sxfx214第二類(lèi)曲面積分-wenkub
2023-05-22 18:14:17 本頁(yè)面
【正文】 x R d x d y? ? ???． 注 1 此處， ,nx? ?（ ） ， ,ny? =( ） ， ,nz? =( ） 分別為法向 n 的 正向與三個(gè)坐標(biāo)軸的正向夾角，成立 c o s d d y d z?? ? ， c o s d d z d x?? ? ， c o s d d x d y?? ? ， 此即為兩類(lèi)積分的轉(zhuǎn)換關(guān)系 ； 注 2 若記 1S ? 為取法向?yàn)?n? 的 曲面 S ，則 因 方向余弦都變號(hào)，有 1 SSA n d A n d?? ?? ? ? ??? ??． 注 3 若 S 為閉曲面，則第二類(lèi)曲面積分記為 SI A n d ?????， 且若無(wú)特別聲明，總?cè)⊥夥ㄏ驗(yàn)檎?． 三． 計(jì)算 化為二重積分計(jì)算 1. 在直角坐標(biāo)系下： 若函數(shù) ( , , )R x y z 在 曲面 S : ,z f x y? （ ） , ,xyx y D?（ ）上連續(xù)，則 ( , , ) [ , , ( , ) ]xySDR x y z dx dy R x y f x y dx dy???? ??， 其中 “ ? ”視 S 的正側(cè)而定， ,2nz????( ） 時(shí)取正號(hào)， 2??? 時(shí)取負(fù)號(hào)．事實(shí)上 ， S 上點(diǎn) ( , , )x y z 處的法向及其第三分量分別為 22( , , 1 )1xyxyzznzz?????? 與 2211c o s1xyzz? ?? ? ???， 當(dāng) ,2nz????( ） 時(shí)， c o s 1??? ， 1( c o s )d d x d y d x d y? ? ???? ，故 ( , , )S R x y z d x d y?? [ , , ( , ) ]xyD R x y f x y dx dy? ??； 同理，當(dāng) ,2nz????( ） 時(shí)的結(jié)論也不難得到． 同樣地，若函數(shù) ( , , )P x y z 在 曲面 S : ,x x y z? （ ） , ,yzy z D?（ ）上連續(xù)，則 ( , , ) [ ( , ) , , ]yzSDP x y z dy dz P x y z y z dy dz???? ??； 若函數(shù) ( , , )Q x y z 在 曲面 S : ,y y x z? （ ） , ,zxx z D?（ ）上連續(xù)，則 ( , , ) [ , ( , ) , ]zxSDQ x y z d z d x Q x y x z z d z d x???? ??． 也可一并計(jì)算：若 S : ,z f x y? （ ） , , xyx y D?（ ） ， 則由 c o s xd z d
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