二次函數(shù)壓軸題——角的存在性-wenkub
2023-04-08 06:24:57 本頁面
【正文】 P作PN⊥CD于點(diǎn)N，則PN=FN?tan∠PFN=FN?tan∠CFM=2FN．∵∠PCF=45176。一．解答題（共5小題） 例1．（2013?河南）如圖，拋物線y=﹣x2+bx+c與直線y=x+2交于C、D兩點(diǎn)，其中點(diǎn)C在y軸上，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（3，）．點(diǎn)P是y軸右側(cè)的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E，交CD于點(diǎn)F．（1）求拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，當(dāng)m為何值時(shí)，以O(shè)、C、P、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？請(qǐng)說明理由．（3）若存在點(diǎn)P，使∠PCF=45176?！郟N=CN，而PN=2FN，∴FN=CF=m，PN=2FN=m，在Rt△PFN中，由勾股定理得：PF==m．∵PF=yP﹣yF=（﹣m2+m+2）﹣（m+2）=﹣m2+3m，∴﹣m2+3m=m，整理得：m2﹣m=0，解得m=0（舍去）或m=，∴P（，）；同理求得，另一點(diǎn)為P（，）．∴符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，）或（，）．點(diǎn)評(píng)：本題是二次函數(shù)綜合題型，考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)、解方程（方程組）、平行四邊形、相似三角形（或三角函數(shù)）、勾股定理等重要知識(shí)點(diǎn)．第（2）問采用數(shù)形結(jié)合思想求解，直觀形象且易于理解；第（3）問中，符合條件的點(diǎn)P有兩個(gè)，注意不要漏解． 2．（2012?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx﹣3a經(jīng)過A（﹣1，0）、C（0，﹣3）兩點(diǎn)，與x軸交于另一點(diǎn)B．（1）求此拋物線的解析式；（2）已知點(diǎn)D（m，﹣m﹣1）在第四象限的拋物線上，求點(diǎn)D關(guān)于直線BC對(duì)稱的點(diǎn)D39。（0，﹣1）；（3）存在．過D點(diǎn)作DE⊥x軸，垂足為E，交直線BC于F點(diǎn)（如圖），∵∠PCB=∠CBD，∴CP∥BD，又∵CD∥x軸，四邊形PCDB為平行四邊形，∴△OCP≌△EDB，∴OP=BE=1，設(shè)CP與BD相交于M點(diǎn)（m，3m﹣9），易求BD解析式為：y=3x﹣9，由BM=CM，得到關(guān)于m的方程，解方程后，得m=；于是，M點(diǎn)坐標(biāo)為：M（，﹣）；于是CM解析式為：y=x﹣3，令CM方程中，y=0，則x=9，所以，P點(diǎn)坐標(biāo)為：P（9，0），∴P（1，0），或（9，0）．點(diǎn)評(píng)：本題考查了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用．關(guān)鍵是由已知條件求拋物線解析式，根據(jù)拋物線的對(duì)稱性，直線BC的特殊性求點(diǎn)的坐標(biāo)． 3．（2014?湖州）如圖，已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=﹣x2+bx+c（c＞0）的頂點(diǎn)為D，與y軸的交點(diǎn)為C，過點(diǎn)C作CA∥x軸交拋物線于點(diǎn)A，在AC延長(zhǎng)線上取點(diǎn)B，使BC=AC，連接OA，OB，BD和AD．（1）若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣4，4）．①求b，c的值；②試判斷四邊形AOBD的形狀，并說明理由；（2）是否存在這樣的點(diǎn)A，使得四邊形AOBD是矩形？若存在，請(qǐng)直接寫出一個(gè)符合條件的點(diǎn)A的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專題：幾何綜合題；壓軸題．分析：（1）①將拋物線上的點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線即可求出b、c的值；②求證AD=BO和AD∥BO即可判定四邊形為平行四邊形；（2）根據(jù)矩形的各角為90176?！摺螦BO=∠OBC，
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