偽旁切圓中的共點(diǎn)共線問題-wenkub
2023-04-08 06:59:10 本頁面
【正文】 in∠HPA=S?IPAS?HPA=AIsin∠HCLsin∠GCL=1，根據(jù)賽瓦定理逆定理知NA、MB、LC三線共點(diǎn)。CGCH （4）根據(jù)定理三知AEAF 圖14證明：根據(jù)三角形面積公式知AFsin∠FANAEsin∠EAN=FNEN=1，所以sin∠FANsin∠EAN=AEAF （1）同理可知sin∠DBMsin∠IBM=BIBD （2）sin∠HCLsin∠GCL=CGCH （3）（1）（2）（3）知sin∠FANsin∠EAN由于CM、BN、AP交于一點(diǎn)，所以AXBX?BZCZ?CYAY=1 （1）根據(jù)三角形面積公式知ABsin∠BAQACsin∠CAQ=S?BAQS?CAQ=AB?BQsin∠ABQAC?CQsin∠ACQ=AB?BQsin∠ABQAC?CQsin∠ACQ=AB?BQsin∠XBJAC?CQsin∠YCK，所以sin∠BAQsin∠CAQ=BQsin∠XBJCQsin∠YCK=sin∠BCQsin∠CBQ?sin∠XBJsin∠YCK=sin∠BCKsin∠CBJ?sin∠XBJsin∠YCK=sin∠BCKsin∠YCK?sin∠XBJsin∠CBJ （2）又根據(jù)三角形面積公式知BCsin∠BCKYCsin∠YCK=S?BCKS?YCK=BKYK，所以sin∠BCKsin∠YCK=BKYK?YCBC （3）XBsin∠XBJCBsin∠CBJ=S?XBJS?CBJ=XJCJ，所以sin∠XBJsin∠CBJ=XJCJ?CBXB （4）將（3）、（4）代入（2）知sin∠BAQsin∠CAQ=BKYK?YCBC?XJCJ?CBXB=BKCJ?YCXB?XJYK （5）同理可知：sin∠ACRsin∠BCR=ALBK?ZBYA?YKZL （6）sin∠CBSsin∠ABS=CJAL?XAZC?ZLXJ （7）（5）（6）（7）知sin∠BAQsin∠CAQ?sin∠ACRsin∠BCR?sin∠CBSsin∠ABS=BKCJ?YCXB?XJYK?ALBK?ZBYA?YKZL?CJAL?XAZC?ZLXJ=YCYA?ZBZC?XAXB （8）由（7）、（8）知sin∠BAQsin∠CAQ?sin∠ACRsin∠BCR?sin∠CBSsin∠ABS=1，根據(jù)賽瓦定理逆定理知AQ、BS、CR交于一點(diǎn)。圖11命題三：如圖12，△ABC外接圓為⊙O。 圖9命題二：如圖10，如圖三角形ABC中，⊙O⊙O2是偽旁切圓，分別切⊙O于H、I。求證：AD、BE、CF三線共點(diǎn)。CIAJSCRCBCABSCRCRBTBSCRC又GH⊥AR，所以ST∥GH。 圖4 圖5定理三：如圖6，△ABC外接圓為⊙O，⊙O1與⊙O外切于點(diǎn)D，且分別切AB、AC于G、H，⊙O2與⊙O外切于點(diǎn)E，且分別切BC、BA于I、J，⊙O3與⊙O外切于點(diǎn)F，且分別切CA、CB于K、L，則AJAKBLBGCHCI=1。如圖5，延長(zhǎng)DH交⊙O于P2，則由位似知，P2O∥O1D，即P2O⊥BC，所以P2O為弧BC中點(diǎn)，即P2與P重合。同理可得YB=BC?cosB2?cosC2sinA2。下面證明P為JK中點(diǎn)。圖3證明：設(shè)弧BC的中點(diǎn)為P，我們先證明JK經(jīng)過P，且P為JK中點(diǎn)，再證明DH和FI經(jīng)過P。另外，由于⊙P’與⊙I相等，所以原圖形的反形與原圖形反向全等，所以AB=AC’，AC=AB’，于是知ABAC=ABAB’=AEAH。我們可以看出，原圖形是由△ABC決定的，其反形是由△AB’C’決定的，且它們的結(jié)構(gòu)方式相同。如圖2，我們以點(diǎn)A為反演中心，以AEAH為反演冪，則H、E互為反演點(diǎn)，F(xiàn)、G互為反演點(diǎn)，從而⊙P與⊙I互為反形。筆者在研究偽旁切圓的性質(zhì)時(shí)，曾發(fā)現(xiàn)了一系列共點(diǎn)問題及其相關(guān)問題，此篇文章即是通過三個(gè)定理，將此類問題做一個(gè)貫穿和系統(tǒng)整理，敬請(qǐng)方家指教。定理一：如圖1，△ABC外接圓為⊙O，內(nèi)切圓⊙I分別切三邊于D、E、F，⊙P與⊙O外切于J，且分別切AB、AC于G、H，連接AD并延長(zhǎng)交⊙P于K，則AJ=AK，且∠BAJ=∠CAD。設(shè)B的反演點(diǎn)為B’，C的反演點(diǎn)為C’，則⊙O的反形為直線B’C’，直線BC的反形即為△A B’C’的外接圓⊙Q。又△ABC∽△AC’B’，所以原圖形的反形與原圖形反向相似。 圖2定理二：如圖3，三角形ABC中，⊙O⊙O2是偽旁切圓，分別切⊙O于H、I。首先用同一法證明JK經(jīng)過點(diǎn)P。作JX⊥BC于X，KY⊥BC于Y，PS交BC于Z，則Z為BC中點(diǎn)。所以XC=BY，命題得證。所以DH經(jīng)過點(diǎn)P。 圖6證明：如圖7，取GH中點(diǎn)為R、IJ中點(diǎn)為S，KL中點(diǎn)為T，則根據(jù)曼海姆定理知R、S、T為△ABC的三個(gè)旁心。于是知BGAB=RBTB （1）CACH=SCRC （2）（1）（2）得BGABABCA （3）同理可知：CIAJ=SCRCCABC
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