第九章曲線積分與曲面積分習(xí)題解答詳解-文庫吧資料
2025-03-31 06:51本頁面
【正文】 D．． 5．設(shè)為球面的外側(cè)，則積分等于（ A ）． A．． B．． C．． D．．三、計(jì)算題 1．計(jì)算其中為拋物線和直線所圍成的閉曲線；解 設(shè)，其中，于是 。 4 求向量場(chǎng)A ijk （為常數(shù)）沿有向閉曲線（從軸的正向看依逆時(shí)針方向）的環(huán)流量。 3 求向量場(chǎng)的散度。 解法2 設(shè)球面方程為，定直徑在軸上，依題意得球面上點(diǎn)的密度為，從而得球面的質(zhì)量為，由輪換對(duì)稱性可知：，故有 ． 2 設(shè)某流體的流速為，求單位時(shí)間內(nèi)從圓柱：（）的內(nèi)部流向外側(cè)的流量（通量）。習(xí)題971 若球面上每一點(diǎn)的密度等于該點(diǎn)到球的某一定直徑的距離的平方，求球面的質(zhì)量。當(dāng)，即或在整個(gè)面內(nèi)恒成立時(shí)，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無關(guān)。（3）。3 驗(yàn)證下列在整個(gè)面內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)：（1）；解 令，∴ 原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取，==（2）；解 因?yàn)椋栽谡麄€(gè)面內(nèi)恒成立，因此，：在整個(gè)面內(nèi)，是某一函數(shù)的全微分，即有。解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。習(xí)題961．求曲線積分，其中是圓的上半圓周，取順時(shí)針方向. 解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路線無關(guān)。（3）其中為圓柱面與平面（）的交線，若從軸的正向望去,的方向是逆時(shí)針方向.解 如右圖所示，平面上由曲線所圍成的區(qū)域記為，并由的方向確定的的的方向是上側(cè)（即的方向與的方向構(gòu)成右手系）。解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上側(cè)。由曲面積分的計(jì)算法，得，，故 。所以。故 ，而，故。令,那么由高斯公式得 。5 利用高斯公式計(jì)算三重積分，其中是由，及所確定的空間閉區(qū)域。解 這里，用高斯公式來計(jì)算，得 ，其中是曲面及平面所圍成的空間閉區(qū)域．（4） ，其中為錐面介于平面﹑之間的部分的下側(cè)，﹑﹑是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。解 這里，由高斯公式得。則 。3. 計(jì)算曲線積分,其中為(1) 橢圓,取逆時(shí)針方向； (2) 平面內(nèi)任一光滑的不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單正向閉曲線. 解 (1)令，則當(dāng)時(shí)，但積分曲線所圍區(qū)域包含點(diǎn)，在該點(diǎn)不具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計(jì)算，需要將奇點(diǎn)去掉，為此作半徑足夠小的圓:，使位于的內(nèi)部，如圖右所示．的參數(shù)方程為，取逆時(shí)針方向．于是 ， 其中表示的負(fù)方向．由格林公式則有 ，其中為與所圍成的閉區(qū)域．故 ．(2) 分兩種情況計(jì)算。(5) ，其中，為圓周取逆時(shí)針方向，是沿的外法線方向?qū)?shù)。則與曲線構(gòu)成一閉曲線，設(shè)它所圍成閉區(qū)域?yàn)椋?，由格林公式，? 。(3) ，其中是依次連接三點(diǎn)的折線段，方向是順時(shí)針方向。設(shè)，則。(2) 圓，（）； 解 設(shè)圓的參數(shù)方程為, 。解 平面的上側(cè)的法向量為，其方向余弦是于是 ，求單位時(shí)間內(nèi)流過曲面的流量，法向量方向與軸正向是鈍角. 解 如右圖所示，依題設(shè)，所求的流量為其中積分曲面是有向曲面，取下側(cè)。于是 由于，和都是直角邊為1的等腰直角三角形區(qū)域，故。（4），其中為，的上側(cè)；解 在面上的投影為半圓域，= ==由對(duì)稱性 =，=∴ 原式==（5），其中是由平面，所圍成的四面體的表面的外側(cè)。再依對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算方法，得。2 計(jì)算下列第二型曲面積分:(1) ，其中是橢球面的的部分，取橢球面的外側(cè)為正側(cè)；解 當(dāng)時(shí)，橢球面的方程是于是令， 則.(2) ，其中是以坐標(biāo)原點(diǎn)為中心，邊長(zhǎng)為2的立方體整個(gè)表面的外側(cè)；解 把分成下面六個(gè)部分:的上側(cè)； 的下側(cè)； 的前側(cè)； 的后側(cè)； 的右側(cè)；的左側(cè). 因?yàn)槌p處,其余四片曲面在面上的投影都為零,故有；同理可得；.于是所求的曲面積分為.（3），其中為旋轉(zhuǎn)拋物面
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