【正文】 第一章 事件與概率 寫出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間及表示下列事件的樣本點(diǎn)集合。(1)10件產(chǎn)品中有1件是不合格品，從中任取2件得1件不合格品。(2)一個(gè)口袋中有2個(gè)白球、3個(gè)黑球、4個(gè)紅球，從中任取一球，(ⅰ)得白球，(ⅱ)得紅球。解 (1)記9個(gè)合格品分別為 ，記不合格為次，則(2)記2個(gè)白球分別為，3個(gè)黑球分別為，，4個(gè)紅球分別為，。則{，，，，}(ⅰ) {，} (ⅱ) {，，} 在數(shù)學(xué)系的學(xué)生中任選一名學(xué)生，令事件A表示被選學(xué)生是男生，事件B表示被選學(xué)生是三年級(jí)學(xué)生，事件C表示該生是運(yùn)動(dòng)員。(1) 敘述的意義。(2)在什么條件下成立？(3)什么時(shí)候關(guān)系式是正確的？(4) 什么時(shí)候成立？解 (1)事件表示該是三年級(jí)男生，但不是運(yùn)動(dòng)員。(2) 等價(jià)于，表示全系運(yùn)動(dòng)員都有是三年級(jí)的男生。(3)當(dāng)全系運(yùn)動(dòng)員都是三年級(jí)學(xué)生時(shí)。(4)當(dāng)全系女生都在三年級(jí)并且三年級(jí)學(xué)生都是女生時(shí)`。 一個(gè)工人生產(chǎn)了個(gè)零件，以事件表示他生產(chǎn)的第個(gè)零件是合格品（）。用表示下列事件：(1)沒有一個(gè)零件是不合格品；(2)至少有一個(gè)零件是不合格品；(3)僅僅只有一個(gè)零件是不合格品；(4)至少有兩個(gè)零件是不合格品。解 (1) 。 (2) 。 (3) 。(4)原事件即“至少有兩個(gè)零件是合格品”，可表示為； 證明下列各式：(1)。(2)(3)。(4)(5)(6) 證明 （1）—（4）顯然，（5）和（6）的證法分別類似于課文第10—12頁(yè)（）式和()式的證法。 在分別寫有1113的八張卡片中任取兩張，把卡片上的兩個(gè)數(shù)字組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，求所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)的概率。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為。所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)必須分子分母或?yàn)?13中的兩個(gè)，或?yàn)?2中的一個(gè)和113中的一個(gè)組合，所以事件“所得分?jǐn)?shù)為既約分?jǐn)?shù)”包含個(gè)樣本點(diǎn)。于是。 有五條線段，長(zhǎng)度分別為9。從這五條線段中任取三條，求所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解 樣本點(diǎn)總數(shù)為。所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形，這三條線段必須是7或9或多或9。所以事件“所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形”包含3個(gè)樣本點(diǎn)，于是。 一個(gè)小孩用13個(gè)字母作組字游戲。如果字母的各種排列是隨機(jī)的（等可能的），問“恰好組成“MATHEMATICIAN”一詞的概率為多大？解 顯然樣本點(diǎn)總數(shù)為，事件“恰好組成“MATHEMATICIAN”包含個(gè)樣本點(diǎn)。所以 在中國(guó)象棋的棋盤上任意地放上一只紅“車”及一只黑“車”，求它們正好可以相互吃掉的概率。解 任意固定紅“車”的位置，黑“車”可處于個(gè)不同位置，當(dāng)它處于和紅“車”同行或同列的個(gè)位置之一時(shí)正好相互“吃掉”。故所求概率為 一幢10層樓的樓房中的一架電梯，在底層登上7位乘客。電梯在每一層都停，乘客從第二層起離開電梯，假設(shè)每位乘客在哪一層離開電梯是等可能的，求沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開的概率。解 每位乘客可在除底層外的9層中任意一層離開電梯，現(xiàn)有7位乘客，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。事件“沒有兩位及兩位以上乘客在同一層離開”相當(dāng)于“從9層中任取7層，各有一位乘客離開電梯”。所以包含個(gè)樣本點(diǎn)，于是。 某城市共有10000輛自行車，其牌照編號(hào)從00001到10000。問事件“偶然遇到一輛自行車，其牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”的概率為多大？解 用表示“牌照號(hào)碼中有數(shù)字8”，顯然，所以 任取一個(gè)正數(shù)，求下列事件的概率：(1)該數(shù)的平方的末位數(shù)字是1；(2)該數(shù)的四次方的末位數(shù)字是1；(3)該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1；解 (1) 答案為。(2)當(dāng)該數(shù)的末位數(shù)是9之一時(shí)，其四次方的末位數(shù)是1，所以答案為(3)一個(gè)正整數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字決定于該數(shù)的最后兩位數(shù)字，所以樣本空間包含個(gè)樣本點(diǎn)。用事件表示“該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字都是1”，則該數(shù)的最后一位數(shù)字必須是1，設(shè)最后第二位數(shù)字為，則該數(shù)的立方的最后兩位數(shù)字為1和3的個(gè)位數(shù)，要使3的個(gè)位數(shù)是1，必須，因此所包含的樣本點(diǎn)只有71這一點(diǎn)，于是。 一個(gè)人把6根草掌握在手中，僅露出它們的頭和尾。然后請(qǐng)另一個(gè)人把6個(gè)頭兩兩相接，6個(gè)尾也兩兩相接。求放開手以后6根草恰好連成一個(gè)環(huán)的概率。并把上述結(jié)果推廣到根草的情形。解 (1)6根草的情形。取定一個(gè)頭，它可以與其它的5個(gè)頭之一相接，再取另一頭，它又可以與其它未接過的3個(gè)之一相接，最后將剩下的兩個(gè)頭相接，故對(duì)頭而言有種接法，同樣對(duì)尾也有種接法，所以樣本點(diǎn)總數(shù)為。用表示“6根草恰好連成一個(gè)環(huán)”，這種連接，對(duì)頭而言仍有種連接法，而對(duì)尾而言，任取一尾，它只能和未與它的頭連接的另4根草的尾連接。再取另一尾，它只能和未與它的頭連接的另2根草的尾連接，最后再將其余的尾連接成環(huán)，故尾的連接法為。所以包含的樣本點(diǎn)數(shù)為，于是(2) 根草的情形和(1)類似得 把個(gè)完全相同的球隨機(jī)地放入個(gè)盒子中（即球放入盒子后，只能區(qū)別盒子中球的個(gè)數(shù)，不能區(qū)別是哪個(gè)球進(jìn)入某個(gè)盒子，這時(shí)也稱球是不可辨的）。如果每一種放法都是等可能的，證明(1)某一個(gè)指定的盒子中恰好有個(gè)球的概率為，(2)恰好有個(gè)盒的概率為，(3)指定的個(gè)盒中正好有個(gè)球的概率為，解 略。 某公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)汽車站的時(shí)刻是任意的，求一個(gè)乘客候車時(shí)間不超過3分鐘的概率。解 所求概率為 在中任取一點(diǎn)，證明的面積之比大于的概率為。解 截取，當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)落入之內(nèi)時(shí)的面積之比大于，因此所求概率為。 兩艘輪船都要?？客粋€(gè)泊位，它們可能在一晝夜的任意時(shí)刻到達(dá)。設(shè)兩船?？坎次坏臅r(shí)間分別為1小時(shí)與兩小時(shí)，求有一艘船?？坎次粫r(shí)必須等待一段時(shí)間的概率。解 分別用表示第一、二艘船到達(dá)泊位的時(shí)間。一艘船到達(dá)泊位時(shí)必須等待當(dāng)且僅當(dāng)。因此所求概率為 在線段上任取三點(diǎn)，求：(1) 位于之間的概率。(2) 能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率。解 (1) (2) 在平面上畫有間隔為的等距平行線，向平面任意地投擲一個(gè)三角形，該三角形的邊長(zhǎng)為（均小于），求三角形與平行線相交的概率。解 分別用表示三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與平行線相合，一條邊與平行線相合，兩條邊與平行線相交，顯然所求概率為。分別用表示邊，二邊與平行線相交，則顯然。所以[]（） 己知不可能事件的概率為零，現(xiàn)在問概率為零的事件是否一定為不可能事件？試舉例說(shuō)明之。解 概率為零的事件不一定是不可能事件。例如向長(zhǎng)度為1的線段內(nèi)隨機(jī)投點(diǎn)。則事件“該點(diǎn)命中的中點(diǎn)”的概率等于零，但不是不可能事件。 甲、乙兩人從裝有個(gè)白球與個(gè)黑球的口袋中輪流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到兩人中有一人取到白球時(shí)停止。試描述這一隨機(jī)現(xiàn)象的概率空間，并求甲或乙先取到白球的概率。解表示白，表示黑白，表示黑黑白，…，則樣本空間{，…，}，并且， ，…，甲取勝的概率為+++…乙取勝的概率為+++… 設(shè)事件及的概率分別為、及，求，，解 由得 ， 設(shè)、為兩個(gè)隨機(jī)事件，證明：(1) 。(2) .證明 (1) =(2) 由(1)和得第一個(gè)不等式，由概率的單調(diào)性和半可加性分別得第二、三個(gè)不等式。 對(duì)于任意的隨機(jī)事件、證明：證明 在某城市中共發(fā)行三種報(bào)紙：甲、乙、丙。在這個(gè)城市的居民中，訂甲報(bào)的有45%，訂乙報(bào)的有35%，訂丙報(bào)的有30%，同時(shí)訂甲、乙兩報(bào)的有10%，同時(shí)訂甲、丙兩報(bào)的有8%，同時(shí)訂乙、丙兩報(bào)的有5%，同時(shí)訂三種報(bào)紙的有3%，求下述百分比：(1)只訂甲報(bào)的；(2)只訂甲、乙兩報(bào)的；(3)只訂一種報(bào)紙的；(4)正好訂兩種報(bào)紙的；(5)至少訂一種報(bào)紙的；(6)不訂任何報(bào)紙的。解 事件表示訂甲報(bào)，事件表示訂乙報(bào)，事件表示訂丙報(bào)。(1) ==30%(2) (3) ++=++=73%(4) (5) (6) 某班有個(gè)學(xué)生參加口試，考簽共N張，每人抽到的考簽用后即放回，在考試結(jié)束后，問至少有一張考沒有被抽到的概率是多少？解 用表示“第張考簽沒有被抽到”， 。要求。，……，……所以 從階行列式的一般展開式中任取一項(xiàng)，問這項(xiàng)包含主對(duì)角線元素的概率是多少？解階行列式的展開式中，任一項(xiàng)略去符號(hào)不計(jì)都可表示為，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)呐帕兄写嬖谑箷r(shí)這一項(xiàng)包含主對(duì)角線元素。用表示事件“排列中”即第個(gè)主對(duì)角線元素出現(xiàn)于展開式的某項(xiàng)中。則 ，……所以 已知一個(gè)家庭中有三個(gè)小孩，且其中一個(gè)是女孩，求至少有一個(gè)男孩的概率（假設(shè)一個(gè)小孩是男孩或是女孩是等可能的）。解 用分別表示男孩和女孩。則樣本空間為：其中樣本點(diǎn)依年齡大小的性別排列。表示“有女孩”， 表示“有男孩”，則 設(shè)件產(chǎn)品中有件是不合格品，從中任取兩件，(1)在所取產(chǎn)品中有一件是不合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。(2) 在所取產(chǎn)品中有一件是合格品的條件下，求另一件也是不合格品的概率。解（1）設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件是不合格品”， 表示“所取產(chǎn)品都是不合格品”，則 (2)設(shè)表示“所取產(chǎn)品中至少有一件合格品”， 表示“所取產(chǎn)品中有一件合格品，一件不合格品”。則 個(gè)人用摸彩的方式?jīng)Q定誰(shuí)得一張電影票，他們依次摸彩，求：(1)已知前個(gè)人都沒摸到，求第個(gè)人摸到的概率；(2)第個(gè)人摸到的概率。解 設(shè)表示“第個(gè)人摸到”， 。(1) (2) 已知一個(gè)母雞生個(gè)蛋的概率為，而每一個(gè)蛋能孵化成小雞的概率為，證明：一個(gè)母雞恰有個(gè)下一代（即小雞）的概率為。解 用表示“母雞生個(gè)蛋”， 表示“母雞恰有個(gè)下一代”，則 某射擊小組共有20名射手，其中一級(jí)射手4人，二級(jí)射手8人，三級(jí)射手7人，四級(jí)射手一人，一、二、三、求在一組內(nèi)任選一名射手，該射手能通過選拔進(jìn)入決賽的概率。解 用表示“任選一名射手為級(jí)”， ，表示“任選一名射手能進(jìn)入決賽”，則 在某工廠里有甲、乙、丙三臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)螺絲釘，它們的產(chǎn)量各占25%，35%，40%，并在各自的產(chǎn)品里，不合格品各占有5%，4%，2%?，F(xiàn)在從產(chǎn)品中任取一只恰是不合格品，問此不合格品是機(jī)器甲、乙、丙生產(chǎn)的概率分別等于多少？解 用表示“任取一只產(chǎn)品是甲臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)”表示“任取一只產(chǎn)品是乙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品是丙臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)” 表示“任取一只產(chǎn)品恰是不合格品”。則由貝葉斯公式： 某工廠的車床、鉆床、磨床、刨床的臺(tái)數(shù)之比為9:3:2:1，它們?cè)谝欢〞r(shí)間內(nèi)需要修理的概率之比為1:2:3:1。當(dāng)有一臺(tái)機(jī)床需要修理時(shí)，問這臺(tái)機(jī)床是車床的概率是多少？解 則 ， ，，，由貝時(shí)葉斯公式得 有朋友自遠(yuǎn)方來(lái)訪，他乘火車、輪船、汽車、。如果他乘火車、輪船、汽車來(lái)的話，遲到的概率分別是、而乘飛機(jī)不會(huì)遲到。結(jié)果他遲到了，試問他是乘火車來(lái)的概率是多少？解 用表示“朋友乘火車來(lái)”，表示“朋友乘輪船來(lái)”，表示“朋友乘汽車來(lái)”，表示“朋友乘飛機(jī)來(lái)”，表示“朋友遲到了”。則 證明：若三個(gè)事件、獨(dú)立，則、及都與獨(dú)立。證明 （1）= （2） （3）= 試舉例說(shuō)明由不能推出一定成立。解 設(shè)，， ，， 則 ， 但是 設(shè)為個(gè)相互獨(dú)立的事件，且，求下列事件的概率：(1) 個(gè)事件全不發(fā)生；(2) 個(gè)事件中至少發(fā)生一件；(3) 個(gè)事件中恰好發(fā)生一件。解 (1) (2) (3) . 已知事件相互獨(dú)立且互不相容，求（注：表示中小的一個(gè)數(shù)）。解 一方面，另一方面，即中至少有一個(gè)等于0，所以 、現(xiàn)在任意挑選五個(gè)人，求下列事件的概率(1)兩個(gè)人為型，其它三個(gè)人分別為其它三種血型；(2)三個(gè)人為型，兩個(gè)人為型；(3)沒有一人為。解 (1)從5個(gè)人任選2人為型，共有種可能，在其余3人中任選一人為型，共有三種可能，在余下的2人中任選一人為型，共有2種可能，另一人為型，順此所求概率為： (2) (3) 設(shè)有兩門高射炮，求同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)的概率是多少？又若有一架敵機(jī)入侵領(lǐng)空，欲以99%以上的概率擊中它，問至少需要多少門高射炮。解 用表示“第門高射炮發(fā)射一發(fā)炮彈而擊中飛機(jī)”， ，表示“擊中飛機(jī)”。則。(1) (2) , 取。至少需要6門高射炮，同時(shí)發(fā)射一發(fā)炮彈，可保證99%的概率擊中飛機(jī)。 做一系列獨(dú)立的試驗(yàn)，每次試驗(yàn)中成功的概率為，求在成功次之前已失敗了次的概率。解 用表示“在成功次之前已失敗了次”， 表示“在前次試驗(yàn)中失敗了次”， 表示“第次試驗(yàn)成功”則 某數(shù)學(xué)家有兩盒火柴，每盒都有根火柴，每次用火柴時(shí)他在兩盒中任取一盒并從中抽出一根。求他用完一盒時(shí)另一盒中還有根火柴（）的概率。解 用表示“甲盒中尚余根火柴”， 用表示“乙盒中尚余根火柴”， 分別表示“第次在甲盒取”，“第次在乙盒取”， 表示取了次火柴，且第次是從甲盒中取的，即在前在甲盒中取了，其余在乙盒中取。所以 由對(duì)稱性知，所求概率為：第二章 離散型隨機(jī)變量 下列給出的是不是某個(gè)隨機(jī)變量的分布列？(1) (2) (3) (4)解 （1）是（2），所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（3）,所以它不是隨機(jī)變量的分布列。（4）為自然數(shù)，且，所以它是隨機(jī)變量的分布列。 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為：，求(1)。(2) ； (3) 。解 (1) 。(2) 。(3) . 解 設(shè)隨機(jī)變量的分布列為。求的值。解 ，所以。 隨機(jī)變量只取正整數(shù)，且與成反比，求的分布列。解 根據(jù)題意知，其中常數(shù)待定。由于，所以，即的分布列為，取正整數(shù)。 一個(gè)口袋中裝有個(gè)白球、個(gè)黑球，不返回地連續(xù)從袋中取球，直到取出黑球時(shí)停止。設(shè)此時(shí)取出了個(gè)白球，求的分布列。解 設(shè)“”表示前次取出白球，第次取出黑球，則的分布列為： 設(shè)某批電子管的合格品率為，不合格品率為，現(xiàn)在對(duì)該批電子管進(jìn)行測(cè)試，設(shè)第次為首次測(cè)到合格品，求的分布列。解 一個(gè)口袋中有5個(gè)同樣大小的球，編號(hào)為5，從中同時(shí)取出3只球，以表示取出球的取大號(hào)碼，求的分布列。解