數(shù)學(xué)二次函數(shù)中絕對(duì)值問(wèn)題的求解策略-wenkub
2023-04-19 04:23:59 本頁(yè)面
【正文】 +bx+c| (a≠0)在區(qū)間[p,q]上的最大值，由圖象易知只能在x=p或x=q或處取得，于是由題意只需證明|f(－2)|≤7且|f(2)|≤7且由已知|f(－1)|=|a+b－c|,|f(1)|=|a+b+c|,|f(0)|=|c|,|f(－2)|=|4a－2b+c|=|3f(－1)+f(1)－3f(0)|≤3|f(－1)|+|f(1)+3|f(0)|=31+1+31=7同理|f(2)|≤7.若,則由以上可知命題已證。例4 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),對(duì)一切x[－1,1],都有|f(x)|≤1，且g(x)=cx2+bx+a，求證：（1）x[－1,1]時(shí)，|2ax+b|≤4.（2）x[－1,1]時(shí)，|g(x)|≤2.證明 （1）由題設(shè)條件，可得又由題意可知要證明時(shí)，|2ax+b|≤4，只要證明|177。又∵1+|x2|0，∴|x1|1.同理可得|x2|1。本題除了取x=－外，x還可取那些值呢？留給讀者思考。（2）當(dāng)b－2時(shí)，求證：在（－1，1）內(nèi)至少存在一個(gè)x0，使得|f(x0)|≥.分析 （1）當(dāng)b－2時(shí)，f(x)的對(duì)稱軸在（－1，1）的右側(cè)，那么f(x)在（－1，1）內(nèi)單調(diào)遞減。二次函數(shù)和絕對(duì)值所構(gòu)成的綜合題，由于知識(shí)的綜合性、題型的新穎性、解題方法的靈活性、思維方式的抽象性，學(xué)習(xí)解題時(shí)往往不得要領(lǐng)，現(xiàn)從求解策略出發(fā)，對(duì)近年來(lái)各類(lèi)考試中的部分相關(guān)考題，進(jìn)行分類(lèi)剖析，歸納出一般解題思考方法。一、適時(shí)用分類(lèi)，討論破定勢(shì)分類(lèi)討論是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想。（2）這是一個(gè)存在性命題，怎么理解“至少存在一個(gè)x0”呢？其實(shí)質(zhì)是能找到一個(gè)這樣的x0，問(wèn)題就解決了，不妨用最特殊的值去試一試。二、合理用公式，靈活換視角公式|a|－|b|≤|a177。例3 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0),若函數(shù)f(x)的圖象與直線y=x和y=x均無(wú)公共點(diǎn)，求證：（1）4ac－b21.（2）對(duì)一切實(shí)數(shù)x，恒有.分析（1）略。2a+b|≤4.同理可證|－2a+b|≤4.（2）|g(x)|=|cx2+bx+a|請(qǐng)讀者仿照例4的方法解決下面一題：例5 函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，已知|f(0)|≤1，|f(－1)|≤1,|f(1)|≤：對(duì)一切,都有分析 借助恒等式,得|g(x)|=|ax+b|注意到,有,故有|g(x)|≤1+1=2.五、聯(lián)想反證法，類(lèi)比創(chuàng)條件對(duì)于一些數(shù)學(xué)問(wèn)題，如果從正面思考較難，不妨嘗試從反面入手，巧用逆向思維，比如借反證法來(lái)找到解決問(wèn)題的途徑。若，則∵|c|≤1,又因此，對(duì)一切,都有|f(x)|≤7.例9 （1998年“希望杯”高三賽題）若函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，對(duì)一切x[0,1],恒有|f(x)|≤1.（1）對(duì)所有這樣的f(x)，求|a|+|b|+|c|可能的最大值；（2）試給出一個(gè)這樣的f(x)，使|a|+|b|+|c|確實(shí)取到上述最大值。一、定區(qū)間與定軸區(qū)間和對(duì)稱軸都確定時(shí)，則將函數(shù)式配方，再根據(jù)對(duì)稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，求最值。分析 f(x)的圖象開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為x=m。綜上可知m=1。將表達(dá)式配方，得由于x[－b,b]，對(duì)稱軸,所以應(yīng)對(duì)及分類(lèi)討論。例4 已知f(x)=－x2+(a－1)x+a,x[1,a]的最大值為100，求a值。因此，抽象函數(shù)在近幾年的各種考試中，成為考查的重點(diǎn)。解 若存在這樣的函數(shù)f(x)，由條件得f(2)=f(1+1)=[f(1)]2=4,∴f(1)=(2)=22,∴f(3)=f(2+1)=f(2)f(1)=2k二、判斷函數(shù)的單調(diào)性例2 設(shè)f(x)是定義在[－1，1]上的函數(shù)，且滿足f(－x)=－f(x)，對(duì)任意a、b[－1，1]，當(dāng)a+b≠0時(shí)，都有0。三、求函數(shù)值或值域例3 已知定義在N*上，且
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