【正文】 后不放回就取第二個數(shù)，求在的條件下的分布列。 流水作業(yè)線上生產(chǎn)出的每個產(chǎn)品為不合格品的概率，當(dāng)生產(chǎn)出個不合格品時即停工檢修一次。如果(1)摸球是為返回的，(2)摸球是返回的，試對這兩種不同的摸球方式求：取出黑球數(shù)的數(shù)學(xué)期望。(2) 證明 (1)由于存在，所以該級數(shù)絕對收斂。解 設(shè)為所選兩個數(shù)字之差的絕對值，則，于是。 如果在15000件產(chǎn)品中有1000件不合格品，從中任意抽取150件進行檢查，求查得不合格品數(shù)的數(shù)學(xué)期望。 ，用航空測量法測得邊長的誤差為：, ，求場地面積的數(shù)學(xué)期望。解 設(shè)隨機變量具有分布：，求、及。解 , , , 設(shè)離散型隨機變量的分布列為： ， ：，且相互獨立，求的分布列。因此，與（3）式矛盾。，且只取值6，證明不服從均勻分（即不可能有。 設(shè)隨機變量與獨立，且，又，定義，問取什么值時與獨立？解=而，由得 設(shè)隨機變量與獨立，且，定義，證明兩兩獨立，但不相互獨立。 在一批產(chǎn)品中一等品占50%，二等品占30%，三等品占20%。試求指定的一頁上至少有三個錯誤的概率。 如果在時間（分鐘）內(nèi)，通過某交叉路口的汽車數(shù)量服從參數(shù)與成正比的普哇松分布。所以。解 設(shè)，表示第二名隊員的投籃次數(shù)，則+；。解 一個口袋中有5個同樣大小的球，編號為5，從中同時取出3只球，以表示取出球的取大號碼，求的分布列。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。求的值。(2) ； (3) 。所以 由對稱性知，所求概率為：第二章 離散型隨機變量 下列給出的是不是某個隨機變量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是隨機變量的分布列。 做一系列獨立的試驗，每次試驗中成功的概率為，求在成功次之前已失敗了次的概率。解 用表示“第門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機”， ，表示“擊中飛機”。解 設(shè)， ， 則 ， 但是 設(shè)為個相互獨立的事件，且，求下列事件的概率：(1) 個事件全不發(fā)生；(2) 個事件中至少發(fā)生一件；(3) 個事件中恰好發(fā)生一件。如果他乘火車、輪船、汽車來的話，遲到的概率分別是、而乘飛機不會遲到。解 用表示“任選一名射手為級”， ，表示“任選一名射手能進入決賽”，則 在某工廠里有甲、乙、丙三臺機器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%。則 個人用摸彩的方式?jīng)Q定誰得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個人都沒摸到，求第個人摸到的概率；(2)第個人摸到的概率。則樣本空間為：其中樣本點依年齡大小的性別排列。，……，……所以 從階行列式的一般展開式中任取一項，問這項包含主對角線元素的概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項略去符號不計都可表示為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)呐帕兄写嬖谑箷r這一項包含主對角線元素。在這個城市的居民中，訂甲報的有45%，訂乙報的有35%，訂丙報的有30%，同時訂甲、乙兩報的有10%，同時訂甲、丙兩報的有8%，同時訂乙、丙兩報的有5%，同時訂三種報紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報的；(2)只訂甲、乙兩報的；(3)只訂一種報紙的；(4)正好訂兩種報紙的；(5)至少訂一種報紙的；(6)不訂任何報紙的。試描述這一隨機現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。解 (1) (2) 在平面上畫有間隔為的等距平行線，向平面任意地投擲一個三角形，該三角形的邊長為（均小于），求三角形與平行線相交的概率。解 分別用表示第一、二艘船到達泊位的時間。解 所求概率為 在中任取一點，證明的面積之比大于的概率為。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。并把上述結(jié)果推廣到根草的情形。用事件表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后第二位數(shù)字為，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個位數(shù)，要使3的個位數(shù)是1，必須，因此所包含的樣本點只有71這一點，于是。所以包含個樣本點，于是。故所求概率為 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。 一個小孩用13個字母作組字游戲。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率。解 樣本點總數(shù)為。(4)原事件即“至少有兩個零件是合格品”，可表示為； 證明下列各式：(1)。用表示下列事件：(1)沒有一個零件是不合格品；(2)至少有一個零件是不合格品；(3)僅僅只有一個零件是不合格品；(4)至少有兩個零件是不合格品。(2) 等價于，表示全系運動員都有是三年級的男生。解 (1)記9個合格品分別為 ，記不合格為次，則(2)記2個白球分別為，3個黑球分別為，4個紅球分別為。第一章 事件與概率 寫出下列隨機試驗的樣本空間及表示下列事件的樣本點集合。則{，}(ⅰ) {，} (ⅱ) {，} 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示被選學(xué)生是三年級學(xué)生，事件C表示該生是運動員。(3)當(dāng)全系運動員都是三年級學(xué)生時。解 (1) 。(2)(3)。所得分數(shù)為既約分數(shù)必須分子分母或為113中的兩個，或為12中的一個和113中的一個組合，所以事件“所得分數(shù)為既約分數(shù)”包含個樣本點。解 樣本點總數(shù)為。如果字母的各種排列是隨機的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解 顯然樣本點總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個樣本點。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號從00001到10000。 一個人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。解 (1)6根草的情形。所以包含的樣本點數(shù)為，于是(2) 根草的情形和(1)類似得 把個完全相同的球隨機地放入個盒子中（即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個數(shù)，不能區(qū)別是哪個球進入某個盒子，這時也稱球是不可辨的）。解 截取，當(dāng)且僅當(dāng)點落入之內(nèi)時的面積之比大于，因此所求概率為。一艘船到達泊位時必須等待當(dāng)且僅當(dāng)。解 分別用表示三角形的一個頂點與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然所求概率為。例如向長度為1的線段內(nèi)隨機投點。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，則樣本空間{，…，}，并且， ，…，甲取勝的概率為+++…乙取勝的概率為+++… 設(shè)事件及的概率分別為、及，求，解 由得 ， 設(shè)、為兩個隨機事件，證明：(1) 。解 事件表示訂甲報，事件表示訂乙報，事件表示訂丙報。用表示事件“排列中”即第個主對角線元素出現(xiàn)于展開式的某項中。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，則 設(shè)件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解 設(shè)表示“第個人摸到”， ?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺機器生產(chǎn)”表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺機器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺機器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來”，表示“朋友乘輪船來”，表示“朋友乘汽車來”，表示“朋友乘飛機來”，表示“朋友遲到了”。解 (1) (2) (3) . 已知事件相互獨立且互不相容，求（注：表示中小的一個數(shù)）。則。解 用表示“在成功次之前已失敗了次”， 表示“在前次試驗中失敗了次”， 表示“第次試驗成功”則 某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴時他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。（3）,所以它不是隨機變量的分布列。解 (1) 。解 ，所以。 一個口袋中裝有個白球、個黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時停止。解 拋擲一枚不均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的概率為，設(shè)為一直擲到正、反面都出現(xiàn)時所需要的次數(shù)，求的分布列。 設(shè)隨機變量服從普哇松分布，且，求。 設(shè)某商店中每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為7的普哇松分布，問在月初進貨時應(yīng)進多少件此種商品。求在2分鐘內(nèi)有多于一輛汽車通過的概率。解 在指定的一頁上出現(xiàn)某一個錯誤的概率，因而，至少出現(xiàn)三個錯誤的概率為 利用普哇松定理求近似值，取，于是上式右端等于2．14 ，現(xiàn)在要把產(chǎn)品裝箱，那么每箱至少應(yīng)裝多少個產(chǎn)品？解 設(shè)每箱至少裝個產(chǎn)品，其中有個次品，則要求,使 ，利用普哇松分布定理求近似值，取，于是上式相當(dāng)于，查普哇松分布數(shù)值表，得。從中任取4件，設(shè)一、二、三等品的件數(shù)分別為、求的聯(lián)合分布列與各自的邊際分布列。 證明因為所以相互獨立。）證明 設(shè)。 已知隨機變量的分布列為，求與的分布列。解 設(shè)獨立隨機變量分別服從二項分布：與，求的分布列。解， +4+4=27：，求及。解 設(shè)場地面積為，邊長的誤差為米，則且所以 對三架儀器進行檢驗，各儀器發(fā)生故障是獨立的，且概率分別為、。解 設(shè)，則的分布列為，因而。 把數(shù)字任意在排成一列，如果數(shù)字恰好出現(xiàn)在第個位置上，則稱有一個匹配，求匹配數(shù)的數(shù)學(xué)期望。從而。解 略。求在兩次檢修之間產(chǎn)品總數(shù)的數(shù)學(xué)期望與方差。解 (1) .(2) , 在次貝努里試驗中，事件出現(xiàn)的概率為，令求在的條件下，的分布列。從而。 函數(shù)是不是某個隨機變數(shù)的分布密度？如果的取值范圍為（1）；（2）；（3）。 設(shè)與都是分布函數(shù)，又是兩個常數(shù)，且。解：，所以相應(yīng)的密度函數(shù)為。 已知隨機變數(shù)的分布函數(shù)為（1） 求相應(yīng)的分布函數(shù)；（2） 求。 在半徑為R,球心為O的球內(nèi)任取一點P,求的分布函數(shù)。不等式（1）的解為：或。 證明：二元函數(shù) 對每個變元單調(diào)非降，左連續(xù)，且，但是 并不是一個分布函數(shù)。 可見，對非降。 （4）， 所以不是一個分布函數(shù)。3．25 設(shè)二維隨機變數(shù)有密度函數(shù)求常數(shù)及的密度函數(shù)。解： 設(shè)都是一維分布的密度函數(shù)，為使成為一個二維分布的密度函數(shù)，問其中的必需且只需滿足什么條件？解：若為二維分布的密度函數(shù)，則所以條件得到滿足。（1）（2）（3）解：（1） （2）時， 時， 所以。當(dāng)時。證：由于，所以。由于，所以與不相互獨立。解：設(shè)球的直徑為，則其體積為。所以的分布密度。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。 設(shè)隨機變量與獨立，求的分布密度。 = =，其它。證：所以即也服從相同的柯西分布。解：由得，所以在時，在時，所以 設(shè)隨機變量與獨立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。解：當(dāng)時，當(dāng)時所以的密度函數(shù)為 設(shè)隨機變量與獨立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。由于所以對一切的，都有，故與相互獨立。 設(shè)隨機變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解： =，故。解：設(shè)旅客候車時間為（秒），則服從上的均勻分布，則。 設(shè)是非負連續(xù)型隨機變量，證明：對，有。 已知隨機變量與的相關(guān)系數(shù)為，求與的相關(guān)系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為零。在時，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時，故 設(shè)二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為其中。 解： ，故 ，故在時，的條件分布為。 證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應(yīng)的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。（4）上均勻分布的特征函數(shù)為，所以互相獨立且同為上均勻分布的兩個隨機變量和的特征函數(shù)為，即是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。證：設(shè)與相互獨立，的特征函數(shù)為，服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。解：分布，；，的特征函數(shù)。證：由的特征函數(shù)推得，與的特征函數(shù)分別為與，故。 （2）不是，因為當(dāng)時。 設(shè)分布函數(shù)如下定義：問是分布函數(shù)嗎？解：不是。證：對任意的有，故即對任意的有成立，于是有從而成立，結(jié)論得證。對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當(dāng)時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結(jié)論成立。結(jié)論成立。證：先證明按分布收斂于。證：記的分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為，設(shè)是的連續(xù)點，則對任給的，存在，使當(dāng)時有 （1）現(xiàn)任取，使得都是的連續(xù)點，這時存在，當(dāng)時有 （2） （3）對取定的，