【正文】 相等的兩三角形相似即可得到三角形BEF與三角形AEP相似；（2）存在，理由為：由（1）得出三角形BEF與三角形AEP相似，要使兩三角形全等，只需找出一對角相等，即BE=AE即可，此時利用等邊對等角得到一對角相等，由AB=BC，∠ABC=120176。＜α＜60176。FG=4，F(xiàn)M=4，∴GE=6，∴DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，∵+BC=DE，∴BC=DE﹣=18﹣3=15．點評：本題考查了相似形綜合題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形的知識，難度較大．　7．（2012?路南區(qū)一模）如圖①，在△ABC中，AB=BC，∠ABC=120176。又∵∠AED=90176。∴四邊形DEBH為矩形，∴∠ADC=90176。連接AC，tan∠CAD=，過點D作DE⊥AB，點E為垂足．（1）求證：AE+BC=DE；（2）連接BD，設(shè)BD與AC交于點F，DE與AC交于點G，若AG：FG=3：2，AE=6（如圖2），求線段BC的長．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：探究型．分析：（1）過點D作DH⊥BC交BC的延長線于H，由∠DEB=∠EBH=∠DHB=90176。∴AB=BC=12．①∠AMN=∠B時，如圖1，△AMN∽△ABC．∵AM=4，∴S△AMN：S△ABC=AM2：AB2=42：122=1：9．②當∠AMN=∠C時，如圖2，△AMN∽△ACB．∵AM=4，∴S△AMN：S△ABC=AM2：AC2=42：（12）2=1：27．故答案為：1：9或1：27；（3）可以求得：S△ABC=AO?BC=612=36．∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC．∴S△AMN：S△ABC=MN2：BC2．∴S△AMN：36=x2：122．∴S△AMN=x2．①當EN與線段AB相交時，設(shè)EN與AB交于點F（如圖3），∵MN∥BC，∴∠ANM=∠C=30176。．∵∠ABO+∠C=90176。﹣∠ACB，∴∠B=∠CFE，∴△DBE∽△CFE，∴，∵BD=CF，∴DE=EC，設(shè)EC=x，則DE=x，由（1）結(jié)論可得：6﹣x=2x，解得：x=2，∴EC=2，DE=2，過D作DK⊥BC于K，∵∠DEB=45176。﹣∠ACB，∵∠BAC=45176。EF平分∠AEC，∴∠CEF=45176?！螪CB+∠B=90176。高線CD與高線AE相交于點H，連接DE．（1）如圖1，△ABC為銳角三角形時，求證：AE﹣CE=DE；（2）如圖2，在（1）的條件下，作∠AEC的平分線交AC于點F，連接DF交AE于點G，若BD=CF，AE=6，求GH的長．考點：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）過點D作DN⊥DE交AE于點N，易證得△ADN≌△CDE，由全等三角形的對應(yīng)邊相等，可得CE=AN，DE=DN，即可得△DEN是等腰直角三角形，則可證得AE﹣CE=DE；（2）易證得△DBE∽△CFE，根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，可得DE=EC，設(shè)EC=x，則DE=x，由（1）結(jié)論可得：6﹣x=2x，則可求得DE等線段的長度，又由△ADH≌△CDB，可求得DH與CA的長，然后過F做FM∥AE交CD于點M，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例，即可求得GH的長．解答：解：（1）過點D作DN⊥DE交AE于點N．∵CD⊥AD，∠BAC=45176。∵∠B′=30176?！住鰾CB39。C，BC=B39。B39。．又∵∠ACB=90176?！唷螧CB39。則∠A′CD=90176?！螦BC=30176?！唷螩EM=∠FED∴∠CBM=∠FDC∵點D是AC的中點，∴AC=2CD，∵AC=2BC∴CD=BC∴△CBM≌△CDF，∴BM=DF，CM=CF，∵∠MCF=90176?！?，=，∴=，∵MD∥FC，∴==，∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90176。∴∠C=∠BAC=45176?！唷螧AF+∠AFB=90176。過點B作BD⊥AC于D，BE平分∠DBC，交AC于E，過點A作AF⊥BE于G，交BC于F，交BD于H．（1）若∠BAC=45176。求證：①AF平分∠BAC；②FC=2HD．（2）若∠BAC=30176。∠GBF+∠AFB=90176?！郃B=BC．∵BD⊥AC，∴AD=DC=AC．過點D作KD∥FC交AF于K，∴==．∴FC=2KD，∵BE平分∠DBC，BE⊥AF，∴∠DBE=∠EBF，∠HGB=∠FGB=90176。．∴∠BFH=∠BHF．∵∠BHF=∠DHM．∴∠BFH=∠DHM．∵MD∥BC，∴∠DMH=∠BFH．∴∠DMH=∠DHM．∴MD=HD．∴=．∴FC=HD．點評：此題主要考查了平行線分線段成比例定理，關(guān)鍵是證明KD=HD和MD=HD．此題綜合性較強，找準角之間的相等關(guān)系是解決此題的難點．　2．（2012?香坊區(qū)二模）已知：在△ABC中，∠ACB=90176。∴△MCF是等腰直角三角形，∴∠CMF=45176。將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為θ （0176。﹣∠BCB′=60176。=∠ABC=30176?！唷螦39。=∠CAB=60176。C，∴．又∵∠ACA39。．∵=tan30176?！螦′CB′=90176。∴∠ACD=45176?！唷螪AH=∠DCB，在△ADN和△CDE中，∴△ADN≌△CDE（ASA），∴CE=AN，DE=DN，∴∠DEN=45176?！唷螩EF=∠BED，∠CFE=180176。∴∠B=180176?！郉K=EK=DE=2，∴CK=EK+EC=4，∴tan∠DCK===，CD==2，∴BD=CD=，BC=5，∴CF=，∵AE∥DK，EK=EC，∴EH=DK=1，CH=CD=，∴AH=AE﹣EH=5，∴AH=BC，由（1）得：∠DAH=∠DCB，AD=BC，在△ADH和△CDB中，∴△ADH≌△CDB（SAS），∴DH=BD=，CA==2，過F做FM∥AE交CD于點M，則△CFM∽△CAH，∴=，∴FM=，CM=，MH=，又∵GH∥FM，∴△DHG∽△DMF，∴，即，∴GH=．點評：此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)以及勾股定理等知識．此題綜合性較強，難度較大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的應(yīng)用．　5．（2012?徐匯區(qū)校級模擬）在△OAC中，∠AOC=90176?！唷螧AO=∠C．又∵∠ABO=∠COA，∴△AOB∽△COA．∵OB=6，BC=12，∴6：OA=OA：18，∴OA=6，∴AC===12，∴cosC===；故答案為：；（2）∵cosC=，∴∠C=30176。．∴∠ANM=∠BAC．∴AM=MN=x．∵將△AMN沿MN折疊，∴∠ENM=∠ANM=30176?？芍倪呅蜠EBH為矩形，故可得出∠CDH=∠ADE，再由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CH=AE，故可得出結(jié)論；（2）過點F作FM⊥DE交DE于M，由題意可得==，故可得出AE及FM的長，由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例即可求出CH=AE，根據(jù)四邊形DEBH為矩形得BE=DH；tan∠BDE=，在Rt△DFM′中可得出DM=8，F(xiàn)D=4，設(shè)AG=3a（a＞0），AG：FG=3：2，F(xiàn)G=2a，故可得出△DFG∽△AFD，由相似三角形的對應(yīng)邊成比例可求出FD2的值，在Rt△AGE中，∠AEG=90176?！唷螩DH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90176?！唷螰MG=∠AED，而∠FGM=∠AGE，∴==，∵AE=6，∴FM=4，由（1）知，△DCH∽△DAE，∴==，而由四邊形DEBH為矩形得BE=DH，∴=，∴tan∠BDE=，在Rt△DFM′中，∠FMD=90176。點P是線段AC上的動點（點P與點A、點C不重合），連接BP．將△ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0176。時，在α角變化過程中，△APA1與△BPB1始終存在　相似　關(guān)系（填“相似”或“全等”），同時可得∠A1AP　=　∠B1BP（填“=”或“＜”“＞”關(guān)系）．請說明△BEF與△AEP之間具有相似關(guān)系；（2）如圖②，設(shè)∠ABP=β，當120176。求出∠BAC的度數(shù)，表示出∠PAA1的度數(shù)，由∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA1，將各自的值代入即可列出兩三角形全等時，α與β滿足的關(guān)系；（3）過點P做PH⊥AA1于點H，過點B做BM⊥B1A1交B1A1的延長線于點M，如圖③所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APB≌△A1PB1，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等得到∠BAP=∠B1A1P，AB=A1B1=4，由∠APA1=α=120176。﹣α）=90176。﹣，∴∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA1，∴β=30176。（或α=2β+120176?！嘣赗t△PHA和Rt△BM A1中，AP=x，AH=x，AA1=x，∴A1B=AB﹣AA1=4﹣x，∴BM=A1Bsin60176。過點P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．則∠PNB=∠PMB=90176?！唷螩PM=∠QPN，在△MPC和△NPQ中，∵，∴△MPC≌△NPQ（ASA）． ∴PC=PQ．∴∠PQC=∠PCQ=45176?！螿PN+∠QPM=∠MPN=90176。．∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90176。AC=4，∠A=60176。由BM與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯角相等得到∠MBC=∠ACB=90176。利用對頂角相等得到∠BDF為30176。∴∠ADC=∠ACD=60176?！唷螧DF=30176。過點P的直線分別交邊AB、邊CD于點E、點F．（1）如圖1，當PC=PB時，則S△PBE、S△PCF S△BPC之間的數(shù)量關(guān)系為　S△PBE+S△PCF=S△BPC?。唬?）如圖2，當PC=2PB時，求證：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；（3）在（2）的條件下，Q為AD邊上一點，且∠PQF=90176。∴∠EPB+∠BPG=90176?！唷螮BP=∠BCP，∴△EPB∽△GPC，∵PC=2PB，∴=（）2=∴S△GPC=4S△EPB，同理可得S△FPC=4S△GPB，∵S△PBG+S△PGC=S△BPC，∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC；（3）如圖3，設(shè)正方形的邊長為a（a＞0），∵∠BPC=90176。DN為∠QDF的角平分線，∴∠QDN=45176。然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)邊相等即可得證；（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、EG，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知A、E、G三點共線，且AE+AG=EG時，AG最小，AE+EG=AG時，AG最大，然后求解即可；②根據(jù)平行四邊形的對邊平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等求出∠EAH=90176。在Rt△AEH中，AE2+AH2=EH2，∴（a）2+（a）2=b2，整理得，a=b．點評：本題主要考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的對邊平行且相等的性質(zhì)，（2）①考慮用不變的量表示變化的量是解題的關(guān)鍵．　12．（2012?武漢模擬）（1）如圖1，在△ABC中，點D，E在邊BC上，BD：DE：CE=1：2：3，線段FG∥BC，分別交線段AD，AE于M、N兩點，則有FM：MN：NG=　1：2：3?。?）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90176?！咚倪呅蜠EGF是正方形，∴∠C+∠CGE=90176?！螧FD+∠ABC=90176?！咴凇鱁MD和△CM′D中，∴△EMD≌△CM′D（SAS），∴EM=CM′，∠EDM=∠CDM′，∵DN平分∠MDC，∴∠MDN=∠CDN，∴∠EDN=∠M′DN，∵DE∥AC，∴∠EDN=∠M′ND，∴∠M′DN=∠M′ND，∴DM′=NM′，∴DM=NM′=CN+CM′，∴DM=CN+EM．（2）過M作MR⊥AN于R，延長MN交BC于點K，∵NF：FC=3：5，∴設(shè)NF=3x，CF=5x，∴NC=8x，∵DF⊥AC于F，∠C=60176?！唷螹NR+∠DNF=90176。時，則線段AD與BD的數(shù)量關(guān)系為　AD=BD?。唬?）如圖2，當∠BAC=60176。再由∠APD=∠B，利用外角性質(zhì)及角的加減，利用等量代換的思想得到∠BDP=∠APC，得出三角形PBD與三角形ACP相似，由相似得比例，設(shè)直角邊AB=AC=3b，利用勾股定理表示出BC，再由PC=2PB，表示出BP和PC，再將表示的AC代入比例式，表示出BD，由AB﹣BD表示出AD，即可得出AD與BD的關(guān)系；（2）如圖2所示，由AB=AC及∠BAC=60176。所對的直角邊等于斜邊的一半表示出BF，進而表示出DF，由BP﹣BF表示出PF，再由FP+PC表示出CF，在直角三角形CFD中，利用勾股定理表示出CD，由∠APD=∠B=60176。利用30176?！唷鰽BC為等邊三角形，∴∠BAC=∠ACB=∠B=60176。又∠DCQ=60176。∴∠BDF=30176。．∴==，∠CAF=∠BAE．∴△AFC∽△AEB．∴==．∴的值為．（3）連結(jié)FA、CA，如圖3，∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都是矩形，AB=kBC，AE=kEF，∴∠FEA=∠CBA=90176。AB=AC=2，∴∠B=∠C，．又∵∠FEB=∠FED+∠