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概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)-wenkub

2022-09-02 08:41:23 本頁面
 

【正文】 量的概率分布的變化規(guī)律可以用分布律來描述,但是這種方法不適用于連續(xù)型隨機(jī)變量,因?yàn)楹笳叩娜≈禑o法一一列舉出來,因此不能用分布律的形式來描述。2. 隨機(jī)變量的概率分布(1) 離散型隨機(jī)變量 掌握離散型隨機(jī)變量的變化規(guī)律,除了要了解它的取值以外,更重要的是還要了解它取各可能值的概率是多少。擲硬幣試驗(yàn)時(shí),隨機(jī)變量ξ的取值為0或1。例如,擲硬幣時(shí)“正面朝上”或“反面朝上”這兩件事,我們可以分別記為“0”或“1”。P(A)=p拋擲硬幣試驗(yàn)試驗(yàn)者投擲次數(shù) n出現(xiàn)正面次數(shù) m出現(xiàn)正面頻率 m/n蒲 豐40402048皮爾遜120006019皮爾遜2400012012維 尼30000149943. 概率的基本性質(zhì) 0≤P(A)≤1 即任何事件的概率都介于0和1之間 P(U)=1 即必然事件的概率為1 P(V)=0 即不可能事件的概率為0二、隨機(jī)變量及其概率分布1. 隨機(jī)變量的概念有些隨機(jī)事件有數(shù)量標(biāo)識(shí),如射擊時(shí)命中的環(huán)數(shù),擲一枚骰子所出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)等等。(見書上表11)頻率m/n本身不是常數(shù),它與試驗(yàn)次數(shù)n有關(guān),隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加,頻率總是在某一常數(shù)附近擺動(dòng),而且n愈大,頻率與這個(gè)常數(shù)的偏差往往愈小,這種性質(zhì)叫做頻率的穩(wěn)定性。實(shí)踐證明,隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是它本身所固有的屬性,不隨人們的主觀意愿而轉(zhuǎn)移,并且這種屬性可以通過大量試驗(yàn)來認(rèn)識(shí)。不可能事件(V):指在一定條件下不發(fā)生的事件,如“1atm下水加熱至50℃時(shí)沸騰”是不可能事件。隨機(jī)事件(A、B……):指一定條件下,可能發(fā)生,也可能不發(fā)生的事件。為便于研究,我們將隨機(jī)事件A發(fā)生的可能性的大小用一個(gè)數(shù)值p來表示,并把這個(gè)數(shù)值p叫做事件A的概率。這個(gè)常數(shù)是客觀存在的,與所做的若干次具體試驗(yàn)無關(guān),它反映了事件本身所蘊(yùn)含的規(guī)律性,反映了事件出現(xiàn)的可能性大小。但也有些隨機(jī)事件無數(shù)量標(biāo)識(shí),如擲一枚硬幣時(shí),試驗(yàn)結(jié)果為“正面朝上”或“反面朝上”,而不是數(shù)量。經(jīng)這樣規(guī)定后,隨機(jī)事件就可以用一個(gè)數(shù)來表示了。隨機(jī)變量分為離散型和非離散型兩類。例如,要檢驗(yàn)一批產(chǎn)品的質(zhì)量,從中任意抽取5件,僅僅知道次品數(shù)ξ的可能取值(0,1,2,3,4,5)還不夠,還應(yīng)當(dāng)知道“次品數(shù)為0”的概率有多大,“次品數(shù)為1”的概率有多大,……,“次品數(shù)為5”的概率有多大,只有這樣才能對產(chǎn)品中的次品情況有一個(gè)較全面的了解。對這類隨機(jī)變量的概率分布規(guī)律的描述通常是以研究“隨機(jī)變量在某個(gè)區(qū)間上取值的概率”來實(shí)現(xiàn)的。分布密度函數(shù)p(x)具有以下性質(zhì):(i) p(x)≥0(ii) 這兩條性質(zhì)可以作為判斷一個(gè)函數(shù)是否可以作為一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量的分布密度的條件。 概率分布密度函數(shù)p(x)的圖形如圖1-2所示。對連續(xù)型隨機(jī)變量ξ,p(x)為其分布密度,則分布函數(shù)為F(x)=P(ξ≤x)= (-∞x+∞)如圖14所示。此外,還有許多隨機(jī)變量近似服從正態(tài)分布。正態(tài)分布的分布函數(shù)為F(x)= (∞x+∞)特別的,當(dāng)μ=0和=1時(shí)稱ξ服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,記作ξ~N(0,1)。μ決定位置,決定形狀。它能部分地描述分布函數(shù)的特征。因此,所求平均值為得到的諸量值以其出現(xiàn)的頻率為權(quán)的加權(quán)平均。下面分別討論離散型和連續(xù)型兩種隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的定義及其性質(zhì)。(3) 連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義:設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的分布密度為p(x),若廣義積分絕對收斂,則E(ξ)=稱為連續(xù)型隨機(jī)變量ξ的數(shù)學(xué)期望。定義:設(shè)ξ為一隨機(jī)變量,如果其數(shù)學(xué)期望E(ξ)存在,則稱[ξE(ξ)]為隨機(jī)變量的ξ的離差。故D(ξ)定義域很好地反映了方差是描述隨機(jī)變量ξ與E(ξ)的偏離情況,也便于數(shù)學(xué)上的分析。我們可以把一個(gè)總體看作某一隨機(jī)變量ξ全部取值的集合。樣本中個(gè)體數(shù)目n為樣本容量。這說明,樣本(ξξ2……ξn)都是與總體ξ同分布的;其次,如果樣本的抽取是隨機(jī)進(jìn)行的,并不摻雜人的主觀傾向造成的偏差,那么每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)都是均等的(即ξξ2……ξn相互獨(dú)立)。在數(shù)理統(tǒng)計(jì)中,常用的統(tǒng)計(jì)量是樣本均值、樣本方差和極差,它們都是樣本的數(shù)字特征。樣本均值是描述數(shù)據(jù)的平均狀態(tài)或集中位置的,樣本方差是描述數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況或離散程度的,極差則是表示數(shù)據(jù)離散程度的最簡單方法。4. F分布設(shè)(ξξ2……ξn)與(ηη2……ηn)是分別取自兩個(gè)相互獨(dú)立的正態(tài)總體ξ~N(μ1,)和η~N(μ2,)的樣本,則統(tǒng)計(jì)量服從第一自由度f1=n1-1,第二自由度f2=n2-1的F分布,記作~F(n1-1,n21)其分布密度為f1=n11, f2=n21特別地,若 則有~F(n11,n21)F變量用于兩個(gè)正態(tài)總體方差異同的檢驗(yàn)。參數(shù)估計(jì)通常有兩種方法,即點(diǎn)估計(jì)(以樣本的某一函數(shù)的某一函數(shù)值作為總體中未知參數(shù)的估計(jì)值)和區(qū)間估計(jì)(將總體的數(shù)字特征按照一定的概率確定在某一范圍之內(nèi))。點(diǎn)估計(jì)是在樣本上進(jìn)行的,設(shè)F(x,θ)為總體ξ的分布函數(shù),其中x為變量,θ為參數(shù),(ξξ…ξn)是來自總體的一個(gè)樣本,現(xiàn)用樣本函數(shù)(ξξ…ξn)去估計(jì)θ,我們稱為參數(shù)θ的一個(gè)點(diǎn)估計(jì)量,而稱θ為待估參數(shù)。為了這個(gè)目的,我們規(guī)定了一些評價(jià)估計(jì)值優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn),來衡量包括點(diǎn)估計(jì)在內(nèi)的估計(jì)方法的優(yōu)劣。例16 證明S2=2是D(ξ)的無偏估計(jì)量;S*2=2不是D(ξ)的無偏估計(jì)量。(2)估計(jì)的有效性無偏性是估計(jì)量好壞的評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之一。例17 比較正態(tài)總體均值E(ξ)的兩個(gè)估計(jì)量=和的有效性。二.參數(shù)的區(qū)間估計(jì)參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)是利用樣本來構(gòu)造統(tǒng)計(jì)量,再把樣本值代入估計(jì)量求出估計(jì)值來實(shí)現(xiàn)的。區(qū)間估計(jì)是要根據(jù)樣本來確定一個(gè)區(qū)間(1, 2),使參數(shù)θ落在這個(gè)區(qū)間內(nèi)的概率等于一個(gè)給定的數(shù)1α,即P(1θ2)=1α。正態(tài)總體數(shù)學(xué)期望(均值μ)的區(qū)間估計(jì)(1)已知,求μ的置信區(qū)間 設(shè)總體ξ~N(μ, ),且已知,(ξξ…ξn)是來自正態(tài)總體的一個(gè)樣本,則由式(13)和(14)可知: ~N(μ,),u=~N(0,1) 根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì),對給定的信度α,查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上側(cè)分位數(shù)Uα表,可得,使得:P(|u|)=1α,即P( )=1α P(μ)=1α 所以μ的置信區(qū)間為(,).討 論:1)當(dāng)樣本容量n越大時(shí),越小,計(jì)算到的置信區(qū)間越小,估計(jì)效果越好。(2)未知,求μ的置信區(qū)間在實(shí)際問題中,往往只知道總體服從正態(tài)分布,而數(shù)學(xué)期望μ和方差均為未知,在這種情況下求期望的置信區(qū)間,可用樣本方差S2代替總體
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