20xx北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)342-343《圓錐曲線的共同特征、直線與圓錐曲線的交》-文庫吧
2024-10-27 23:21 本頁面
【正文】 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 2 】 已知橢圓 4 x2+y2= 1 及直線 y= x + m , 當直線和橢圓有公共點時 , 求實數(shù) m 的取值范圍 . 思路分析 :利用方程組解的情況來判定 ,主要是聯(lián)立方程消元后 ,轉(zhuǎn)化為一元二次方程用根的判別式來判定 . 解 :由 4 ??2+ ??2= 1 ,?? = ?? + ?? ,得 5 x2+ 2 mx+ m2 1 = 0 . ∴ Δ = 4 m2 4 5 ( m2 1 ) = 20 16 m2. ∵ 直線與橢圓有公共點 , ∴ Δ ≥ 0 ,即 20 16 m2≥ 0 . ∴ 52≤ m ≤ 52. ∴ m 的取值范圍為 52, 52 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 3 】 已知雙曲線 x2 y2= 4 , 直線 l : y= k ( x 1 ), 試討論實數(shù) k 的取值范圍 , 使 : ( 1 ) 直線 l 與雙曲線有且只有一個公共點 。 ( 2 ) 直線 l 與雙曲線有兩個公共點 。 ( 3 ) 直線 l 與雙曲線沒有公共點 . 思路分析 :在解決直線與雙曲線位置關(guān)系時 ,對消元后的方程的二次項系數(shù)是否為零應(yīng)分類討論 ,且要結(jié)合判別式討論 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 ??2 ??2= 4 ,?? = ?? ( ?? 1 ),消去 y ,整理 , 得 ( 1 k2) x2+ 2 k2x k2 4 = 0 . ( * ) ① 當 1 k2= 0 ,即 k= 177。 1 時 ,直線 l 與雙曲線的漸近線平行 ,方程 ( * ) 可化為2 x= 5 ,故此時方程 ( * ) 只有一個實數(shù)解 。 ② 當 1 k2≠ 0 ,即 k ≠ 177。 1 時 , Δ = ( 2 k2)2 4 ( 1 k2) ( k2 4 ) = 4 ( 4 3 k2), 當 Δ = 4 ( 4 3 ??2) = 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k= 177。2 33時 ,方程 ( * ) 有兩個相同的實數(shù)解 。 當 4 3 ??2 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 2 33 k2 33,且 k ≠ 177。 1 時 ,方程 ( * ) 有兩個不同的實數(shù)解 。 當 4 3 ??2 0 ,1 ??2≠ 0 ,即 k 2 33或 k2 33時 ,方程 ( * ) 無實數(shù)解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 綜上所述 , ( 1 ) 當 k= 177。 1 或 k= 177。2 33時 ,直線與雙曲線有且只有一個公共點 . ( 2 ) 當 2 33 k 1 或 1 k 1 或 1 k 2 33時 ,直線與雙曲線有兩個公共點 . ( 3 ) 當 k 2 33或 k2 33時 ,直線與雙曲線沒有公共點 . 點評 在解決此類問題時 ,可結(jié)合圖形 ,利用數(shù)形結(jié)合法來分析各種情況 ,以防漏解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 4 】 求過 P ( 0 , 1 ), 且與拋物線 y2= 2 x 只有一個公共點的直線方程 . 思路分析 :設(shè)出直線方程 ,注意斜率不存在的情況 . 解 :① 當斜率不存在時 , x= 0 . ② 當斜率存在時 ,設(shè)直線為 y= kx+ 1 , 由 ?? = ?? ?? + 1 ,??2= 2x , 消去 y ,整理 ,得 k2x2+ 2 ( k 1 ) x+ 1 = 0 . ∴ 當 k= 0 時 , y= 1 。 當 k ≠ 0 時 , Δ = 0 ? k=12. ∴ 直線方程為 x 2 y+ 2 = 0 . ∴ 直線方程有三條 ,分別為 x= 0 , y= 1 , x 2 y+ 2 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 點評 直線與拋物線的位置關(guān)系 ,主要用代數(shù)法 ,聯(lián)立方程組 ,利用Δ 判斷 .注意二次項系數(shù)為零的情況 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 弦長問題 若直線 l 與圓錐曲線 F ( x , y ) = 0 相交于 A , B 兩點 ,求弦 AB 的長可用下列兩種方法 : ( 1 ) 求交點法 把直線的方程與圓錐曲線的方程聯(lián)立 ,解得點 A , B 的坐標 ,然后用兩點間距離公式 ,便得到弦 AB 的長 ,一般地說 ,這種方法較為麻煩 . ( 2 ) 根與系數(shù)的關(guān)系法 不求交點坐標 ,直接用根與系數(shù)的關(guān)系求解 . 直線 l : f ( x , y ) = 0 ,曲線 r : F ( x , y ) = 0 , l 與 r 的兩個不同的交點A , B , A ( x1, y1), B ( x2, y2), 則 ( x1, y1) , ( x2, y2) 是方程組 ?? ( ?? , ?? ) = 0 ,?? ( ?? , ?? ) = 0的兩組解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 方程組消元后化為關(guān)于 x ( 或者 y ) 的一元二次方程 Ax2+ B x + C = 0 ( A ≠ 0 ) . 判別式 Δ =B2 4 AC ,應(yīng)有 Δ 0 . 所以 x1, x2是方程 Ax2+ B x+ C = 0 的解 . 由根與系數(shù)的關(guān)系求出 x1+x2= ????, x1x2=????. 所以 A , B 兩點間距離為 | A B | = 1 + ??2|x1 x2|= 1 + ??2 ( ??1+ ??2)2 4 ??1??2,即弦長公式 .也可以寫成關(guān)于 y 的形式 ,其弦長公式為 | A B | = | y1 y2| 1 +1??2( k ≠ 0 ) . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 【典型例題 5 】 已知橢圓 C :??2??2+??2??2= 1 ( a b 0 ), 直線 l1:?????????= 1 被橢圓C 截得的弦長為 2 2 , 過橢圓 C 的右焦點且斜率為 3 的直線 l2被橢圓 C 截得的弦長是橢圓長軸長的25, 求橢圓 C 的方程 . 思路分析 :由直線 l1方程的特點 ,知直線 l1恰好過橢圓的兩個頂點 ,即有a2+b2= 8 ,把直線 l2的方程代入橢圓方程 ,利用根與系數(shù)的關(guān)系和弦長公式求解 . 探究一 探究二 探究三 探究四 探究五 探究六 解 :由 l1被 C 截得的弦長為 2 2 ,得 a2+b2= 8 .① 設(shè) l2: y= 3 ( x c ), 代入橢圓 C 的方程并化簡 ,得 ( b2+ 3 a2) x2 6 a2cx+ a2( 3 c2 b2) = 0 . 設(shè)直線 l2與橢圓交于點 M ( x1, y1), N ( x2, y2) . 由根與系數(shù)的關(guān)系 ,得 x1+x2=6 ??2c??2+ 3 ??2, x1x2
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