20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)342-343圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交-wenkub
2022-11-27 23:21:55 本頁面
【正文】 當(dāng) 2 33 k 1 或 1 k 1 或 1 k 2 33時 ,直線與雙曲線有兩個公共點 . ( 3 ) 當(dāng) k 2 33或 k2 33時 ,直線與雙曲線沒有公共點 . 點評 在解決此類問題時 ,可結(jié)合圖形 ,利用數(shù)形結(jié)合法來分析各種情況 ,以防漏解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 4 】 求過 P ( 0 , 1 ), 且與拋物線 y2= 2 x 只有一個公共點的直線方程 . 思路分析 :設(shè)出直線方程 ,注意斜率不存在的情況 . 解 :① 當(dāng)斜率不存在時 , x= 0 . ② 當(dāng)斜率存在時 ,設(shè)直線為 y= kx+ 1 , 由 ?? = ?? ?? + 1 ,??2= 2x , 消去 y ,整理 ,得 k2x2+ 2 ( k 1 ) x+ 1 = 0 . ∴ 當(dāng) k= 0 時 , y= 1 。 當(dāng) 4 3 ??2 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 2 33 k2 33,且 k ≠ 177。 ② 當(dāng) 1 k2≠ 0 ,即 k ≠ 177。????的關(guān)系等 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 2 】 已知橢圓 4 x2+y2= 1 及直線 y= x + m , 當(dāng)直線和橢圓有公共點時 , 求實數(shù) m 的取值范圍 . 思路分析 :利用方程組解的情況來判定 ,主要是聯(lián)立方程消元后 ,轉(zhuǎn)化為一元二次方程用根的判別式來判定 . 解 :由 4 ??2+ ??2= 1 ,?? = ?? + ?? ,得 5 x2+ 2 mx+ m2 1 = 0 . ∴ Δ = 4 m2 4 5 ( m2 1 ) = 20 16 m2. ∵ 直線與橢圓有公共點 , ∴ Δ ≥ 0 ,即 20 16 m2≥ 0 . ∴ 52≤ m ≤ 52. ∴ m 的取值范圍為 52, 52 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 3 】 已知雙曲線 x2 y2= 4 , 直線 l : y= k ( x 1 ), 試討論實數(shù) k 的取值范圍 , 使 : ( 1 ) 直線 l 與雙曲線有且只有一個公共點 。 Δ = 0 ,直線 l 與曲線 r 相切 。 ③ 方程組無解 ? 直線與拋物線相離 . 1 2 思考 1 如何確定兩條二次曲線交點的個數(shù) ? 提示 :要判斷兩曲線公共點的個數(shù) ,可解方程組 ,看有幾組解即可 ,也可結(jié)合圖形的特征 ,利用數(shù)形結(jié)合的方法進行判斷 . 思考 2 直線與二次曲線交點個數(shù)的問題如何解決 ? 提示 :基本方法可通過方程解的情況進行討論 ,也可利用判別式加以研究 ,當(dāng)其判別式 Δ 0 時 ,有兩個公共點 。 ③ Δ 0 ? 直線與橢圓相離 ? 無公共點 . 1 2 2 . 直線與雙曲線的位置關(guān)系 ( 1 ) 研究直線與雙曲線的位置關(guān)系 ,一般通過解直線方程與雙曲線方程所組成的方程組 ?? ?? + ?? ?? + ?? = 0 ,??2??2 ??2??2= ??2??2( a 0 , b 0 ),對解的個數(shù)進行討論 :當(dāng)有兩組不同的實數(shù)解 ( Δ 0 ) 時 ,直線與雙曲線相交 。 當(dāng) e 1 時 , 圓錐曲線是 雙曲線 。 當(dāng) e= 1時 , 圓錐曲線是 拋物線 . 1 2 2 . 直線與圓錐曲線的交點 在直角坐標(biāo)系 xOy 中 , 給定兩條曲線 C1, C2, 它們由如下方程確定 : C1: f ( x , y ) = 0 , C2: g ( x , y ) = 0 , 求曲線 C1和 C2的交點 , 即要求出這些交點的 坐標(biāo) . 設(shè) M ( x0, y0) 是曲線 C1和 C2的一個交點 。當(dāng)有兩組相同的實數(shù)解( Δ = 0 ) 時 ,直線與雙曲線相切 。當(dāng) Δ = 0 時 ,有一個公共點 。 Δ 0 ,直線 l 與曲線 r 相離 . ( 2 ) 當(dāng) a= 0 時 ,即得到一個一次方程 ,則 l 與 r 相交 ,且只有一個交點 ,此時 ,若 r 為雙曲線 ,則直線 l 與雙曲線的漸近線平行 。 ( 2 ) 直線 l 與雙曲線有兩個公共點 。 1 時 , Δ = ( 2 k2)2 4 ( 1 k2) 1 時 ,方程 ( * ) 有兩個不同的實數(shù)解 。 當(dāng) k ≠ 0 時 , Δ = 0 ? k=12. ∴ 直線方程為 x 2 y+ 2 = 0 . ∴ 直線方程有三條 ,分別為 x= 0 , y= 1 , x 2 y+ 2 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 點評 直線與拋物線的位置關(guān)系 ,主要用代數(shù)法 ,聯(lián)立方程組 ,利用Δ 判斷 .注意二次項系數(shù)為零的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 弦長問題 若直線 l 與圓錐曲線 F ( x , y ) = 0 相交于 A , B 兩點 ,求弦 AB 的長可用下列兩種方法 : ( 1 ) 求交點法 把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立 ,解得點 A , B 的坐標(biāo) ,然后用兩點間距離公式 ,便得到弦 AB 的長 ,一般地說 ,這種方法較為麻煩 . ( 2 ) 根與系數(shù)的關(guān)系法 不求交點坐標(biāo) ,直接用根與系數(shù)的關(guān)系求解 . 直線 l : f ( x , y ) = 0 ,曲線 r : F ( x , y ) = 0 , l 與 r 的兩個不同的交點A , B , A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 ( x1, y1) , ( x2, y2) 是方程組 ?? ( ?? , ?? ) = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0的兩組解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 方程組消元后化為關(guān)于 x ( 或者 y ) 的一元二次方程 Ax2+ B x + C = 0 ( A ≠ 0 ) . 判別式 Δ =B2 4 AC ,應(yīng)有 Δ 0 . 所以 x1, x2是方程 Ax2+ B x+ C = 0 的解 . 由根與系數(shù)的關(guān)系求出 x1+x2= ????, x1x2=????. 所以 A , B 兩點間距離為 | A B | = 1 + ??2|x1 x2|= 1 + ??2 2103. ∴ 所求直線 l 的方程為 y= 2 x177。 已知拋物線 y2= 2 px ( p 0 ) 的弦 AB 的中點 M ( x 0 , y 0 ), 則 k AB =????0. 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 2 .這類問題常見的有兩種類型 : ( 1 ) 已知斜率 ,求平行弦的中點的軌跡方程 。 定值 —— 把得到的函數(shù)解析式化簡 ,消去變量得到定值 . 3 .對于定點問題的處理一般有兩種方法 : ( 1 ) 特殊值法找點 ,然后進行證明 。 當(dāng) | m| 1 時 ,設(shè)切線 l 的方程為 y= k ( x m ) . 由 ?? = ?? ( ?? ?? ),??24+ ??2= 1 得 ( 1 + 4 k2) x2 8 k2mx+ 4 k2m2 4 = 0 . 設(shè) A , B 兩點的坐標(biāo)分別為 ( x1, y1) , ( x2, y2), 則 x1+x2=8 ??2m1 + 4 ??2, x1x2=4 ??2??2
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