二次函數(shù)中的面積計(jì)算問題教師用-wenkub
2023-04-08 06:24:25 本頁面
【正文】 （1，－4）．S四邊形ABMC ＝S△AOC＋ S△COM ＋ S△MOB＝13＋31＋34＝9 yxBAOC圖2D說明：也可過點(diǎn)M作拋物線的對(duì)稱軸，將四邊形ABMC的面積轉(zhuǎn)化為求一個(gè)梯形與兩個(gè)直角三角形面積的和．（3）設(shè)D（m，m 2－2m－3），連結(jié)OD，如圖2．則0＜m＜3，m 2－2m－3＜0．S四邊形ABDC ＝S△AOC＋ S△COD ＋ S△DOB＝13＋3m＋3[－(m 2－2m－3)]＝－m 2＋m＋6yxBAOC圖3Q1E＝－(m－)2＋． 當(dāng)m＝時(shí)，四邊形ABDC的面積最大．此時(shí)m 2－2m－3＝()2－2－3＝－．∴存在點(diǎn)D（，－），使四邊形ABDC的面積最大． （4）有兩種情況：如圖3，過點(diǎn)B作BQ1⊥BC，交拋物線于點(diǎn)Q交軸于點(diǎn)E，連接Q1C．∵在Rt△COB中，OB＝OC＝3，∴∠CBO＝45176。∴OF＝OC＝3．∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為（－3，0）．∴直線CF的解析式為y＝－x－3．令－x－3＝x 2－2x－3，解得，∴點(diǎn)Q2的坐標(biāo)為（1，－4）．綜上所述，在拋物線y＝x 2－2x－3上，使△BCQ是以BC為直角邊的直角三角形的點(diǎn)Q有兩個(gè)，分別是：Q1（－2，5）和Q2（1，－4）．[精選練習(xí)]，AB為半圓的直徑，點(diǎn)P為AB上一動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，分別以AP于PB為直徑做半圓，則圖中陰影部分的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)圖像大致為（ ）ABCNOMPxy（第2題圖）2．如圖，已知A、B是反比例函數(shù)（k＞0，x＜0）圖象上的兩點(diǎn)，BC∥x軸，交y軸于點(diǎn)C。AB=AD，AC=4BC，設(shè)CD的長(zhǎng)為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是 (第3題)ABCD，兩條拋物線y1=χ2+y2=χ21 與分別經(jīng)過點(diǎn)（2，0），（2，0）且平行于y軸的兩條平行線圍成的陰影部分的面積為 5．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(－2，0)，連結(jié)OA，將線段OA繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)120176。．AxyBO圖1M∴OM＝OB＝2＝．∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)． （2）設(shè)經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)的拋物線的解析式為y＝ax 2＋bx＋c∵拋物線過原點(diǎn)，∴c＝0．∴ 解得∴所求拋物線的解析式為y＝x 2＋x． （3）存在． 如圖2，連接AB，交拋物線的對(duì)稱軸于點(diǎn)C，連接OC．∵OB的長(zhǎng)為定值，∴要使△BOC的周長(zhǎng)最小，必須BC＋OC的長(zhǎng)最小．∵點(diǎn)A與點(diǎn)O關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，∴OC＝AC．∴BC＋OC＝BC＋AC＝AB．由“兩點(diǎn)之間，線段最短”的原理可知：此時(shí)BC＋OC最小，點(diǎn)C的位置即為所求．設(shè)直線AB的解析式為y＝kx＋m，將A(－2，0)，B(1，)代入，得AxyBO圖2C 解得∴直線AB的解析式為y＝x＋．拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝＝－1，即x＝－1．將x＝－1代入直線AB的解析式，得y＝(－1)＋＝．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(－1，)． （4）△PAB有最大面積． AxyBO圖3DP如圖3，過點(diǎn)P作y軸的平行線交AB于點(diǎn)D．∵S△PAB ＝S△PAD＋S△PBD＝(yD－yP)(xB－xA)＝[(x＋)－(x 2＋x)](1＋2)＝－x 2－x＋＝－(x＋)2＋∴當(dāng)x＝－時(shí)，△PAB的面積有最大值，最大值為． 此時(shí)yP＝(－)2＋(－)＝－．∴此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo)為(－，－)．：（1）將A(1，0)，B(－3，0)代入y＝－x 2＋bx＋c得 解得 ∴該拋物線的解析式為y＝－x 2－2x＋3．（2）存在．該拋物線的對(duì)稱軸為x＝－＝－1∵拋物線交x軸于A、B兩點(diǎn)，∴A、B兩點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸x＝－1對(duì)稱．由軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，直線BC與x＝－1的交點(diǎn)即為所求的Q點(diǎn)，此時(shí)△QAC的周長(zhǎng)最小，如圖1．OBACyxQ圖1將x＝0代入y＝－x 2－2x＋3，得y＝3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，3)．設(shè)直線BC的解析式為y＝kx＋b1，將B(－3，0)，C(0，3)代入，得 解得∴直線BC的解析式為y＝x＋3． 聯(lián)立 解得∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(－1，2)． （3）存在． 設(shè)P點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，－x 2－2x＋3）（－3＜x＜0），如圖2．∵S△PBC ＝S四邊形PBOC －S△BOC ＝S四邊形PBOC －33＝S四邊形PBOC －當(dāng)S四邊形PBOC有最大值時(shí)，S△PBC就最大．∵S四邊形PBOC ＝SRt△PBE＋S直角梯形PEOC OBACyxQ圖2EP＝BEBC＝MN(OP＋BC)＝2(－m 2＋3m＋4)＝－2(m－)2＋． ∵－2＜0∴當(dāng)m＝時(shí)，S有最大值．： （1）∵△＝a 2－4(a－2)＝(a－2)2＋4＞0∴不論a為何實(shí)數(shù)，此函數(shù)圖象與x軸總有兩個(gè)交點(diǎn)．（2）設(shè)xx2是y＝x 2＋ax＋a－2＝0的兩個(gè)根則x1＋x2＝－a，x1x2＝a－2．∵此函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，∴(x1－x2)2＝13．即(x1＋x2)2－4x1x2＝13．∴(－a)2－4(a－2)＝13，整理得(a＋1)(a－5)＝0，解得a＝－1或a＝5．∵a ＜0，∴a＝－1．∴此二次函數(shù)的解析式為y＝x 2－x－3．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（xp，yp）∵函數(shù)圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的距離為，∴AB＝．∴S△PAB＝AB| y |＝| OA|CE＝(12－2t)6＝36－6t．即y＝36－6t．此時(shí)y隨t的增大而減?。十?dāng)t＝秒時(shí)，y有最大值為36－6＝16厘米2．綜合①②，得y與t的函數(shù)關(guān)系式如下：（≤ t ≤）（0≤ t ＜）y＝．．．．．．．．．．．．∵＞16，∴當(dāng)t＝3秒時(shí)，y有最大值為厘米2． 12解：（1）由題意得． 解得．∴所求拋物線的解析式為y＝－x 2－2x＋3； EFOCABxy（2）存在符合條件的點(diǎn)P，其坐標(biāo)為P(－1，)或P(－1，)或P(－1，6)或P(－1，)； （3）解法一：過點(diǎn)E作EF⊥x軸于點(diǎn)F，設(shè)E(m，－m 2－2m＋3)（－3＜ a ＜0）則EF＝－m 2－2m＋3，BF＝m＋3，OF＝－m． ∴S四邊形
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