初二數(shù)學(xué)上冊各章節(jié)知識(shí)點(diǎn)例題-wenkub
2023-01-29 12:38:13 本頁面
【正文】 圖7【解析】（1）在直角坐標(biāo)系內(nèi)作△ABC關(guān)于y軸的對(duì)稱圖形，可先確定關(guān)鍵點(diǎn)A、B、C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)ABC1的坐標(biāo)，描出這些點(diǎn)的坐標(biāo)，然后順次連結(jié)即可.（2）要作△ABC向右平移6個(gè)單位的后的△A2B2C2，首先要作出A、B、C三點(diǎn)向右平移6個(gè)單位的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，然后順次連接即可；（3）要觀察△A1B1C1和△A2B2C2是否關(guān)于某直線對(duì)稱，可連接A1A2，B1B2，C1C2，看它們的垂直平分線是否是同一條直線，如果是，則△A1B1C1和△A2B2C2就關(guān)于這條直線對(duì)稱，否則，不關(guān)于某條直線對(duì)稱.【解答】（1）如圖7所示,A1(0,4)，B1(2,2)，C1(1,1)。若DE、FG分別垂直平分AB、AC，△AEF的周長為10cm，求∠EAF的度數(shù)及BC的長. 圖3【解析】,根據(jù)已知可得EA=EB,FA=FC,這樣BC的長實(shí)際就是AE+EF+∠EAF的度數(shù),則只要求到∠BAE+∠CAF的度數(shù)即可解決問題.【解答】因?yàn)椤螧AC=120176。(直角三角形兩銳角互余).又△BEC≌△BED(已知)，∴∠CBE=∠DBE=30176。.【解答】當(dāng)∠A =30176。DE=AC∴∠B=∠BDE=45176。,AD是∠BAC的平分線,若DC=6,則D點(diǎn)到AB的距離是__6____ 【解析】如圖,過點(diǎn)D作DE⊥AB,垂足為E,則DE是D點(diǎn)到AB的距離,∵DC⊥AC,AD是∠BAC的平分線,∴DE=DC=6 C、能力提升 P在∠MON的角平分線上,PA⊥OM于A,PB⊥ON于B,若OA=6cm,OP=10cm,則PB=__8cm 【解析】在Rt△AOP中又∵角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等, ∴PB=PA=8cm 知識(shí)點(diǎn)三：角平分線的逆定理A、夯實(shí)基礎(chǔ) 如圖所示,已知PB⊥AB,PC⊥AC,且PB=PC,D是AP上一點(diǎn),則點(diǎn)D在_∠BAC__的角平分線上,同時(shí)又上在_∠BPC _的角平分線上【解析】PB=PC,PA=PA,∴Rt△ABP≌Rt△ACP,∴∠BPA=∠CPA, ∴點(diǎn)D在∠BPC的角平分線上 ∵∠BAP=∠CAP∴點(diǎn)D在∠BAC的角平分線上B、雙基固化 如圖所示,要在河流的南邊,公路左側(cè)的M區(qū)建一個(gè)工廠,要求工廠的位置到河流和公路的距離相等,并且到河流域公路交叉點(diǎn)A處的距離為1cm,(指圖上的距離),則圖中工廠的位置應(yīng)在______,理由是______ 【解析】將河流和公路看做兩條線,再利用“到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上”解答．【解答】河流與公路夾角的平分線上,并且到交叉點(diǎn)A的圖上距離為1cm；到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．C、能力提升 如圖,已知△ABC中,PE∥AB交BC于E,PF∥AC交BC于F,P是AD上一點(diǎn),且D點(diǎn)到PE的距離與到PF的距離相等.求證：AD平分∠BAC【解析】利用到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上解答． 先證明∠EPD=∠FPD,再證明∠BAD =∠CAD 證明：∵D到PE的距離與到PF的距離相等 ∴點(diǎn)D在∠EPF的平分線上 ∴∠EPD=∠FPD 又∵PE∥AB, ∴∠EPD=∠BAD 同理∠FPD=∠CAD ∴∠BAD =∠CAD, ∴AD平分∠BAC四、角平分線類問題常用思路（一）規(guī)律總結(jié)同學(xué)們在學(xué)完角平分線和全等三角形之后，就可以根據(jù)已知條件和結(jié)論再結(jié)合角的平分線的特性，通過添加輔助線構(gòu)造全等三角形往往是同學(xué)們尋找證題思路的一個(gè)難點(diǎn)，下面以一個(gè)例題的幾種不同證法來歸納如何利用角平分線構(gòu)成全等三角形的常見輔助線的作法．（二）例題精講考點(diǎn)一：利用“角平分線的對(duì)稱性”求解 考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解考點(diǎn)一：利用“角平分線的對(duì)稱性”求解 因?yàn)榻鞘禽S對(duì)稱圖形，角平分線是其對(duì)稱軸，因此，題中若有角平分線，一般可以利用其對(duì)稱性來構(gòu)成全等三角形．A、夯實(shí)基礎(chǔ)例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．BACDE【解析】可以看作將△ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法一、如圖，在BC上取BE=AB，連結(jié)DE，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBE，又BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴∠A=∠DBE，AD=DE，又∠A+∠C=1800，∠DEB+∠DEC=1800，∴∠C=∠DEC，DE=DC，則AD=DC．B、雙基固化例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．【解析】可以看作將△ABD沿角平分線BD折向BC而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法二、如圖，過A作BD的垂線分別交BC、BD于E、F，連結(jié)DE，由BD平分∠ABC，易得△ABF≌△EBF，則AB=BE，BD平分∠ABC，BD=BD，∴△ABD≌△EBD（SAS），∴AD=ED，∠BAD=∠DEB，又∠BAD+∠C=1800，∠BED+∠CED=1800，∴∠C=∠DEC，則DE=DC，∴AD=DC．C、能力提升例如圖，BC＞AB，BD平分∠ABC，且∠A+∠C=1800，求證：AD=DC．【解析】△CBD沿角平分線BD折向BA而構(gòu)成全等三角形的．【解答】證法三、如圖，延長BA至E，使BE=BC，連結(jié)DE， ∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=∠DBE，又BD=BD，∴△CBD≌△EBD（SAS），∴∠C=∠E，CD=DE，又∠BAD+∠C=1800，∠DAB+∠DAE=1800，∴∠E=∠DAE，DE=DA，則AD=DC．考點(diǎn)二：利用“角平分線的性質(zhì)”求解由于角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以根據(jù)這個(gè)性質(zhì)，可以過角平分線上一點(diǎn)向角的兩邊作垂線而構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形．A、夯實(shí)基礎(chǔ)例已知：如圖，在△ABC中，∠C=90176?！窘獯稹俊螩AB=∠DAB 或者∠CBA=∠DBA C、能力提升例9: 如圖，已知∠B=∠E，要使△ABC≌ △AED，需要添加的一個(gè)條件是_____ 。（HL）。知識(shí)點(diǎn)二：三角形全等的判定A、夯實(shí)基礎(chǔ)例4: 如圖，AE=CF，∠AFD=∠CEB，DF=BE，△AFD與△ CEB全等嗎？為什么？【解答】△AFD≌△ CEB理由：∵AE=CF∴AE－FE=CF－EF，即AF=CE在△AFD和△ CEB中AF=CE∠AFD=∠CEB，DF=BE ∴△AFD≌△CEB（SAS） B、雙基固化例5: （2010年福州）如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，BC=EF，AB∥DE，∠A=∠D。=85176?！螩＝25176。則∠OAD＝_____度. 【解析】此題可根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等得∵ △OAD≌△OBC∴ ∠OAD=∠OBC=180176。.【解答】85176。 求證：△ABC≌△DEF?！窘獯稹俊?ABC=∠DCB或AC=DB或∠A=∠D=90176。【解析】已知兩角：（1）找夾邊：AB=AE（ASA）；（2）找一角的對(duì)邊：AC=AD或DE=BC(AAS)。,AC=BC,AD平分∠：AC+CD=AB【解析】要想證明AC+CD=AB，可以在AB上截取AE=AC，然后證明BE= CD即可．【解答】證明：在AB上截取AE=AC，∵AD平分∠CAB，∴∠CAD= ∠DAB，AD=AD，∴△CAD≌△EAD，∴∠DEA=90176?！郉E=BE，∴AC+CD=AE+DE=AE+BE=AB，即AC+CD=AB.B、雙基固化例如圖1，在△ABC中，∠=AC.【解析】根據(jù)已知可知AD是∠BAC的平分線，可通過點(diǎn)D作∠BAC的垂線，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，結(jié)合三角形的面積進(jìn)行證明.【解答】證明：過點(diǎn)D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F.∵DA為∠BAC的平分線，∴DE=DF.又∵AD平分BC，∴BD=CD，∴S△ABD=S△ACD，又S△ABD=ABDF，∴AB=AC.C、能力提升例已知：如圖，在Rt△ABC中，∠C=90176。時(shí)，點(diǎn)D恰為AB的中點(diǎn).∵∠A=30176。且∠EDB=∠C=90176。所以∠B+∠C=60176。（2）如圖7所示,A2(6,4)，B2(4,2)，C2(5,1)。所以∠B=∠C=(1801
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