東北大學(xué)數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽論文-wenkub
2022-11-17 01:47:27 本頁(yè)面
【正文】 入彎后不出現(xiàn)側(cè)滑的情況須有： 12F F F?? (6) 由以上各式可解得： 2 ()v Rg u e?? (7) 剎車之后速度 變化模型 剎車之后，發(fā)動(dòng)機(jī)停止工作不做功，汽車依靠原有動(dòng)能在路上滑行，摩擦力最大可取滑動(dòng)摩擦力 mg? ，不發(fā)生側(cè)滑時(shí)取滾動(dòng)摩擦力為 mg? 。39。 公路 彎道 設(shè)計(jì)合理性分析 公路設(shè)計(jì)的合理性可由入彎不發(fā)生側(cè)滑的最大速度衡量，即容 許通過(guò)該路段不發(fā)生事故車輛的最大速度。以水平東西方向?yàn)?x 軸，以水平南北方向?yàn)?y 軸建立直角坐標(biāo)系， 。 39。 ()Y Fx? 緩和曲線的方程。改良公路線型使汽車能平滑入彎 。 四 問(wèn)題分析 通過(guò)查閱 google 地圖中當(dāng)?shù)氐匦蔚膶?shí)際情況的衛(wèi)星視圖可清楚的看到事故發(fā)生路段的地形情況，事故所發(fā)生路段 為一個(gè)直道下坡之后接一個(gè) S 型彎道如下圖所示： 3 圖片一：事故發(fā)生地地形示意圖 結(jié)合 google 地圖中的地形和照片中的路口實(shí)際情況，分析事 故發(fā)生的原因可以推斷， 汽車行駛經(jīng)過(guò)下坡路段后，車速達(dá)到較大的值 ，在不知道前方有彎道和紅綠燈的情況下，不會(huì)減速剎車。 汽車進(jìn)入彎道為平滑入彎，即是沿彎道的切線方向進(jìn)入彎道的。 在題目給定的條件下，同學(xué)們可自行設(shè)計(jì)符合題意的情景，建立你的數(shù)學(xué)模型： (1) 說(shuō)明道路設(shè)計(jì)是否合理； (2) 如道路設(shè)計(jì)不合理需要如何修改設(shè)計(jì)在最小成本的情況下得到最大改善。 “我們認(rèn)為這段路設(shè)計(jì)上有問(wèn)題，以前這里就是一塊平地，本來(lái)可以建成沒(méi)有坡的道路，現(xiàn)在卻是原沒(méi)有坡的拱了個(gè)坡，沒(méi)有彎的造了個(gè)彎。 一輛拉磚的貨車一頭撞進(jìn)路邊居民房?jī)?nèi) ，司機(jī)受傷。39。 39。 求解緩和曲線方程式，通過(guò)轉(zhuǎn)化，近似，將此問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解一個(gè)帶初值的二階微分方程的問(wèn)題，微分方程為： 339。最后，考慮汽車在彎道上每一點(diǎn)行駛的滾動(dòng)摩擦力，結(jié)合已經(jīng)分析得出的側(cè)滑條件，計(jì)算得出在彎道上最容易發(fā)生事故的點(diǎn)的坐標(biāo)，并求出該點(diǎn)對(duì)應(yīng)的進(jìn)入彎道的初始速度的值，這個(gè)值就是能順利過(guò)彎而不發(fā)生事故的速度最大值。對(duì)于問(wèn)題二，設(shè)計(jì)緩和曲線，建立了緩和曲線的曲線方程模型，使汽車通過(guò)緩和曲線能從直道平滑的過(guò)渡到彎道。 對(duì)于問(wèn)題一，首先，通過(guò)在 google 地圖上取點(diǎn)，描繪出事 故多發(fā)地彎道的曲線形狀，將屏幕坐標(biāo)點(diǎn)轉(zhuǎn)化為實(shí)際道路情況坐標(biāo)點(diǎn)。通過(guò)計(jì)算得出進(jìn)入彎道的最大速度為 在彎道內(nèi)一定會(huì)發(fā)生事故。2 2220 39。 39。(1 )( ) 1,S s S sYx x k AYY y Y y? ??? ? ??? ??? 此微分方程無(wú)法求得解析解，因此采用計(jì)算出其在 設(shè)置緩和曲線范圍內(nèi)的一系列數(shù)值解，之后通過(guò)最小二乘法對(duì)緩和曲線方程做擬合的方法近似計(jì)算緩和曲線方程。 該段道路的上段是近 2公里的長(zhǎng)坡，到出事路段時(shí)，則是一段 S形的急彎陡坡路?！备?近居民說(shuō)，行駛至該路段的駕駛員被前方十字路口的建筑擋住視線，駛過(guò)此路段的車輛車速都很快，一下坡就遇到紅綠燈，根本來(lái)不及剎車。 三 模型假設(shè) 1. 汽車在下坡時(shí)不知道前方有急彎。 3. 汽車的轉(zhuǎn)彎半徑約等于彎道的曲率半徑。遇到紅綠燈后汽車 剎車 過(guò)彎，但 已經(jīng)來(lái)不及將速度降低到正常過(guò)彎的情況。 第一步，通過(guò)取點(diǎn)將入彎段得公路 彎道曲線 離散化，用 Hermite 插值對(duì)所取離散的點(diǎn)進(jìn)行插值處理，之后用最小二乘法擬合出在入彎處得 公路曲線的函數(shù)。 山珍大廈 直道 S 型彎道 4 0x 緩和曲線的起始點(diǎn)。a 緩和曲線上行駛的離心加速度變化率為 39。在 ( , )iixy 中對(duì)事故發(fā)生路段著重取點(diǎn)增大取點(diǎn)的密集程度，提高準(zhǔn)確性。通過(guò)動(dòng)力學(xué)理論分析可求得此 最大速度。(1 )yR y?? (1) 在點(diǎn) ( , )ssxy 的曲率半徑 sR 為 ()ssR R x? 汽車不發(fā)生側(cè)滑時(shí) 速度條件模型 輪胎在路面上出現(xiàn)橫向滑移時(shí)的附著系數(shù)稱為橫滑附著系數(shù) 設(shè)其為 ? 。設(shè)滑到 ( , )iixy 處時(shí)汽車速度為 iv ，在此處彎道的曲率半徑為 iR 。 緩和曲線 道路 改善模型 在不改變彎道形狀的情況下， 使道路狀態(tài)改善，在彎道上發(fā)生事故的事故率降低，只有降低入彎時(shí)的速度才能達(dá)到目的，在 的出的結(jié)論基礎(chǔ)上，在坡道和彎道間加入緩和曲線，緩和曲線 能 提醒 司機(jī) 前方有彎道，提醒司機(jī)減速。 讓司機(jī)有足夠的時(shí)間調(diào)整車頭方向，使汽車平滑入彎。 由以上性質(zhì)建立緩和曲線方程模型，設(shè)緩和曲線從 0xx? 處開(kāi)始至 sxx? 處結(jié)束， jx 為緩和曲線上任意一點(diǎn)，此點(diǎn)距 0x 處距離為 jl ，曲率半徑為 jR 。 上式可化為： 2j jAR l? (14) 此公式即為緩和曲線公式，滿足此條件的螺旋線稱為 霍爾布魯克螺線 （回旋線） 。緩和曲線的長(zhǎng)度應(yīng)盡可能的小，從而降低修改公路的成本，緩和曲線的最小長(zhǎng)度可綜合旅客 過(guò)彎時(shí)的 舒適程度 和緩和曲線段行駛時(shí)間長(zhǎng)短確定。a 的取值 8 2 0min 39。 霍爾布魯克螺線 直 角坐標(biāo)系下曲線方程的推導(dǎo) 設(shè) 霍爾布魯克螺線 在直角坐標(biāo)系下的方程為 ()Y Fx? 則由上一問(wèn)模型中給出的公式得在螺線上的每一點(diǎn)的曲率半徑都滿足表達(dá)式 339。21 ( )jxxL Y dx???
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