【文章內(nèi)容簡介】 上的概率均大于（例如正態(tài)分布等），其分布函數(shù)為，又服從上的均勻分布。證明的分布函數(shù)與的分布函數(shù)相同。解：因為在任一有限區(qū)間上的概率均大于，所以是嚴格上升函數(shù)。由于上的均勻分布，所以的分布函數(shù)，對任意的都成立。所以與的分布函數(shù)相同。 設隨機變量與獨立，求的分布密度。若（1）與分布服從及上的均勻分布，且；（2）與分別服從及上的均勻分布。解（1）其它。 ，其它。 = =，其它。 （2），其它， ，其它。 = =，其它 設隨機變量與獨立，服從相同的拉普拉斯分布，其密度函數(shù)為求+的密度函數(shù)。解： ，當時，當時，所以 設隨機變量與獨立，服從相同的柯西分布，其密度函數(shù)為證明：也服從同一分布。證：所以即也服從相同的柯西分布。 設隨機變量與獨立，分別具有密度函數(shù)（其中），求+的分布密度。解：時，時， 設隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的分布。解：服從上的均勻分布，(2)知，在時，的分布函數(shù)所以的分布密度為 設隨機變量與獨立，分別服從參數(shù)為與的指數(shù)分布，求的分布密度。解：由得，所以在時，在時，所以 設隨機變量與獨立，且分別具有密度函數(shù)為證明服從分布。證：由得。故令，則所以服從分布。 設隨機變量與獨立，都服從上的均勻分布，求的密度函數(shù)。解：當時，當時所以的密度函數(shù)為 設隨機變量與獨立，都服從參數(shù)為的指數(shù)分布，求的密度函數(shù)。解：在時，在時。 設二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為證明：與不獨立，但與獨立。證：由于，所以與不獨立。由于所以對一切的，都有，故與相互獨立。 設隨機變量具有密度函數(shù)求。解： 設隨機變量具有密度函數(shù)求及。解 ， ， 。 設隨機變量的分布函數(shù)為試確定常數(shù)，并求與。解：由分布函數(shù)的左連續(xù)性，故。 =。 隨機變量具有密度函數(shù)其中求常數(shù)及。解： =，故。 = 設隨機變量服從上的均勻分布，求的數(shù)學期望與方差。解：。 地下鐵道列車的運行間隔時間為五分鐘，一個旅客在任意時刻進入月臺，求候車時間的數(shù)學期望與方差。解：設旅客候車時間為（秒），則服從上的均勻分布，則。 設為正的且獨立同分布的隨機變量（分布為連續(xù)型或離散型），證明：對任意的，有。證：同分布，又，所以都存在且相等。由于，所以。 設是非負連續(xù)型隨機變量，證明：對，有。證：。 若對連續(xù)型隨機變量，有，證明有。 證：。 已知隨機變量與的相關系數(shù)為，求與的相關系數(shù)，其中均為常數(shù)，皆不為零。解：=，試證：。證：=，故。 （設都是連續(xù)型或離散型隨機變量）：（1）若與都有階矩，則有)(2)若與都具有階矩，則證：（1）時，即所謂的明可夫斯基不等式，證明略。在時，是的下凸函數(shù)，故即故（2）在時，故 設二維隨機變量的聯(lián)合分布密度為其中。求條件下的條件分布密度。 解：。故 設隨機變量服從分布，隨機變量在時的條件分布為，求的分布及關于的條件分布。 解： ，故 ，故在時，的條件分布為。 設為具有數(shù)學期望的獨立隨機變量序列，隨機變量只取正整數(shù)值，且與獨立，證明：證： 求下列連續(xù)型分布的特征函數(shù)：（1）上的均勻分布，（2）柯西分布，其密度函數(shù)為（3）分布，其密度函數(shù)為 解：（1）（2）由拉普拉斯積分得（3） 若是特征函數(shù)，證明下列函數(shù)也是特征函數(shù)：（1）（為正整數(shù)）證：（1）若是隨機變量的特征函數(shù)，則是隨機變量的特征函數(shù)；（2）若與獨立同分布，其特征函數(shù)為。則是隨機變量的特征函數(shù)；（3）若獨立分布，其特征函數(shù)為。則是隨機變量的特征函數(shù)。 證明下列函數(shù)是特征函數(shù)，并找出相應的分布函數(shù)：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。證：（1），所以是兩點分布11的特征函數(shù)。（2），所以是三點分布的特征函數(shù)。（3）密度函數(shù)為的指數(shù)分布的特征函數(shù)為，所以是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（4）上均勻分布的特征函數(shù)為，所以互相獨立且同為上均勻分布的兩個隨機變量和的特征函數(shù)為，即是密度函數(shù)為的分布的特征函數(shù)。（5），所以是幾何分布的特征函數(shù)。 試舉一個滿足（1），（2），但是不是特征函數(shù)的例子。解：令則滿足（1），（2），但在點不連續(xù)，故不是特征函數(shù)。 證明函數(shù)是特征函數(shù)，并求出它的分布函數(shù)。解：由于故欲證是特征函數(shù)，僅須驗證是密度函數(shù)由于，所以為特征函數(shù)，其分布函數(shù)為。 設是一個特征函數(shù)。，證明：也是特征函數(shù)。證：設與相互獨立，的特征函數(shù)為，服從上的均勻分布，的特征函數(shù)為，則是的特征函數(shù)。 設為個獨立同柯西分布的隨機變量，證明與有相同的分布。證：柯西分布的特征函數(shù)故的特征函數(shù)為所以與同分布。 設為獨立同分布的隨機變量，求的分布。解：分布，；，的特征函數(shù)。故的特征函數(shù)為，所以也是分布，其密度函數(shù)為，；。 設二維隨機變量具有聯(lián)合密度函數(shù)為證明：的特征函數(shù)等于的特征函數(shù)的乘積，但是并不相互獨立。證： 的特征函數(shù)為。故與的特征函數(shù)皆為，所以的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積。由，故與不互相獨立。 設隨機變量服從柯西分布，其特征函數(shù)為，又令，證明的特征函數(shù)等于、的特征函數(shù)的乘積，但與不獨立。證：由的特征函數(shù)推得，與的特征函數(shù)分別為與，故。倘若與相互獨立，令的分布函數(shù)為，則，故或，此與服從柯西分布相矛盾，故與互不獨立。 判別下列函數(shù)是否為特征函數(shù)（說明理由）：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）不是，因為。 （2）不是，因為當時。 （3）不是，因為不成立 （4）不是，因為。 （5）是的，拉普拉斯分布的特征函數(shù)為，所以也是特征函數(shù)。第四章 大數(shù)定律與中心極限定理 設為退化分布：討論下列分布函數(shù)列的極限是否仍是分布函數(shù)？解：（1）（2）不是；（3）是。 設分布函數(shù)如下定義：問是分布函數(shù)嗎？解：不是。，且為連續(xù)函數(shù)，則在上一致收斂于。證：對任意的，取充分大，使有對上述取定的，因為在上一致連續(xù)，故可取它的分點：，使有，再令，則有 （1）這時存在，使得當時有 （2）成立，對任意的，必存在某個，使得，由（2）知當時有 （3） （4）由（1），（3），（4）可得，即有成立，結論得證。 設隨機變量序列同時依概率收斂于隨機變量與，證明這時必有。證：對任意的有，故即對任意的有成立，于是有從而成立，結論得證。 設隨機變量序列，分別依概率收斂于隨機變量與，證明：（1）；（2）。證：（1）因為故即成立。（2）先證明這時必有。對任給的取足夠大，使有成立，對取定的，存在，當時有成立這時有 從而有由的任意性知，同理可證，由前述（1）有故，結論成立。 設隨機變量序列，是一個常數(shù)，且，證明。證：不妨設對任意的，當時有，因而。于是有 。結論成立。 證明隨機變量序列依概率收斂于隨機變量的充要條件為：證：充分性，令，則，故是的單調(diào)上升函數(shù)，因而，于是有 對任意的成立，充分性得證。必要性，對任給的，令，因為，故存在充分大的使得當時有，于是有 ，由的任意性知，結論為真。 設隨機變量按分布收斂于隨機變量，又數(shù)列，證明也按分布收斂于。證：先證明按分布收斂于。時為顯然，不妨設（時的修改為顯然），若，，的分布函數(shù)分別記作，與，則=，當是的連續(xù)點時，是的連續(xù)點，于是有成立，結論為真。，(1)知，結論得證。，隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)，證明按分布收斂于。證：記的分布函數(shù)分別為，則的分布函數(shù)為，設是的連續(xù)點，則對任給的，存在，使當時有 （1）現(xiàn)任取，使得都是的連續(xù)點，這時存在，當時有 （2） （3）對取定的，存在，當時有 （4）于是當時，由（1），（2），（4）式有又因為于是由（1），（3），（4）式有 （6）由（5），（6）兩式可得由的任意性即知按分布收斂于，結論得證。，隨機變量序列依概率收斂于，證明.證：記的分布函數(shù)分別為，對任給的，取足夠大，使是的連續(xù)點且因為，故存在，當時有令，因為，故存在，當時有而其中，當時有因而，由的任意性知，結論為真。 設隨機變量服從柯西分布，其密度函數(shù)為證明。證：對任意的，有故。 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為其中為常數(shù)，令，證明。證：對任意的，為顯然，這時有對任意的，有故成立，結論得證。 設為一列獨立同分布隨機變量，其密度函數(shù)為令，證明。證：設的分布函數(shù)為，有這時有對任意的，有故成立，結論得證。，都服從上的均勻分布，若，證明。證：這時也是獨立同分布隨機變量序列，且由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定理，即有，令，則是直線上的連續(xù)函數(shù)，結論成立。，每個隨機變量的期望為，且方差存在，證明。證：已知，記，令，則對任給的，由契貝曉夫不等式有故，結論得證。，且存在，數(shù)學期望為零，證明。證：這時仍獨立同分布，且，由辛欽大數(shù)定律知結論成立。 設隨機變量序列按分布收斂于隨機變量，又隨機變量序列依概率收斂于常數(shù)，則按分布收斂于。證：，而按分布收斂于（），按分布收斂于，結論成立。，證明的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：這時也為獨立同分布隨機變量序列，且，由辛欽大數(shù)定律知，又服從分布，當然弱收斂于分布，結論得證。 如果隨機變量序列，當時有，證明服從大數(shù)定律（馬爾柯夫大數(shù)定律）證：由契貝曉夫不等式即得。 在貝努里試驗中，事件出現(xiàn)的概率為，令證明服從大數(shù)定律。證：為同分布隨機變量序列，且，因而，又當時，與獨立，結論得證。，方差存在，又為絕對收斂級數(shù)，令，則服從大數(shù)定律。證：不妨設。否則令，并討論即可。記，又。因為，故有，結論得證。，共同分布為試問是否服從大數(shù)定律？答：因為存在，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。，共同分布為其中，問是否服從大數(shù)定律？答：因為存在，由辛欽大數(shù)定律知服從大數(shù)定律。 如果要估計拋擲一枚圖釘時尖頭朝上的概率，為了有95%以上的把握保證所觀察到的頻率與概率的差小于，問至少應該做多少次試驗？解：令據(jù)題意選取試驗次數(shù)應滿足，因為比較大，由中心極限定理有故應取，即，但圖釘?shù)撞恐兀忸^輕，由直觀判斷有，因而，故可取。 一本書共有一百萬個印刷符號，，求在校對后錯誤不多于15個的概率。解：令因為排版與校對是兩個獨立的工序，因而是獨立同分布隨機變量序列，令，其中，由中心極限定理有其中，查分布表即可得，即在校對后錯誤不多于15個的概率。 在一家保險公司里有10000個人參加保險，每人每年付12元保險費，在一年里一個人死亡的概率為0。006，死亡時家屬可向保險公司領得1000元，問：（1）保險公司虧本的概率多大？（2）保險公司一年的利潤不少于40000元，60000元，80000元的概率各為多大？解：保險公司一年的總收入為120000元，這時（1） 若一年中死亡人數(shù)，則公司虧本；（2） 若一年中死亡人數(shù)，則利潤中死亡人數(shù)元；若一年中死亡人數(shù)，則利潤中死亡人數(shù)元；若一年中死亡人數(shù)，則利潤中死亡人數(shù)元；令則，記已足夠大，于是由中心極限定理可得欲求事件的概率為（1）同理可求得（2） 有一批種子，其中良種占，從中任取6000粒，？解：令則，記，其中，據(jù)題意即要求使?jié)M足。令，因為很大，由中心極限定理有由分布表知當時即能滿足上述不等式，于是知。 ，任取10000件，問不合格品不多于70件的概率等于多少？解：令則，記，其中，記，由中心極限定理有。 ，？解：令則，記，其中尚待確定，它應滿足，由中心極限定理有查分布表可取，由此求得。 用特征函數(shù)的方法證明“二項分布收斂于普哇松分布”的普哇松定理。證：設獨立同二項分布，即的特征函數(shù)為，記的特征函數(shù)記作，因為，故，于是有而是參數(shù)為的普哇松分布的特征函數(shù)，由特征函數(shù)的逆極限定理即知定理成立，證畢。 設隨機變量服從分布，其分布密度為證：當時，的分布函數(shù)弱收斂于分布。證：的特征函數(shù)為，易知的特征函數(shù)為