【正文】 ?NG，再求出△BDF和△GEC相似，利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出BD?CE=DE2，整理即可得證．解答：（1）解：∵FG∥BC，∴=，==，=，∴==，設(shè)===k，則FM=kBD，MN=kDE，NG=kCE，∵BD：DE：CE=1：2：3，∴FM：MN：NG=kBD：kDE：kCE=1：2：3，（2）解：∵∠BAC=90176。在Rt△AEH中，AE2+AH2=EH2，∴（a）2+（a）2=b2，整理得，a=b．點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的三邊關(guān)系，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)，（2）①考慮用不變的量表示變化的量是解題的關(guān)鍵．　12．（2012?武漢模擬）（1）如圖1，在△ABC中，點(diǎn)D，E在邊BC上，BD：DE：CE=1：2：3，線段FG∥BC，分別交線段AD，AE于M、N兩點(diǎn)，則有FM：MN：NG=　1：2：3?。?）如圖2，在△ABC中，∠BAC=90176。∵四邊形EFGH是正方形，∴EF=EH，∵在△BEH和△AEF中，∴△BEH≌△AEF（SAS），∴BH=AF；（2）①連接EG，∵AB=a，EH=b，∴AE=AC=a，EG=b，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，AG＞EG﹣AE，AG＜AE+EG，∴當(dāng)AG=EG﹣AE時(shí)，AG最小，AG=AE+EG時(shí)，AG最大，b﹣a≤x≤b+a；x取得最大值時(shí)，θ=135176。然后利用“邊角邊”證明△BEH和△AEF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等即可得證；（2）①連接EG，根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AE、EG，再根據(jù)三角形任意兩邊之和大于第三邊，三角形的任意兩邊之差小于第三邊可知A、E、G三點(diǎn)共線，且AE+AG=EG時(shí)，AG最小，AE+EG=AG時(shí)，AG最大，然后求解即可；②根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行且相等可得AH∥BD，AH=BD，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等求出∠EAH=90176。≤θ≤360176。DN為∠QDF的角平分線，∴∠QDN=45176?！嘤晒垂啥ɡ淼?，（HQ2+HP2）+（DQ2+DF2）=PT2+TF2，即（16﹣DQ）2+122+（DQ2+42）=162+82，解得DQ=4或DQ=12，當(dāng)DQ=4時(shí)，∵DQ=DF=4，∠PQF=90176。∴∠EBP=∠BCP，∴△EPB∽△GPC，∵PC=2PB，∴=（）2=∴S△GPC=4S△EPB，同理可得S△FPC=4S△GPB，∵S△PBG+S△PGC=S△BPC，∴16S△PBE+S△PFC=4S△BPC；（3）如圖3，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a（a＞0），∵∠BPC=90176。∴∠EPB=∠CPG，同理，∵∠EBP+∠PBC=90176?！唷螮PB+∠BPG=90176。由相似三角形的判定定理得出△EPB∽△GPC，由相似三角形的性質(zhì)可知S△GPC=4S△EPB，同理可得S△EPC=4S△GPB，故可得出結(jié)論；（3）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為a（a＞0），由PC=2PB，S△BPC=80可求出a的值，由（2）中△EPB∽△GPC，可得出CG=2BE=12，BG=8，CF=16，DF=4，過點(diǎn)P作PM∥AB交BC于點(diǎn)M．交AD于點(diǎn)H，過點(diǎn)P作PT⊥CD于T，由勾股定理可求出DQ的長(zhǎng)，當(dāng)DQ=4時(shí)，由等腰三角形的性質(zhì)可求出DN的長(zhǎng)，當(dāng)DQ=12時(shí)，過點(diǎn)N作NN1⊥QD于N1，由相似三角形的判定定理得出△QDF∽△QN1N，故可得出NN1的長(zhǎng)，再由勾股定理即可得出DN的長(zhǎng)．解答：解：（1）如圖1所示：過點(diǎn)P作PI⊥BC于點(diǎn)I，∵PB=PC，∴PI∥BE∥CF，∴PI是梯形BCFE的中位線，∴PI=（BE+CF），∵△PBC是等腰直角三角形，∴PI=BI=CI，∴S△PBE+S△PCF=BE?BI+CF?CI=BEBC+CF?BC=BC（BE+CF）=BC?PI=S△PBC．故答案為：S△PBE+S△PCF=S△BPC；（2）如圖2，過點(diǎn)P作PG⊥EF交BC于點(diǎn)G，∠EPG=90176。過點(diǎn)P的直線分別交邊AB、邊CD于點(diǎn)E、點(diǎn)F．（1）如圖1，當(dāng)PC=PB時(shí)，則S△PBE、S△PCF S△BPC之間的數(shù)量關(guān)系為　S△PBE+S△PCF=S△BPC　；（2）如圖2，當(dāng)PC=2PB時(shí)，求證：16S△PBE+S△PCF=4S△BPG；（3）在（2）的條件下，Q為AD邊上一點(diǎn)，且∠PQF=90176?！唷螧DF=∠BFD，∴BF=BD=4；（2）①證明：由翻折，得∠E′CD=∠ACD=60176?！唷螧DF=30176。AD=BD=AC，∵AC=4，∴AD=BD=AC=4，∵BM∥AC，∴∠MBC=∠ACB=90176?！唷螦DC=∠ACD=60176。得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用內(nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，得到CE′∥AB，再由兩直線平行得到一對(duì)內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換得到∠BDG=∠BFD，再由一對(duì)公共角，利用兩對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似可得出△BDF∽△BGD；②由△BDF∽△BGD得比例，將各自的值代入即可列出y與x的函數(shù)關(guān)系式，求出x的范圍即可；（3）分兩種情況考慮：（i）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的右側(cè)時(shí)，在y與x的關(guān)系式中，令y=6列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長(zhǎng)；（ii）當(dāng)點(diǎn)G在點(diǎn)F的左側(cè)時(shí)，如圖3所示，列出此時(shí)y與x的關(guān)系式，令y=6列出關(guān)于x的方程，求出方程的解得到x的值，即為AE的長(zhǎng)，綜上，得到所有滿足題意的AE的長(zhǎng)．解答：解：（1）∵∠ACB=90176。利用對(duì)頂角相等得到∠BDF為30176。利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等可得出∠BFD也為30176。由BM與AC平行，利用兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等得到∠MBC=∠ACB=90176。AD=BD，利用斜邊上的中線等于斜邊的一半得到CD=AD=BD，再由∠BAC=60176。AC=4，∠A=60176?！唷螩PM=∠QPN，又∵∠PMC=∠PNQ=90176。．∵∠CPM+∠QPM=∠QPC=90176?！唷鱉PC∽△NPQ，∴，∵PN=MB，∴，在Rt△PBM中，tan∠PBM=，在Rt△PQC中tan∠PQC=，∴tan∠PBM=tan∠PQC，∴∠PBM=∠PQC，即∠PQC=∠DBC．②的證明：如圖3，過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N，∵四邊形ABCD是梯形，∴∠NBM=∠PMB=∠PNB=90176。∠QPN+∠QPM=∠MPN=90176?！嗨倪呅蜳NBM為矩形，則MB=NP，∠MPN=90176?！唷螩PM=∠QPN，在△MPC和△NPQ中，∵，∴△MPC≌△NPQ（ASA）． ∴PC=PQ．∴∠PQC=∠PCQ=45176。即∠QPN+∠QPM=90176。過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．則∠PNB=∠PMB=90176。=∠DBC．（2）①首先過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．由四邊形ABCD是矩形，易得四邊形PNBM為矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=與在Rt△PQC中tan∠PQC=，即可證得∠PQC=∠DBC．②首先過點(diǎn)P作PM⊥BC，PN⊥AB，垂足分別為M、N．由四邊形ABCD是直角梯形，易得四邊形PNBM為矩形，即可得△MPC∽△NPQ，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，可得，又由在Rt△PBM中，tan∠PBM=與在Rt△PQC中tan∠PQC=，即可證得∠PQC=∠DBC．解答：證明：（1）∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC=90176?！嘣赗t△PHA和Rt△BM A1中，AP=x，AH=x，AA1=x，∴A1B=AB﹣AA1=4﹣x，∴BM=A1Bsin60176?！唷螧AP=∠PA1A=∠B1A1P=30176。（或α=2β+120176。﹣）=﹣60176。﹣，∴∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA1，∴β=30176。AB=BC，∠APA1=α，AP=A1P，∴∠BAC=30176。﹣α）=90176。進(jìn)而得到∠AA1D=∠BA1M=60176。求出∠BAC的度數(shù)，表示出∠PAA1的度數(shù)，由∠BAE=∠ABP=∠BAC﹣∠PAA1，將各自的值代入即可列出兩三角形全等時(shí)，α與β滿足的關(guān)系；（3）過點(diǎn)P做PH⊥AA1于點(diǎn)H，過點(diǎn)B做BM⊥B1A1交B1A1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，如圖③所示，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到△APB≌△A1PB1，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等得到∠BAP=∠B1A1P，AB=A1B1=4，由∠APA1=α=120176。時(shí)，在α角變化過程中，是否存在△BEF與△AEP全等？若存在，求出α與β之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請(qǐng)說明理由；（3）如圖③，當(dāng)α=120176。時(shí)，在α角變化過程中，△APA1與△BPB1始終存在　相似　關(guān)系（填“相似”或“全等”），同時(shí)可得∠A1AP　=　∠B1BP（填“=”或“＜”“＞”關(guān)系）．請(qǐng)說明△BEF與△AEP之間具有相似關(guān)系；（2）如圖②，設(shè)∠ABP=β，當(dāng)120176。），得到△A1B1P，連接AA1，直線AA1分別交直線PB、直線BB1于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1）如圖①，當(dāng)0176。點(diǎn)P是線段AC上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、點(diǎn)C不重合），連接BP．將△ABP繞點(diǎn)P按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角（0176。AG=6，AE=6，∴GM=4，在Rt△FMG中，∠FMG=90176?！唷螰MG=∠AED，而∠FGM=∠AGE，∴==，∵AE=6，∴FM=4，由（1）知，△DCH∽△DAE，∴==，而由四邊形DEBH為矩形得BE=DH，∴=，∴tan∠BDE=，在Rt△DFM′中，∠FMD=90176?！唷鱀CH∽△DAE，∴==，∴CH=AE，∵DE=BH而BH=BC+CH=BC+AE，∴+BC=DE．（2）如圖2，過點(diǎn)F作FM⊥DE交DE于M，∴∠FMG=90176?！唷螩DH+∠EDC=∠ADE+∠EDC=90176。FG=4，F(xiàn)M=4，GE=6，DE=GE+GM+DM=6+4+8=18，+BC=DE，BC=DE﹣=18﹣3=15．解答：解：（1）如圖1，過點(diǎn)D作DH⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于H，∵∠DEB=∠EBH=∠DHB=90176?？芍倪呅蜠EBH為矩形，故可得出∠CDH=∠ADE，再由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CH=AE，故可得出結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FM⊥DE交DE于M，由題意可得==，故可得出AE及FM的長(zhǎng)，由相似三角形的判定定理得出△DCH∽△DAE，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例即可求出CH=AE，根據(jù)四邊形DEBH為矩形得BE=DH；tan∠BDE=，在Rt△DFM′中可得出DM=8，F(xiàn)D=4，設(shè)AG=3a（a＞0），AG：FG=3：2，F(xiàn)G=2a，故可得出△DFG∽△AFD，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例可求出FD2的值，在Rt△AGE中，∠AEG=90176。．∴MF=MN=AM=x．∴S△FMN：S△AMN=MF：AM．∴y：x2=x：x=1：2．∴y=x2（0＜x≤8）；②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G（如圖4），∵M(jìn)N∥BC，∴CN：AC=BM：AB．∴CN：12=（12﹣x）：12，∴CN=12﹣x．∵△CNG∽△CBA，∴S△CNG：S△ABC=CN2：BC2．∴S△CNG：36=（12﹣x）2：122．∴S△CNG=（12﹣x）2．∴S陰=S△ABC﹣S△AMN﹣S△CNG=36﹣x2﹣（12﹣x）2．即y=﹣x2+18x﹣72（8＜x≤12）．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)直線EN與線段AB位置關(guān)系進(jìn)行分類討論得出是解題關(guān)鍵．　6．（2012?道外區(qū)二模）已知：如圖1，四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90176。．∴∠ANM=∠BAC．∴AM=MN=x．∵將△AMN沿MN折疊，∴∠ENM=∠ANM=30176?！唷螧AC=30176?！唷螧AO=∠C．又∵∠ABO=∠COA，∴△AOB∽△COA．∵OB=6，BC=12，∴6：OA=OA：18，∴OA=6，∴AC===12，∴cosC===；故答案為：；（2）∵cosC=，∴∠C=30176。M、N分別在線段AB、AC上．（1）填空：cosC=　?。?）如圖1，當(dāng)AM=4，且△AMN與△ABC相似時(shí)，△AMN與△ABC的面積比為　1：9或1：27??；（3）如圖2，當(dāng)MN∥BC時(shí)，將△AMN沿MN翻折，點(diǎn)A落在四邊形BCNM所在平面的點(diǎn)為點(diǎn)E，EN與射線AB交于點(diǎn)F，設(shè)MN=x，△EMN與△ABC重疊部分的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．考點(diǎn)：相似形綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有分析：（1）根據(jù)相似三角形的判定得出△AOB∽△COA，進(jìn)而得出AO的長(zhǎng)，即可求出cosC的值；（2）利用（1）中所求得出AB=BC=12，再利用①∠AMN=∠B時(shí)，（如圖1）△AMN∽△ABC，②當(dāng)∠AMN=∠C時(shí)，（如圖2）△AMN∽△ACB分別求出即可；（3）首先得出△AMN∽△ABC，①當(dāng)EN與線段AB相交時(shí)，設(shè)EN與AB交于點(diǎn)F（如圖3），②當(dāng)EN與線段AB不相交時(shí)，設(shè)EN于BC交于點(diǎn)G（如圖4），分別求出即可．解答：解：（1）∵AO⊥OC，∴∠ABO+∠BAO=90176?！郉K=EK=DE=2，∴CK=EK+EC=4，∴tan∠DCK===，CD==2，∴BD=CD=，BC=5，∴CF=，∵AE∥DK，EK=EC，∴EH=DK=1，CH=CD=，∴AH=AE﹣EH=5，∴AH=BC，由（1）得：∠DAH=∠DCB，AD=BC，在△ADH和△CDB中，∴△ADH≌△CDB（SAS），∴DH=BD=，CA==2，過F做FM∥AE交CD于點(diǎn)M，則△CFM∽△CAH，∴=，∴FM=，CM=，MH=，