第九章曲線積分與曲面積分習(xí)題解答詳解-wenkub
2023-04-09 06:51:49 本頁面
【正文】 利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算．的參數(shù)方程為:，在起點(diǎn)處參數(shù)值取，在終點(diǎn)處參數(shù)值相應(yīng)取0，故從到0．則 =．（5），其中沿右半圓以點(diǎn)為起點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)到終點(diǎn)的路徑；解 利用曲線的參數(shù)方程計(jì)算．的參數(shù)方程為:，在起點(diǎn)處參數(shù)值取，在終點(diǎn)處參數(shù)值相應(yīng)取，則 。解 的參數(shù)方程為，從變到， 。習(xí)題931 當(dāng)為面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí),曲面積分與二重積分有什么關(guān)系?答 當(dāng)為面內(nèi)的一個(gè)閉區(qū)域時(shí)，在面上的投影就是，于是有 。（2）面上的直線段 繞軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面。）(3) ，其中是拋物面在面上方的部分：,；解 拋物面在面上方的部分在面上的投影為圓域,故 .(4) ，其中是上半球面,；解 上半球面在面上的投影為圓域, ,故 ..（5），其中為平面在第一卦限的部分；解 將曲面的方程改寫為，則,，從而，圖9－12在上的投影區(qū)域?yàn)?故 ．（6），其中是柱面被平面﹑所截得的部分.解 將曲面分成丙個(gè)曲面:和，﹑在面上的投影區(qū)域都為,，從而，.同理可求得.所以 .5 求拋物面殼（）的質(zhì)量，此殼的密度為。2 計(jì)算下列第二型曲面積分:(1) ，其中是橢球面的的部分，取橢球面的外側(cè)為正側(cè)；解 當(dāng)時(shí)，橢球面的方程是于是令， 則.(2) ，其中是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為2的立方體整個(gè)表面的外側(cè)；解 把分成下面六個(gè)部分:的上側(cè)； 的下側(cè)； 的前側(cè)； 的后側(cè)； 的右側(cè)；的左側(cè). 因?yàn)槌p處,其余四片曲面在面上的投影都為零,故有；同理可得；.于是所求的曲面積分為.（3），其中為旋轉(zhuǎn)拋物面介于之間部分的下側(cè)；解 由兩類曲面積分之間的聯(lián)系，可得，在曲面上，有。（4），其中為，的上側(cè)；解 在面上的投影為半圓域，= ==由對(duì)稱性 =，=∴ 原式==（5），其中是由平面，所圍成的四面體的表面的外側(cè)。解 平面的上側(cè)的法向量為，其方向余弦是于是 ，求單位時(shí)間內(nèi)流過曲面的流量，法向量方向與軸正向是鈍角. 解 如右圖所示，依題設(shè)，所求的流量為其中積分曲面是有向曲面，取下側(cè)。設(shè)，則。則與曲線構(gòu)成一閉曲線，設(shè)它所圍成閉區(qū)域?yàn)椋?，由格林公式，? 。3. 計(jì)算曲線積分,其中為(1) 橢圓,取逆時(shí)針方向； (2) 平面內(nèi)任一光滑的不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單正向閉曲線. 解 (1)令，則當(dāng)時(shí)，但積分曲線所圍區(qū)域包含點(diǎn)，在該點(diǎn)不具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計(jì)算，需要將奇點(diǎn)去掉，為此作半徑足夠小的圓:，使位于的內(nèi)部，如圖右所示．的參數(shù)方程為，取逆時(shí)針方向．于是 ， 其中表示的負(fù)方向．由格林公式則有 ，其中為與所圍成的閉區(qū)域．故 ．(2) 分兩種情況計(jì)算。解 這里，由高斯公式得。5 利用高斯公式計(jì)算三重積分，其中是由，及所確定的空間閉區(qū)域。故 ，而，故。由曲面積分的計(jì)算法，得，，故 。（3）其中為圓柱面與平面（）的交線，若從軸的正向望去,的方向是逆時(shí)針方向.解 如右圖所示，平面上由曲線所圍成的區(qū)域記為，并由的方向確定的的的方向是上側(cè)（即的方向與的方向構(gòu)成右手系）。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無關(guān)。（3）。習(xí)題971 若球面上每一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到球的某一定直徑的距離的平方，求球面的質(zhì)量。 3 求向量場(chǎng)的散度。總習(xí)題A一、 填空題1．設(shè)為柱面與平面的交線，從軸負(fù)向看去為逆時(shí)針方向，則曲線積分. (2011 考研 數(shù)學(xué)一) 2．設(shè)曲線為圓周,則．3．設(shè)為任意一條分段光滑的閉曲線，則曲線積分． 4．設(shè)是以原點(diǎn)為球心,為半徑的球面,則．5．設(shè)為球面的下半部分的下側(cè),則曲面積分． 6．向量場(chǎng)的旋度．二、 選擇題1．設(shè)是從原點(diǎn)沿折線至點(diǎn)的折線段,則曲線積分
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