概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)-wenkub
2022-09-02 08:41:23 本頁面
【正文】 量的概率分布的變化規(guī)律可以用分布律來描述，但是這種方法不適用于連續(xù)型隨機(jī)變量，因?yàn)楹笳叩娜≈禑o法一一列舉出來，因此不能用分布律的形式來描述。2. 隨機(jī)變量的概率分布（1） 離散型隨機(jī)變量 掌握離散型隨機(jī)變量的變化規(guī)律，除了要了解它的取值以外，更重要的是還要了解它取各可能值的概率是多少。擲硬幣試驗(yàn)時(shí)，隨機(jī)變量ξ的取值為0或1。例如，擲硬幣時(shí)“正面朝上”或“反面朝上”這兩件事，我們可以分別記為“0”或“1”。P（A）＝p拋擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)者投擲次數(shù) n出現(xiàn)正面次數(shù) m出現(xiàn)正面頻率 m/n蒲 豐40402048皮爾遜120006019皮爾遜2400012012維 尼30000149943. 概率的基本性質(zhì) 0≤P（A）≤1 即任何事件的概率都介于0和1之間 P(U)=1 即必然事件的概率為1 P(V)=0 即不可能事件的概率為0二、隨機(jī)變量及其概率分布1. 隨機(jī)變量的概念有些隨機(jī)事件有數(shù)量標(biāo)識(shí)，如射擊時(shí)命中的環(huán)數(shù)，擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)等等。（見書上表11）頻率m/n本身不是常數(shù)，它與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān)，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，頻率總是在某一常數(shù)附近擺動(dòng)，而且n愈大，頻率與這個(gè)常數(shù)的偏差往往愈小，這種性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性。實(shí)踐證明，隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的屬性，不隨人們的主觀意愿而轉(zhuǎn)移，并且這種屬性可以通過大量試驗(yàn)來認(rèn)識(shí)。不可能事件（V）：指在一定條件下不發(fā)生的事件，如“1atm下水加熱至50℃時(shí)沸騰”是不可能事件。隨機(jī)事件（A、B……）：指一定條件下，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生的事件。為便于研究，我們將隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小用一個(gè)數(shù)值p來表示，并把這個(gè)數(shù)值p叫做事件A的概率。這個(gè)常數(shù)是客觀存在的，與所做的若干次具體試驗(yàn)無關(guān)，它反映了事件本身所蘊(yùn)含的規(guī)律性，反映了事件出現(xiàn)的可能性大小。但也有些隨機(jī)事件無數(shù)量標(biāo)識(shí)，如擲一枚硬幣時(shí)，試驗(yàn)結(jié)果為“正面朝上”或“反面朝上”，而不是數(shù)量。經(jīng)這樣規(guī)定后，隨機(jī)事件就可以用一個(gè)數(shù)來表示了。隨機(jī)變量分為離散型和非離散型兩類。例如，要檢驗(yàn)一批產(chǎn)品的質(zhì)量，從中任意抽取5件，僅僅知道次品數(shù)ξ的可能取值（0，1，2，3，4，5）還不夠，還應(yīng)當(dāng)知道“次品數(shù)為0”的概率有多大，“次品數(shù)為1”的概率有多大，……，“次品數(shù)為5”的概率有多大，只有這樣才能對產(chǎn)品中的次品情況有一個(gè)較全面的了解。對這類隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律的描述通常是以研究“隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間上取值的概率”來實(shí)現(xiàn)的。分布密度函數(shù)p（x）具有以下性質(zhì)：（i） p（x）≥0（ii） 這兩條性質(zhì)可以作為判斷一個(gè)函數(shù)是否可以作為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度的條件。 概率分布密度函數(shù)p（x）的圖形如圖1－2所示。對連續(xù)型隨機(jī)變量ξ，p(x)為其分布密度，則分布函數(shù)為F（x）＝P（ξ≤x）＝ （－∞x+∞）如圖14所示。此外，還有許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的分布函數(shù)為F（x）＝ （∞x+∞）特別的，當(dāng)μ＝0和＝1時(shí)稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，記作ξ～N(0，1)。μ決定位置，決定形狀。它能部分地描述分布函數(shù)的特征。因此，所求平均值為得到的諸量值以其出現(xiàn)的頻率為權(quán)的加權(quán)平均。下面分別討論離散型和連續(xù)型兩種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義及其性質(zhì)。（3） 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義：設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布密度為p（x），若廣義積分絕對收斂，則E（ξ）＝稱為連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望。定義：設(shè)ξ為一隨機(jī)變量，如果其數(shù)學(xué)期望E（ξ）存在，則稱[ξE（ξ）]為隨機(jī)變量的ξ的離差。故D（ξ）定義域很好地反映了方差是描述隨機(jī)變量ξ與E（ξ）的偏離情況，也便于數(shù)學(xué)上的分析。我們可以把一個(gè)總體看作某一隨機(jī)變量ξ全部取值的集合。樣本中個(gè)體數(shù)目n為樣本容量。這說明，樣本（ξξ2……ξn）都是與總體ξ同分布的；其次，如果樣本的抽取是隨機(jī)進(jìn)行的，并不摻雜人的主觀傾向造成的偏差，那么每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都是均等的（即ξξ2……ξn相互獨(dú)立）。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中，常用的統(tǒng)計(jì)量是樣本均值、樣本方差和極差，它們都是樣本的數(shù)字特征。樣本均值是描述數(shù)據(jù)的平均狀態(tài)或集中位置的，樣本方差是描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況或離散程度的，極差則是表示數(shù)據(jù)離散程度的最簡單方法。4． F分布設(shè)（ξξ2……ξn）與(ηη2……ηn)是分別取自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體ξ～N（μ1，）和η～N（μ2，）的樣本，則統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度f1＝n1－1，第二自由度f2＝n2－1的F分布，記作～F(n1－1，n21)其分布密度為f1=n11, f2=n21特別地,若 則有～F(n11,n21)F變量用于兩個(gè)正態(tài)總體方差異同的檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)通常有兩種方法，即點(diǎn)估計(jì)（以樣本的某一函數(shù)的某一函數(shù)值作為總體中未知參數(shù)的估計(jì)值）和區(qū)間估計(jì)（將總體的數(shù)字特征按照一定的概率確定在某一范圍之內(nèi)）。點(diǎn)估計(jì)是在樣本上進(jìn)行的，設(shè)F(x,θ)為總體ξ的分布函數(shù)，其中x為變量，θ為參數(shù)，(ξξ…ξn)是來自總體的一個(gè)樣本，現(xiàn)用樣本函數(shù)(ξξ…ξn)去估計(jì)θ，我們稱為參數(shù)θ的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量，而稱θ為待估參數(shù)。為了這個(gè)目的，我們規(guī)定了一些評價(jià)估計(jì)值優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，來衡量包括點(diǎn)估計(jì)在內(nèi)的估計(jì)方法的優(yōu)劣。例16 證明S2＝2是D(ξ)的無偏估計(jì)量；S*2＝2不是D(ξ)的無偏估計(jì)量。（2）估計(jì)的有效性無偏性是估計(jì)量好壞的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一。例17 比較正態(tài)總體均值E(ξ)的兩個(gè)估計(jì)量＝和的有效性。二．參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是利用樣本來構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量，再把樣本值代入估計(jì)量求出估計(jì)值來實(shí)現(xiàn)的。區(qū)間估計(jì)是要根據(jù)樣本來確定一個(gè)區(qū)間（1, 2），使參數(shù)θ落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率等于一個(gè)給定的數(shù)1α，即P(1θ2)＝1α。正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望（均值μ）的區(qū)間估計(jì)（1）已知，求μ的置信區(qū)間 設(shè)總體ξ～N(μ, )，且已知，(ξξ…ξn)是來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本，則由式(13)和(14)可知： ～N(μ，)，u＝～N(0，1) 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，對給定的信度α，查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)Uα表，可得，使得：P(|u|)=1α，即P（ )=1α P（μ）＝1α 所以μ的置信區(qū)間為（，）.討 論：1）當(dāng)樣本容量n越大時(shí)，越小，計(jì)算到的置信區(qū)間越小，估計(jì)效果越好。（2）未知，求μ的置信區(qū)間在實(shí)際問題中，往往只知道總體服從正態(tài)分布，而數(shù)學(xué)期望μ和方差均為未知，在這種情況下求期望的置信區(qū)間，可用樣本方差S2代替總體
研究報(bào)告相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1