【正文】 ??? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ???? ? ? ? ? ?????? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ????即121 2 1 2...121 2 1 212... ... nnn nnnna a aa a a ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ?? ??? ? ??? 由 定理 1 知 ,當(dāng)且僅當(dāng) 12 na a a? ? ? 時(shí) 上 式 等 號(hào) 成 立 .推 論 1 得 證 推 論 2 設(shè) ia ＞ 0， i? ＞ 0， i=1,2,?, n,且 12 n q? ? ?? ? ? ?,則 有12121212......nqn qnnqa a aa a a??????? ??? ? ?????當(dāng)且僅當(dāng) 1212...nna a a???? ? ? 等號(hào)成立； ? ?12 1 1 2 212 ...... n qnnn qa a aa a a q??? ? ? ?? ? ?? 當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 2 2 ... nna a a? ? ?? ? ?等號(hào)成立 . 注 2：當(dāng) q=1時(shí)，則有121212121......nnnna a aa a a??? ????? ? ?當(dāng)且僅當(dāng) 1212...nna a a???? ? ?等號(hào)成立 121 2 1 1 2 2. . . . . .nn n na a a a a a??? ? ? ?? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) 1 1 2 2 ... nna a a?? ? ?等號(hào)成立 . 例 1 試 證 對(duì) 任 意 正 數(shù) a， b， c,d， 有 11a b a b c daab b c d? ? ? ?? ? ? ?? ? ?? ? ? ???? ? ? ? 畢業(yè)論文 證 明 在 (4)中 令 n＝ 3,得? ? ? ? ? ?1 2 3331 1 2 2 1 2 31 1 2 2 3 31 2 31 1 1a a aa a a? ? ???? ? ? ? ? ? ?? ? ?????????? ?????? 令 1 c?? 1 1a c?, 2 ab? ??, 2 1a b?, 3 d?? , 3 1a d? 得? ?1 1 111 a b c da b c a b d c a b dabcda c a b d ac a b db c b d c b d c b d ? ? ?? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 例 2 設(shè) n 為 自 然 數(shù) ,n≥ 2, 試 證 ? ? ? ?11222 3 41 2 12 3 4 . . .23n n n nnnn n????? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 證 明 由 (5)得 1212 ...12121 2 1 2...... ...nnnna a a aaa ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ??? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 取 i? ＝ i， ia ＝ 1 ， i＝ 1， 2， ? ， n,由 (6)得? ?11 2 3 1 2 3 . . .1 2 2 2 2 2 2 2 22 3 4 1 2 3 1 2 3 . . . 2 12 3 4 . . . . . .1 2 3 1 2 3 . . . 3nnnnn n n nn nn?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ???? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 又取 i? ＝ i， ia ＝ 1 ， i＝ 1， 2， ? ， n,由 (6)得? ?11 2 3 1 2 3 . . . 21 1 1 1 2...1 2 3 1 2 3 . . . 1nnnnnn n n?? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 從而有 ? ?122 3 4 12 3 4 ... 2 nnn nn ????? ? ? ???? 2均值不等式的應(yīng)用 ：待定系數(shù)法 不等式是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容 , 均值不等式是不等式進(jìn)行變形的一個(gè)重要依據(jù) , 在應(yīng)用時(shí)不僅要牢記三個(gè)條件“正、定、等” , 而且要善于根據(jù)均值不等式的結(jié)構(gòu)特征 ,創(chuàng)設(shè)應(yīng)用均值不等式的條件 ,利用待定系數(shù)法湊定值是常用的解題技巧 , 本文舉例說(shuō)明 . 例 1 已知 a 0 , b 0 ,且 a + b = 1 ,求 1ab ab? 的最小值 . 解 設(shè) m 0 ,則由題設(shè)及均值不 等式可知 : ? ? ? ?11 1 2 1a b m a b m a b m m a ba b a b??? ? ? ? ? ? ? ????? (1) 畢業(yè)論文 (1) 式當(dāng)且僅當(dāng) 1mab ab? ,即 1abm?時(shí)取等號(hào) .又 122ab ab??? ,即 0 14ab?? ,亦即 0 14ab?? ? (2) 顯然 (1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是 112{ab mab??? 解 之得 m = 16. 代入 (1) 得 : ? ? ? ?1 1 1 72 1 6 1 1 6 8 1 5 8 1 5 ( )44a b a b a bab? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?. 故當(dāng)且僅當(dāng) 12ab?? 時(shí) , 1ab ab? 取到最小值 174 . 例 2 若 a 11,22ab?? ?? ,且 a + b = 1. 求證 : 2 1 2 1 2 2ab? ? ? ? 證明 設(shè) m 0 ,則 1 2 12 1 222a a m am? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?.由均值不等式得1()1222mama ????? ? ????? . ∴ 12 1 2 22122maa m amm????? ? ? ? ? ????? (1)其中當(dāng)且僅當(dāng) 12ma?? 時(shí)取等號(hào) . 同理可得 : 12 221 2mbb m ??? ? ?(2)其中當(dāng)且僅當(dāng) 12mb?? 時(shí)取等號(hào) . 顯然 (1) , (2) 同時(shí)取等號(hào)的充要條件是 1212{mamb???? .由于 a + b = 1 , 故可解得121{abm??? 將 m = 1 代入 (1) , (2) ,并將兩式相加得 畢業(yè)論文 111 ( ) 1 ( )222 1 2 1 2 2 222abab??? ? ? ???? ? ? ? ? ? ???即 2 1 2 1 2 2ab? ? ? ? 運(yùn)用均值不等式解題的主要技巧 利用均值不等式解題的關(guān)鍵是湊“ 定和”和“定積”，此時(shí)往往需要采用“ 拆項(xiàng)、補(bǔ)項(xiàng)、平衡系數(shù)”等變形技巧找到定值，再利用均值不等式來(lái)求解，使復(fù)雜問題簡(jiǎn)單化，收到事半功倍的效果 ! 拆項(xiàng) 例 1（原人教版課本習(xí)題） 已知 n0, 求證：24 3n n?? 證明 ：因?yàn)?n0，所以 32 2 24 4 4332 2 2 2n n n nn n n n? ? ? ? ? ? ? ? 當(dāng)且僅當(dāng) n=2 時(shí)等號(hào)成立 ! 拆冪 例 2 (1993年全國(guó)高考題） 如果圓柱軸截面的周長(zhǎng) l 為定值，那么圓柱體積的最大值（） A． 36l ??????? B. 33l ??????? C. 34l ??????? D. 3144l ??????? 解 設(shè)圓柱底面半徑為 r，高為 h，則 2h+4r= l ，即 2 2lhr?? 所以 33236r r h lV r h r r h? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?，故選 A. 升冪 例 2 設(shè) 0,2x ????????，求 2sin cosy x x??的最大值 . 解 因?yàn)?0,2x ????????，所以 2sin cosy x x??≥ 0，所以32 2 22 4 2 2 2 211s i n s i n c o s1 1 422s i n c o s 4 s i n s i n c o s 42 2 3 2 7x x xy x x x x x????????? ? ? ? ? ? ???????畢業(yè)論文 所以 239y? 當(dāng)且僅當(dāng) 221 sin cos2 xx? 即 tanx= 2 時(shí)等號(hào)成立，故max 239y ?. 整體代換 例 4 已知 ,x y R?? ，且 x+2y=1，求證： 11 3 2 2xy? ? ? 證明 ：因?yàn)?,x y R?? ， x+2y=1，所以? ?1 1 1 1 2 22 3 3 2 3 2 2y x y xxyx y x y x y x y??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????. 當(dāng)且僅當(dāng) 2yxxy? ，即 21x??， 21 2y?? 時(shí)等號(hào)成立 . 平衡系數(shù) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 33 2 1 8 5110 .5 3 .2 2 3 2 1 8 5 1 .81 5 1 5 3x x xy x x x x x x ? ? ? ???? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? 分 離取倒數(shù) 解 令 2tx??，則 ? ?2 20x t t? ? ? ， ? ?2 021tytt??? 當(dāng) t=0時(shí)， y=0。 例 12:若 a + b + c = 1,且 a, b, c∈ R? ,求 2 2 2 2 2 2a b b c c a? ? ? ? ?的最小值。下面舉幾個(gè)例子予以說(shuō)明 : 例 10:已知 a≥ 0, b≥ 0, a + b = 1,求代數(shù)式 2 1 2 1ab? ? ?的最大值 解 :由②得? ? ? ? ? ?2 1 2 1 2 2 1 2 1 4 1 4 1 1 2 2a b a b a b? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?。 解 ： 222 2 23 33 3 32 2 2 2 2xyx y x y x y x yx y x x x ??? ? ? ? ? ? ? ? ????? 當(dāng)且僅當(dāng) 22xy x? ,即 xy 2? 時(shí) ,上式取等號(hào)。 解 :設(shè)直線 L的方程為 )2(1 ??? xky , L 與 x 軸交點(diǎn)為 )0,(a , L 與 y 軸交點(diǎn)為 ),0( b ,其中 0,0,0 ??? kba .則 12a k?? ， , kb 21?? 于是 ? ? ? ?1 1 1 1 1 1 1 1( 2 ) ( 1 2 ) 4 ( 4 ) 2 4 2 4 42 2 2 2ABCS a b k k k kk k k k??? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?????? ? ? ? ? ??? 當(dāng)且僅當(dāng) 1k? = k4 ,即 k = 12 時(shí) ,三角形 AOB 的面積的最小值為 4. 故 L的方程為 211 ???y )2( ?x 拓展均值不等式及其相關(guān)結(jié)論 . 1 均值 不等式的拓展 以上所談均值不等式 ,都是針對(duì)兩個(gè)正數(shù)而言 ,推廣到任意的 n個(gè)正數(shù)?ai 2,1( ?? )n 也有均值不等式 11 11n n na a a a a an? ? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)11 na a a? ? ? 時(shí)取等號(hào) ,在中學(xué)教材中 ,大都是用兩個(gè)正數(shù)的均值不等式 ,有時(shí)也用三個(gè)正數(shù)的均值不等式 ,其不等式形式為 :已知 cba, 為正數(shù) ,則畢業(yè)論文 33abc abc?? ? ,該式的證明在高二教材第 24頁(yè)有說(shuō)明 ,其應(yīng)用條件仍與兩個(gè)正數(shù)的均值不等式的三個(gè)條件相同。下面舉出一些實(shí)例： 例 1:已知 1,0,0 ???? baba ,求代數(shù)式 11