抽屜原理的典型問題-wenkub
2023-04-09 02:31:43 本頁面
【正文】 設(shè)不符，故不可能.原理1 2都是第一抽屜原理的表述第二抽屜原理： 把(mn1)個物體放入n個抽屜中，其中必有一個抽屜中至多有(m—1)個物體。這一現(xiàn)象就是我們所說的抽屜原理。抽屜原理的一般含義為：“如果每個抽屜代表一個集合，每一個蘋果就可以代表一個元素，假如有n+1或多于n+1個元素放到n個集合中去，其中必定至少有一個集合里至少有兩個元素?！ 證明](反證法)：若每個抽屜都有不少于m個物體，則總共至少有mn個物體，與題設(shè)矛盾，故不可能 例1：400人中至少有兩個人的生日相同. 解：將一年中的366天視為366個抽屜，400個人看作400個物體，由抽屜原理1可以得知：至少有兩人的生日相同. 又如：我們從街上隨便找來13人，就可斷定他們中至少有兩個人屬相相同. “從任意5雙手套中任取6只，其中至少有2只恰為一雙手套?！±? 證明：任取8個自然數(shù)，必有兩個數(shù)的差是7的倍數(shù)。 同理，其余的5個任意整數(shù)中，有：3|a7+a8+a9，設(shè)：a7+a8+a9=b3 ②再考慮bbb3被2整除. 依據(jù)抽屜原理，bbb3這三個整數(shù)中，至少有兩個是同奇或同偶，這兩個同奇(或同偶)|b1+b2 則：6|b1+b2，即：6|a1+a2+a3+a4+a5+a6 ∴任意11個整數(shù)，其中必有6個數(shù)的和是6的倍數(shù). 例3： 任意給定7個不同的自然數(shù)，求證其中必有兩個整數(shù)，其和或差是10的倍數(shù). 分析：注意到這些數(shù)隊(duì)以10的余數(shù)即個位數(shù)字，以0，1，…，9為標(biāo)準(zhǔn)制造10個抽屜，標(biāo)以 [0]，[1]，…，[9].若有兩數(shù)落入同一抽屜，其差是10的倍數(shù)，只是僅有7個自然數(shù)，似不便運(yùn)用抽屜原則，再作調(diào)整：[6]，[7]，[8]， [9]四個抽屜分別與[4]，[3]，[2]，[1]合并，則可保證至少有一個抽屜里有兩個數(shù)，它們的和或差是10的倍數(shù).(二)面積問題例：九條直線中的每一條直線都將正方形分成面積比為2:3的梯形，證明：這九條直線中至少有三條經(jīng)過同一點(diǎn).證明：如圖，設(shè)直線EF將正方形分成兩個梯形，作中位線MN?！±?：假設(shè)在一個平面上有任意六個點(diǎn)，無三點(diǎn)共線，每兩點(diǎn)用紅色或藍(lán)色的線段連起來，都連好后，問你能不能找到一個由這些線構(gòu)成的三角形，使三角形的三邊同色?解：首先可以從這六個點(diǎn)中任意選擇一點(diǎn)，然后把這一點(diǎn)到其他五點(diǎn)間連五條線段，如圖，在這五條線段中，至少有三條線段是同一種顏色，假定是紅色，現(xiàn)在我們再單獨(dú)來研究這三條紅色的線?！崩?”：17個科學(xué)家中每個人與其余16個人通信，他們通信所討論的僅有三個問題，而任兩個科學(xué)家之間通信討論的是同一個問題。 若這6位中有兩位之間也討論甲問題，則結(jié)論成立。否則，他們間只討論丙問題，這樣結(jié)論也成立?！ ±?：從…、120這20個自然數(shù)中，至少任選幾個數(shù)，就可以保證其中一定包括兩個數(shù)，它們的差是12?！ 》治雠c解答根據(jù)題目所要求證的問題，應(yīng)考慮按照同一抽屜中，看成10個抽屜(顯然，它們具有上述性質(zhì))： {1，2，4，8，16｝，{3，6，12｝，{5，10，20｝，{7，14｝，{9，18｝，{11｝，{13｝，{15｝，{17｝，{19｝。最多有n1次，如果有一個校友握手的次數(shù)是0次，那么握手次數(shù)最多的不能多于n2次。抽屜原則有時也被稱為鴿巢原理，它是德國數(shù)學(xué)家狄利克雷首先明確的提出來并用以證明一些數(shù)論中的問題，因此，也稱為狄利克雷原則。用反證法)假設(shè)結(jié)論不成立，即
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