畢業(yè)論文--方程思想探究及其解題妙用-wenkub
2023-02-02 06:51:13 本頁面
【正文】 以它們的斜率互為相反數(shù)，即整理得：，所以直線的斜率為為定值②解法一：由①可知，所以直線方程為，整理得.設(shè)點(diǎn)在曲線段上，因?yàn)閮牲c(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為和所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)在和之間即所以，從而，點(diǎn)到直線的距離為當(dāng)時(shí)，又所以點(diǎn)在曲線段上，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是解法二：由①可知，若點(diǎn)在曲線段上，且點(diǎn)到直線的距離最大，則曲線在點(diǎn)處的切線設(shè)：，由方程組消去，得令解得代入方程組，解得所以點(diǎn)的坐標(biāo)是評析：從以上的解法我們發(fā)現(xiàn)，無論是第（1)問還是第（2）中的②，運(yùn)用設(shè)元解方程組的方法更有利于解答，可縮小運(yùn)算量，易理解.(2）方程思想在圓錐曲線上的應(yīng)用 例6.【2012高考真題浙江理21】橢圓C：(a＞b＞0)的離心率為，其左焦點(diǎn)到點(diǎn)P(2，1)的距離為．不過原點(diǎn)O的直線l與C相交于A，B兩點(diǎn)，且線段AB被直線OP平分．(Ⅰ)求橢圓C的方程；(Ⅱ) 求ABP的面積取最大時(shí)直線l的方程．【命題立意】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查解析幾何的基本思想方法和運(yùn)算求解能力。(2)把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題。(3)把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題然后討論方程(組)的問題,得到解之后再對解進(jìn)行解釋就可以了這一模式現(xiàn)在看來雖不能說是萬能,但在處理數(shù)學(xué)問題時(shí)確有廣泛的應(yīng)用其中,“把任何種類的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題”蘊(yùn)含了設(shè)未知數(shù)的思想,然后再“把任何種類的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程(組)問題”,因此這種數(shù)學(xué)思想可看成是方程的思想方法. 學(xué)生學(xué)習(xí)方程的意義在于：一是學(xué)習(xí)在生活中從錯(cuò)綜復(fù)雜的事情中將 最本質(zhì)的東西抽象出來,這個(gè)過程是非常難的,也很有訓(xùn)練的價(jià)值。解：(Ⅰ)由題：； (1)左焦點(diǎn)(﹣c，0)到點(diǎn)P(2，1)的距離為：． (2)由(1) (2)可解得：．∴所求橢圓C的方程為：．(Ⅱ)易得直線OP的方程：y＝x，設(shè)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．∵A，B在橢圓上，∴．設(shè)直線AB的方程為l：y＝﹣(m≠0)，代入橢圓：．顯然．∴﹣＜m＜且m≠0．由上又有：＝m，＝．∴|AB|＝||＝＝．∵點(diǎn)P(2，1)到直線l的距離表示為：．∴SABP＝d|AB|＝，當(dāng)＝，即m＝﹣3 或m＝0(舍去)時(shí)，(SABP)max＝．此時(shí)直線l的方程＝﹣ （3）利用參數(shù)方程思想解題 例7：與軸正向交于點(diǎn)，若這個(gè)橢圓上總存在點(diǎn)，使(為坐標(biāo)原點(diǎn))，求其離心率的取值范圍．分析：∵、為定點(diǎn)，為動點(diǎn)，可以點(diǎn)坐標(biāo)作為參數(shù)，把，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)坐標(biāo)的一個(gè)等量關(guān)系，再利用坐標(biāo)的范圍建立關(guān)于、的一個(gè)不等式，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的不等式．為減少參數(shù)，易考慮運(yùn)用橢圓參數(shù)方程．解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程是，則橢圓上的點(diǎn)，∵，∴，即，解得或，∵ ∴（舍去），又∴，∴，又，∴．說明：若已知橢圓離心率范圍，求證在橢圓上總存在點(diǎn)使．如何證明？當(dāng)題目的條件和問題轉(zhuǎn)化時(shí)，依然可用參數(shù)方程思想來解答，把結(jié)果逆推即可. 對于大多數(shù)的高考生而言，高考的最后一道壓軸題是最令人頭痛最令人費(fèi)解的，所以如何利用方程思想解函數(shù)方程，. 例8：已知函數(shù)，與軸的一個(gè)交點(diǎn)為（異于原點(diǎn)),與軸的交點(diǎn)為，在點(diǎn)處的切線為，在點(diǎn)處的切線為，//.(1) 求的值；(2) 已知實(shí)數(shù),求函數(shù)，的最小值；(3) 令，給定，對于兩個(gè)大于1的正數(shù)，存在實(shí)數(shù)滿足：，并且使得不等式 恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解:（1）圖象與軸異于原點(diǎn)的交點(diǎn)，的圖像與軸的交點(diǎn)由題意可得，即，所以（2）令，在時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，圖象的對稱軸，拋物線開口向上①當(dāng)即時(shí)， ②當(dāng)即時(shí)， ③當(dāng)即時(shí)，(3) ，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，0①當(dāng)，有，得，同理所以由的單調(diào)性知從而有，符合題設(shè)②當(dāng)時(shí)，由的單調(diào)性知，所以，與題設(shè)不符③當(dāng)時(shí)，同理可得得，與題設(shè)不符綜上所述可得：分析：此題知識點(diǎn)全面，首先要掌握基礎(chǔ)知識，對于函數(shù)中的方程，要分類討論充分利用不等式的性質(zhì)，對于復(fù)雜的在題目中反復(fù)用的未知數(shù)整體可用具體一個(gè)字母代替. 例9：已知，求的值.解析：首先觀察已知條件和所求式子，發(fā)現(xiàn)它們有一定的相似性，可設(shè)，那么，.那么函數(shù)就可以轉(zhuǎn)化為方程式，把所設(shè)代入三角函數(shù)式中得：，通過整理方程得：，故，其值都是等于1.看來，運(yùn)用方程思想，解題難度明顯降低了！函數(shù)方程的定義 、(1)代換法（或換元法）把函
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