偽旁切圓中的共點(diǎn)共線問題-全文預(yù)覽
【正文】 分別為HI、DE、FG中點(diǎn)，LD、SK交于交于U，LG、RJ交于V。綜上所述，知S、J、R三點(diǎn)共線，且直線SR為∠BJC的外角平分線。所以BJAJ=BGAG （1）同理可知HJ為△ACJ中∠AJC的外角平分線，所以CJAJ=CHAH （2）又由于AG=AH，由（1）247。根據(jù)定理三知T為弧BAC中點(diǎn)，根據(jù)命題九的引理知T、P、L共線，所以Q、P、L三點(diǎn)共線。于是知X、Y、Z分別為TU、UV、VT中點(diǎn)。則X、Y、Z分別為TU、UV、VT中點(diǎn)。（潘成華題）圖26證明：我們先證明一個引理：如圖27，△ABC外接圓為⊙O?！袿1與⊙O相切于點(diǎn)M，且分別切CB、CA于D、E；⊙O2與⊙O相切于N，且分別切BA、BC于F、G；⊙O3與⊙O相切于P，且分別切AC、AB于H、I。又根據(jù)引理知P、L、W三點(diǎn)共線，Q、J、U三點(diǎn)共線，R、K、V三點(diǎn)共線。易知O2F=O2B2O2A=O2T2O2A，O2K=O2T?O2IO2A，所以O(shè)2FO2K=O2T2O2AO2T?O2IO2A=O2TO2I，（1）式得證。圖23如圖24，連接GO1并延長交AO2于K，則知∠DGK=12∠DGE=12∠DAE=∠DAK，所以D、G、A、K四點(diǎn)共圓，即K在⊙O1上。命題九：如圖22，△ABC外接圓為⊙O。由三角形面積公式知：ABsin∠BADACsin∠CAD=BDCD，所以sin∠BADsin∠CAD=ACABBDCD （2）又根據(jù)三角形面積公式知：ACsin∠CAMABsin∠BAM=S?ACMS?ABM=AC?CMsin∠ACMAB?BMsin∠ABM=AC?CMsin∠ECLAB?BMsin∠FBK，所以sin∠CAMsin∠BAM=CMsin∠ECLBMsin∠FBK （3）又CMBM=sin∠CBMsin∠BCM=sin∠CBKsin∠BCL，代入（3）知sin∠CAMsin∠BAM=sin∠CBKsin∠BCLsin∠ECLsin∠FBK=sin∠CBKsin∠FBKsin∠ECLsin∠BCL （4）又CBsin∠CBKFBsin∠FBK=CKFK，所以sin∠CBKsin∠FBK=FBCBCKFK （5）又ECsin∠ECLBCsin∠BCL=ELBL，所以sin∠ECLsin∠BCL=BCECELBL （6）（5）（6）知sin∠CBKsin∠FBKsin∠ECLsin∠BCL=FBCBCKFKBCECELBL=FBECCKFKELBL=BDCDCKFKELBL （7）將（7）代入（4）知sin∠CAMsin∠BAM=BDCDCKFKELBL （8）由（2）、（8）知，要證明（1），只需證明ACABBDCD=BDCDCKFKELBL，即只需證明：ACAB=CKFKELBL （9）根據(jù)位似知CKFK=CUUQ=ACAS （10）ELBL=VPBV=ARAB （11）（10）（11）知，CKFKELBL=ACASARAB=ACAB，即（9）式成立，命題得證。圖20如圖21，連接CO1交HG于U，交DE于Q，連接BO2交IJ于V，交DF于P，連接PQ分別交AB、AC于R、S?！鰽BC內(nèi)切圓分別切BC、CA、AB于D、E、F。于是知E、F過點(diǎn)A，且EF⊥AD，GH⊥AD；FD過點(diǎn)B，且FD⊥BE，IJ⊥BE；D、E過點(diǎn)C，且DE⊥CF，KL⊥CF?！袿1與⊙O外切，且分別與AB、AC切于G、H；⊙O2與⊙O外切，且分別與BC、BA切于I、J；⊙O3與⊙O外切，且分別與CA、CB切于K、L。同理BNNC=BICH，CLLA=CGAF。證明：AP、BQ、CR三線共點(diǎn)。根據(jù)賽瓦定理逆定理知PA、RB、QC三線共點(diǎn)。CHCGsin∠CGHsin∠CHGsin∠GRBsin∠FRB直線EF、GH、ID分別交于點(diǎn)P、Q、R，求證：PA、RB、QC共點(diǎn)。sin∠DBMsin∠IBMBIBDL、M、N分別為GH、ID、EF中點(diǎn)，求證：NA、MB、LC共點(diǎn)。圖12證明：如圖13，設(shè)CJ交AB于X，BK交AC于Y，AL交BC于Z。 圖10證明：連接O1H、O2I并延長，根據(jù)位似知兩線交于點(diǎn)O，延長DH、FI交于點(diǎn)P，根據(jù)定理二知PO⊥BC，又O1D⊥BC、O1F⊥BC，根據(jù)笛沙格定理知BC、HI、O1O2三線共點(diǎn)。根據(jù)定理一知AS、AD是∠BAC的一組等角線，BS、BE是∠ABC的一組等角線，CS、CF是∠ACB的一組等角線，從而知AD、BE、CF三線共點(diǎn)，設(shè)為M，則M與S是一對等角共軛點(diǎn)。命題一：如圖8，△ABC外接圓為⊙O，⊙O1與⊙O外切于點(diǎn)D，且分別切AB、AC于G、H，⊙O2與⊙O外切于點(diǎn)E，且分別切BC、BA于I、J，⊙O3與⊙O外切于點(diǎn)F，且分別切CA、CB于K、L。TASA=1，代入（6）式即得BGCHCABC=RBTBTASAAKBL=RBTBBCAB （4）AKBL=TASASCRC，從而知BGCH=RBTB又因?yàn)镾、T為△ABC的旁心，所以ST⊥AR。命題得證。下面再用同一法證明DH經(jīng)過點(diǎn)P。而XC=JCcosC2=BCsin∠JBCsin∠BJCcosC2=BC?cosB2?cosC2sinA2。由曼海姆定理知J、K為△ABC旁心，所以JK⊥AS，即P1A⊥AS，所以P1S為圓O直徑，所以P1為優(yōu)弧BC中點(diǎn)，即P1與P重合，即JK經(jīng)過點(diǎn)P。CO1交
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