小學(xué)奧數(shù)之排列組合問題-wenkub
2023-04-08 03:08:42 本頁面
【正文】 的五位數(shù)？【解析】 可以分兩類來看：⑴ 把3排在最高位上，其余4個(gè)數(shù)可以任意放到其余4個(gè)數(shù)位上，是4個(gè)元素全排列的問題，有(種)放法，對(duì)應(yīng)24個(gè)不同的五位數(shù)；⑵ 把2，4，5放在最高位上，有3種選擇，百位上有除已確定的最高位數(shù)字和3之外的3個(gè)數(shù)字可以選擇，有3種選擇，其余的3個(gè)數(shù)字可以任意放到其余3個(gè)數(shù)位上，有種選擇．由乘法原理，可以組成(個(gè))不同的五位數(shù)。【例 6】 一種電子表在6時(shí)24分30秒時(shí)的顯示為6:24：30，那么從8時(shí)到9時(shí)這段時(shí)間里，此表的5個(gè)數(shù)字都不相同的時(shí)刻一共有多少個(gè)?【解析】 設(shè)A:BC是滿足題意的時(shí)刻，有A為8，B、D應(yīng)從0，1，2，3，4，5這6個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，而C、E應(yīng)從剩下的7個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)不同的數(shù)字，所以有種選法，所以共有=1260種選法。 所以，用均不為0的a、b、c、d、e、f最少可排出36+36=72個(gè)能被11整除的數(shù)(包含原來的)?！眷柟獭?五位同學(xué)扮成奧運(yùn)會(huì)吉祥物福娃貝貝、晶晶、歡歡、迎迎和妮妮，排成一排表演節(jié)目。因?yàn)樨愗惡湍菽菘梢越粨Q位置，所以貝貝和妮妮相鄰的排列方式有242=48(種)；貝貝和妮妮不相鄰的排列方式有12048=72（種）?！眷柟獭?現(xiàn)有男同學(xué)3人，女同學(xué)4人(女同學(xué)中有一人叫王紅)，從中選出男女同學(xué)各2人，分別參加數(shù)學(xué)、英語、音樂、美術(shù)四個(gè)興趣小組：(1)共有多少種選法?(2)其中參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?(3)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅的選法有多少種?(4)參加數(shù)學(xué)小組的不是女同學(xué)王紅，且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)的選法有多少種?【解析】 （1）從3個(gè)男同學(xué)中選出2人，有=3種選法。（2）在四個(gè)人確定的情況下，參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)有2321=12種選法。（4）考慮參加數(shù)學(xué)小組的是王紅且參加美術(shù)小組的是女同學(xué)時(shí)的選法，此時(shí)的問題相當(dāng)于從3個(gè)男同學(xué)中選出2人參加兩個(gè)不同的小組，從3個(gè)女同學(xué)中選出1人參加美術(shù)小組時(shí)的選法。(2007年“迎春杯”高年級(jí)組決賽)【解析】 這是一道組合計(jì)數(shù)問題．由于題目中僅要求，至少各出現(xiàn)一次，沒有確定，出現(xiàn)的具體次數(shù)，所以可以采取分類枚舉的方法進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，也可以從反面想，從由組成的五位數(shù)中，去掉僅有個(gè)或個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)即可．(法1)分兩類：⑴，中恰有一個(gè)數(shù)字出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))；⑵，中有兩個(gè)數(shù)字各出現(xiàn)次，這樣的數(shù)有(個(gè))．符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))．(法2)從反面想，由，組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，由，中的某個(gè)數(shù)字組成的五位數(shù)共有個(gè)，所以符合題意的五位數(shù)共有(個(gè))。我們記從左至右,第1部分是第1天吃的,第2部分是第2天吃的,…，如:○○○|○○○○○○○表示第一天吃了3粒,第二天吃了剩下的7粒： ○○○○ | ○○○| ○○○表示第一天吃了4粒,第二天吃了3粒,第三天吃了剩下的3粒．不難知曉,每一種插入方法對(duì)應(yīng)一種吃法,而9個(gè)間隙,每個(gè)間隙可以插人也可以不插入,且相互獨(dú)立，故共有29=512種不同的插入方法,即512種不同的吃法?！眷柟獭?有10粒糖，分三天吃完，每天至少吃一粒，共有多少種不同的吃法？【解析】 如圖：○○|○○○○|○○○○，將10粒糖如下圖所示排成一排，這樣每?jī)深w之間共有9個(gè)空，從頭開始吃，若相鄰兩塊糖是分在兩天吃的，就在其間畫一條豎線隔開表示之前的糖和之后的糖不是在同一天吃掉的，九個(gè)空中畫兩條豎線，一共有種方法．【例 17】 某池塘中有三只游船，船可乘坐人，船可乘坐人，船可乘坐人，今有個(gè)成人和個(gè)兒童要分乘這些游船，為安全起見，有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，那么他們?nèi)顺俗@三支游船的所有安全乘船方法共有多少種？【解析】 由于有兒童乘坐的游船上必須至少有個(gè)成人陪同，所以兒童不能乘坐船．⑴若這人都不乘坐船，則恰好坐滿兩船，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，即分別在兩船上，則船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，個(gè)兒童有種選擇，個(gè)成人有種選擇，所以有種方法．故人都不乘坐船有種安全方法；⑵若這人中有人乘坐船，這個(gè)人必定是個(gè)成人，有種選擇．其余的個(gè)成人與個(gè)兒童，①若兩個(gè)兒童在同一條船上，只能在船上，此時(shí)船上還必須有個(gè)成人，有種方法，所以此時(shí)有種方法；②若兩個(gè)兒童不在同一條船上，那么船上有個(gè)兒童和個(gè)成人，此時(shí)個(gè)兒童和個(gè)成人均有種選擇，所以此種情況下有種方法；故人中有人乘坐船有種安全方法．所以，共有種安全乘法．【例 18】 從名男生，名女生中選出人參加游泳比賽．在下列條件下，分別有多少種選法？⑴恰有名女生入選；⑵至少有兩名女生入選；⑶某兩名女生，某兩名男生必須入選；⑷某兩名女生，某兩名男生不能同時(shí)入選；⑸某兩名女生，某兩名男生最多入選兩人。⑶ 如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法；如果選名主任，則不是主任的名醫(yī)生要選人，有種選派方法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法．⑷ 分兩類討論：①若選外科主任，則其余人可任意選取，有種選取方法；②若不選外科主任，則必選內(nèi)科主任，且剩余人不能全選內(nèi)科醫(yī)生，用“去雜法”有種選取法．根據(jù)加法原理，一共有種選派方法?！纠?23】 由20個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)長(zhǎng)方形中有一格有“☆”圖中含有“☆”的所有長(zhǎng)方形(含正方形)共有 個(gè)，它們的面積總和是 。 Ⅲ如果圓上有9個(gè)點(diǎn)，考慮A1所在的三角形．此時(shí)，其余的6個(gè)點(diǎn)可能分布在： ①A1所在三角形的一個(gè)邊所對(duì)的弧上； ②也可能三個(gè)點(diǎn)在一個(gè)邊所對(duì)應(yīng)的弧上，另三個(gè)點(diǎn)在另一邊所對(duì)的弧上． 在表2中用“+”號(hào)表示它們分布在不同的邊所對(duì)的?。? 如果是情形①，則由Ⅱ，這六個(gè)點(diǎn)有三種連法； 如果是情形②，則由①，每三個(gè)點(diǎn)都只能有一種連法． 共有12種連法． Ⅳ最后考慮圓周上有12個(gè)點(diǎn)．同樣考慮A1所在三角形，剩下9個(gè)點(diǎn)的分布有三種可能： ①9個(gè)點(diǎn)都在同一段弧上： ②有6個(gè)點(diǎn)是在一段弧上，另三點(diǎn)在另一段弧上； ③每三個(gè)點(diǎn)在A1所在三角形的一條邊對(duì)應(yīng)的弧上．得到表3．共有123+36+1＝55種．所以當(dāng)圓周上有12個(gè)點(diǎn)時(shí)，滿足題意的連法有55種。練習(xí)3. 有10粒糖，每天至少吃一粒，吃完為止，共有多少種不同的吃法？【解析】 初看本題似乎覺得很好入手，比如可以按天數(shù)進(jìn)行分類枚舉：1天吃完的有1種方法，這天吃10塊；2天吃完的有
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