小學奧數(shù)之排列組合問題-wenkub
2023-04-08 03:08:42 本頁面
【正文】 的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看：⑴ 把3排在最高位上，其余4個數(shù)可以任意放到其余4個數(shù)位上，是4個元素全排列的問題，有(種)放法，對應24個不同的五位數(shù)；⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個數(shù)字可以任意放到其余3個數(shù)位上，有種選擇．由乘法原理，可以組成(個)不同的五位數(shù)。【例 6】 一種電子表在6時24分30秒時的顯示為6:24：30，那么從8時到9時這段時間里，此表的5個數(shù)字都不相同的時刻一共有多少個?【解析】 設A:BC是滿足題意的時刻，有A為8，B、D應從0，1，2，3，4，5這6個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應從剩下的7個數(shù)字中選擇兩個不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有=1260種選法。 所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個能被11整除的數(shù)(包含原來的)?！眷柟獭?五位同學扮成奧運會吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。因為貝貝和妮妮可以交換位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有242=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有12048=72（種）?！眷柟獭?現(xiàn)有男同學3人，女同學4人(女同學中有一人叫王紅)，從中選出男女同學各2人，分別參加數(shù)學、英語、音樂、美術四個興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術小組的是女同學的選法有多少種?(3)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學小組的不是女同學王紅，且參加美術小組的是女同學的選法有多少種?【解析】 （1）從3個男同學中選出2人，有=3種選法。（2）在四個人確定的情況下，參加美術小組的是女同學時有2321=12種選法。（4）考慮參加數(shù)學小組的是王紅且參加美術小組的是女同學時的選法，此時的問題相當于從3個男同學中選出2人參加兩個不同的小組，從3個女同學中選出1人參加美術小組時的選法。(2007年“迎春杯”高年級組決賽)【解析】 這是一道組合計數(shù)問題．由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進行統(tǒng)計，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個或個數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，中恰有一個數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)；⑵，中有兩個數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個)．符合題意的五位數(shù)共有(個)．(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，由，中的某個數(shù)字組成的五位數(shù)共有個，所以符合題意的五位數(shù)共有(個)。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對應一種吃法,而9個間隙,每個間隙可以插人也可以不插入,且相互獨立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！眷柟獭?有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每兩顆之間共有9個空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個空中畫兩條豎線，一共有種方法．【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個成人和個兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，那么他們人乘坐這三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個兒童和個成人，個兒童有種選擇，個成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個人必定是個成人，有種選擇．其余的個成人與個兒童，①若兩個兒童在同一條船上，只能在船上，此時船上還必須有個成人，有種方法，所以此時有種方法；②若兩個兒童不在同一條船上，那么船上有個兒童和個成人，此時個兒童和個成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【例 18】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。⑶ 如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法；如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法．⑷ 分兩類討論：①若選外科主任，則其余人可任意選取，有種選取方法；②若不選外科主任，則必選內科主任，且剩余人不能全選內科醫(yī)生，用“去雜法”有種選取法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法?！纠?23】 由20個邊長為1的小正方形拼成一個長方形中有一格有“☆”圖中含有“☆”的所有長方形(含正方形)共有 個，它們的面積總和是 。 Ⅲ如果圓上有9個點，考慮A1所在的三角形．此時，其余的6個點可能分布在： ①A1所在三角形的一個邊所對的弧上； ②也可能三個點在一個邊所對應的弧上，另三個點在另一邊所對的弧上． 在表2中用“+”號表示它們分布在不同的邊所對的?。? 如果是情形①，則由Ⅱ，這六個點有三種連法； 如果是情形②，則由①，每三個點都只能有一種連法． 共有12種連法． Ⅳ最后考慮圓周上有12個點．同樣考慮A1所在三角形，剩下9個點的分布有三種可能： ①9個點都在同一段弧上： ②有6個點是在一段弧上，另三點在另一段弧上； ③每三個點在A1所在三角形的一條邊對應的弧上．得到表3．共有123+36+1＝55種．所以當圓周上有12個點時，滿足題意的連法有55種。練習3. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】 初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有
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