柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系_畢業(yè)論文-wenkub
2022-09-09 13:03:20 本頁(yè)面
【正文】 ???? ? ?不等式成立。 應(yīng)用 用于證明不等式 例 5. 證明： 2 2 21 2 1 2nna a a a a ann? ? ? ? ? ??… … 證明： 取 12( ) , (1 , 1 , , 1 )na a a??? ? ? ? ?… …由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2 2 2 2 21 2 1 2( ) | ( , ) | | | | | = ( 1 + 1 + + 1 ) ( + + + )nna a a a a a? ? ? ?? ? ? ? ?… … … 整理得： 2 2 21 2 1 2nna a a a a ann? ? ? ? ? ??… … 用于求最值 例 6. 已知 2 2 21 , ( , , ) 2 3x y z f x y z x y z? ? ? ? ? ?求 的最小值。 證法 2 通過(guò)利用實(shí)向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來(lái)證明 如果 0 , , 0 , , 0? ? ? ? ?? ? ?故結(jié)論成立。 用于證明不等式 例 1． 已知 12, na a a… ， 都是正數(shù)，求證： 212 121 1 1( ) ( ) .n na a a na a a? ? ? ? ? ? ?… … 證明： 根據(jù)柯西 — 施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組： 12, , , ,na a a… 121 1 1, , , ,na a a… 利用柯西施瓦茨不等式有 2 2 21 1 111( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ,n n niii i iiiaaaa? ? ???? ? ? 即 21 1 11( 1 ) ( ) ( ) .n n nii i i ia a? ? ??? ? ? 所以 212 121 1 1( ) ( ) .n na a a na a a? ? ? ? ? ? ?… … 用于求最值 例 2 1,x y z? ? ? 求 2 2 23x y z??的最小值 . 解： 根據(jù)柯西 — 施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組： 2 2 2,( 3 ) ,x y z 和 2 2 212 ,( ) ,13? 則有 2 2 2 2 2 2 21[ ( 3 ) ] [ 2 ( ) 1 ] ( 2 ) 1 ,3x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 21 6 3( 3 ) 1 33 1 6x y z x y z? ? ? ? ? ? ? 4 所以 2 2 23x y z??的最小值 316 . 用于解方程組 例 3. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程組2 2 2293 4 6229234x y zx y z? ? ? ? ????? ? ? ??? 解： 由柯西施瓦茨不等式知 2 2 2 2 2 2 2 2 246( 2 3 ) ( 9 8 12 ) [ ( 2 ) ( 3 ) ] [ ( 3 ) ( ) ( ) ]23x y z x y z ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2229( 3 4 6 ) ( )2x y z? ? ? ? 所以 222 2 229 ( 3 4 6 ) ( 29 / 2) 292 3 .4 9 8 12 29 4x y zx y z ? ? ?? ? ? ? ? ???當(dāng)且僅當(dāng)233 2 2 2 3x y z??? ?時(shí)等號(hào)成立，并將其與 293 4 6 2x y z? ? ? ?聯(lián)立解方程組可得：3211xyz? ??? ???? ??? 用于解三角形相關(guān)問(wèn)題 例 4. 設(shè) ,abc分別為三角形 三邊，其對(duì)應(yīng)的高分別為 , , ,a b ch h h r 為三角形外切圓半徑，且滿足 9r? a b ch h h??，試確定三角形的形狀 . 解： 設(shè)三角形的面積為 S ，則 2 , 2 ( ) ,a b cS ah bh c h S r a b c? ? ? ? ? ? 故 9r? a b ch h h?? 1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( ) 9S r a b c ra b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) abc??時(shí)成立，因此，此三角形為等邊三角形。 關(guān)鍵詞 ： 柯西施瓦茨不等式 應(yīng)用 內(nèi)在聯(lián)系 Abstract: In this paper, the four different forms of CauchySchwarzinequality are firstly introduced. The four different forms include real number field, n dimensional Euclidean space, mathematical analysis, probability space. Then its applications are showed, which include proving the inequality, finding a solution to the maximum value and minimum value of a function or equations, solving triangle, studying the correlation coefficient on the probability theory, determining the existence of extreme value. In addition, this paper also gives the internal relations of the four different forms of CauchySchwarzinequality. Keywords: CauchySchwarzinequality application internalrelations 2 柯西 施瓦茨 不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西 (Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的 “ 流數(shù) ” 問(wèn)題時(shí)得到的。 本 學(xué)位論文屬于 保密 □ ，在 _____年解密后適用本授權(quán)書(shū)。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi) 容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。本人完全意識(shí)到本聲明的法律后果由本人承擔(dān)。 不保密 □。 數(shù)學(xué)上，柯西 — 施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式 或柯西 —布尼亞科夫斯基 — 施瓦茨不等式， 因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 5 維歐氏空間中的 CauchySchwarz不等式 定理 [1] 在 n 維歐氏空間中，對(duì)任意向量 ,??有 2, , , ,? ? ? ? ? ?? 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí)成立。 若 0.?? 由內(nèi)積的正定性知 , 0.??? 令 , ,??? ? ?????仍由內(nèi)積的正定性知，, 0,??? 且等號(hào)只在 0?? 時(shí)成立。 解： 構(gòu)造向量 11( , , 1 ) , ( 2 , 3 , )23 x y z???? 可得： 2 2 21 1 1 1| | 1 , | | 2 32 3 6 x y z??? ? ? ? ? ? ? 11( , ) ( 2 ) ( 3 ) 1 123x y z x y z?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得： 2 2 2111 ( 1 ) ( 2 3 )23 x y z? ? ? ? ? ? 則 2 2 2 11( , , ) 2 3 6f x y z x y z? ? ? ? 即 2 2 2( , , ) 2 3f x y z x y z? ? ?的最小值為 116 . 7 用于證明三維空間中點(diǎn)到面的距離公式 例 7. 已知 0 0 0( , , )P x y z 為三維空間中的一點(diǎn)，平面 : 0 ,A x B y C z D? ? ? ? ?求點(diǎn)P ?到 平 面 的 距 離 . 解： 設(shè) ( , , )M x y z 為平面 ? 上 的 任 意 一 點(diǎn) ， 則 2 2 20 0 0| | ( ) ( ) ( ) ,P M x x y y z z? ? ? ? ? ? 又因?yàn)橛煽挛魇┩叽牟坏仁接? 2 2 2 2 2 2 20 0 0 0 0 0[ ( ) ( ) ( ) ] ( ) [ ( ) ( ) ( ) ]x x y y z z A B C A x x B y
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