 x0函數(shù)，他隨 的增加而增加，當(dāng) 時最短。即 ? 相應(yīng)的估計量 是無偏的。 48 ||,?|?|||0:)8()2(,8250,48 ?02/2?????????????tSbtbHtntSbxxxx而的拒絕域是得假設(shè)查表得?? ? （五） 系數(shù) b的置信區(qū)間 ? 在回歸效果顯著時，還要對系數(shù) b做區(qū)間估計。 ? 可以證明 ? 且可以計算 及 ? 在 H0為真時， b=0,這時 ? 且有 ，即得 H0的拒絕域是 ),(~?2xxSbNb ? )2(~?)2( 2222??? nQn e ???? )2(~)2/(?)2(/?222?????ntnnSbbxx??? )2(~?|?||| ?? ntSbtxx? )2(?|?|||2/ ??? ntSbtxx ??0)?( ?? bbE ? 幾點說明： 1. 在 H0： b=0被拒絕時 ,認(rèn)為回歸效果是顯著的；反之則認(rèn)為回歸效果是不顯著的； 2. 回歸效果不顯著的原因可能是： 1) 影響 Y取值的，除 x和隨機(jī)誤差外，可能還有其他因素； 2) E(Y)與 x的關(guān)系可能不是線性的； 3) Y與 x可能不存在關(guān)系； ? 例 4（續(xù)例 2）檢驗回歸效果是否顯著。 3. 若線性假設(shè) Y= a+bx + ε, ε ~N(0, σ2 ) 成立，則 b不為零。 xYYYeniiixYniiYYSbSQYYxxSYYS?,))((,)(112??????? ????殘差平方和為：則)2(~ 22 ?nQ e ?? 2]2[ ???nQE e2?eQ x Y x 2 y 2 xy 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 45 51 54 61 66 70 74 78 85 89 10 000 12 100 14 400 16 900 19 600 22 500 25 600 28 900 32 400 36 100 2 025 2 601 2 916 3 721 4 356 4 900 5 476 6 084 7 225 7 921 4 500 5 610 6 480 7 930 9 240 10 500 11 840 12 260 15 300 16 910 1 450 673 218 500 47 225 101570 ? 計算下表的和時，要計算三個量： ? 和 Σ ]?[212? 2 xYYYe SbSnn Q ?????? 2?,?,? ?ba ? 例 在上表中求 σ2的無偏估計。 我們來計算 Qe 為殘差平方和稱處的殘差為，稱設(shè)：? ?? ???????????niniiiiieiiiixxixbayyyQxyyxbayyi1 122 )??()?(。 ? 也可以把經(jīng)驗回歸方程寫為 ? 若記 xbax ??)(? ??? xbay ??? ?? )(?? xxbyy ?????????????????????????? ? ??? ??? ??? ? ??? ??? ??nininiiiiiniiixyniniiiniiyyniniiiniixxyxnyxyyxxSynyyySxnxxxS
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