柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系_畢業(yè)論文-文庫(kù)吧
2025-07-26 13:03 本頁(yè)面
【正文】 aper also gives the internal relations of the four different forms of CauchySchwarzinequality. Keywords: CauchySchwarzinequality application internalrelations 2 柯西 施瓦茨 不等式是由大數(shù)學(xué)家柯西 (Cauchy)在研究數(shù)學(xué)分析中的 “ 流數(shù) ” 問(wèn)題時(shí)得到的。 數(shù)學(xué)上，柯西 — 施瓦茨不等式，又稱施瓦茨不等式 或柯西 —布尼亞科夫斯基 — 施瓦茨不等式， 因?yàn)檎呛髢晌粩?shù)學(xué)家彼此獨(dú)立地在積分學(xué)中推而廣之，才將這一不等式應(yīng)用到近乎完善的地步。 柯西施瓦茨不等式 是一條很多場(chǎng)合都用得上的不等式，例如 證明不等式、求函數(shù)最值、 線性代數(shù)的矢量， 研究三角形的相關(guān)問(wèn)題， 數(shù)學(xué)分析的無(wú)窮級(jí)數(shù)和乘積的積分，和概率論的方差 ，求方程系數(shù)，判斷極值的存在性 。 實(shí)數(shù)域中的 CauchySchwarz 不等式 定理 設(shè) , ( 1, 2 ,iia b R i?? … ， n） ，則 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ?當(dāng)且僅當(dāng)1212 =nnbbba a a??… 時(shí)，不等式等號(hào)成立 . 證明：通過(guò)構(gòu)造關(guān)于 x 的二次函數(shù)來(lái)證明 設(shè) 2 2 2 21 1 1 1( ) ( ) ( ) +2 ( ) .n n n ni i i i i ii i i if x a x b a x a b x b? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? 若 21 0,nii a? ??即 12 0na a a? ? ?… = 時(shí)，顯然不等式成立 . 若 21 0nii a? ??時(shí)，則有 2 2 21 1 2 2( ) ( ) ( ) ( ) 0nnf x a x b a x b a x b? ? ? ? ? ? ? ?…且 21 0,nii a? ??由于 ( ) 0fx? 成立，所以 2 2 21 1 1[ 2 ( ) ] 4 ( ) ( ) 0 .n n ni i i ii i ia b a b? ? ?? ? ? ?? ? ?且當(dāng)且僅當(dāng)1212 =nnbbba a a??… 時(shí)，不等式等號(hào)成立 . 故 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ? 3 應(yīng)用 在中學(xué)數(shù)學(xué)和競(jìng)賽數(shù)學(xué)中常常巧妙地應(yīng)用柯西 — 施瓦茨不等式（即CauchySchwarz 不等式 ）將許多繁瑣復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，比如常常用于求證不等式、最值、解方程組和解三角形的相關(guān)問(wèn)題，而運(yùn)用柯西施瓦茨不等式的關(guān)鍵在于根據(jù)問(wèn)題的要求并按照其形式，巧妙地構(gòu)造兩組數(shù)。 用于證明不等式 例 1． 已知 12, na a a… ， 都是正數(shù)，求證： 212 121 1 1( ) ( ) .n na a a na a a? ? ? ? ? ? ?… … 證明： 根據(jù)柯西 — 施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組： 12, , , ,na a a… 121 1 1, , , ,na a a… 利用柯西施瓦茨不等式有 2 2 21 1 111( ) [ ( ) ] [ ( ) ] ,n n niii i iiiaaaa? ? ???? ? ? 即 21 1 11( 1 ) ( ) ( ) .n n nii i i ia a? ? ??? ? ? 所以 212 121 1 1( ) ( ) .n na a a na a a? ? ? ? ? ? ?… … 用于求最值 例 2 1,x y z? ? ? 求 2 2 23x y z??的最小值 . 解： 根據(jù)柯西 — 施瓦茨不等式的形式構(gòu)造兩個(gè)數(shù)組： 2 2 2,( 3 ) ,x y z 和 2 2 212 ,( ) ,13? 則有 2 2 2 2 2 2 21[ ( 3 ) ] [ 2 ( ) 1 ] ( 2 ) 1 ,3x y z x y z? ? ? ? ? ? ? ? ? 即 2 2 2 2 2 21 6 3( 3 ) 1 33 1 6x y z x y z? ? ? ? ? ? ? 4 所以 2 2 23x y z??的最小值 316 . 用于解方程組 例 3. 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)解方程組2 2 2293 4 6229234x y zx y z? ? ? ? ????? ? ? ??? 解： 由柯西施瓦茨不等式知 2 2 2 2 2 2 2 2 246( 2 3 ) ( 9 8 12 ) [ ( 2 ) ( 3 ) ] [ ( 3 ) ( ) ( ) ]23x y z x y z ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 2229( 3 4 6 ) ( )2x y z? ? ? ? 所以 222 2 229 ( 3 4 6 ) ( 29 / 2) 292 3 .4 9 8 12 29 4x y zx y z ? ? ?? ? ? ? ? ???當(dāng)且僅當(dāng)233 2 2 2 3x y z??? ?時(shí)等號(hào)成立，并將其與 293 4 6 2x y z? ? ? ?聯(lián)立解方程組可得：3211xyz? ??? ???? ??? 用于解三角形相關(guān)問(wèn)題 例 4. 設(shè) ,abc分別為三角形 三邊，其對(duì)應(yīng)的高分別為 , , ,a b ch h h r 為三角形外切圓半徑，且滿足 9r? a b ch h h??，試確定三角形的形狀 . 解： 設(shè)三角形的面積為 S ，則 2 , 2 ( ) ,a b cS ah bh c h S r a b c? ? ? ? ? ? 故 9r? a b ch h h?? 1 1 1 1 1 12 ( ) ( ) ( ) 9S r a b c ra b c a b c? ? ? ? ? ? ? ? ? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) abc??時(shí)成立，因此，此三角形為等邊三角形。 5 維歐氏空間中的 CauchySchwarz不等式 定理 [1] 在 n 維歐氏空間中，對(duì)任意向量 ,??有 2, , , ,? ? ? ? ? ?? 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí)成立。 證明：證法 1 通 過(guò)構(gòu)造關(guān)于 x 的二次函數(shù)來(lái)證明 設(shè) ( ) ,f x x x? ? ? ?? ? ? 由 實(shí) 向 量 的 內(nèi) 積 的 雙 線 性 ， 對(duì) 稱 性 和 正 定 性 可 知2( ) , , 2 , , 0 .f x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? 當(dāng) 0?? 時(shí)， ,0??? ，不等式成立。 當(dāng) 0?? 時(shí)，由于 ( ) 0fx? 成立，則 22 , 4 , , 0 ,? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ??? 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) k??? 時(shí)成立，即 2, , , .? ? ? ? ? ?? 不等式得證。 證法 2 通過(guò)利用實(shí)向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來(lái)證明 如果 0 , , 0 , , 0? ? ? ? ?? ? ?故結(jié)論成立。 若 0.?? 由內(nèi)積的正定性知 , 0.??? 令 , ,??? ? ?????仍由內(nèi)積的正定性知，, 0,??? 且等號(hào)只在 0?? 時(shí)成立。把 ? 的表達(dá)式代入，利用內(nèi)積的雙線性計(jì)算得 ,0,? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? , , , , , , , ,? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ,.,? ? ? ??? ???? 由于 , 0.??? 且由內(nèi)積的對(duì)稱性知 , , ,? ? ? ?? 故2, 0 , , ,? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?，其等號(hào)只在 0?? 時(shí)成立，即 6 ,??????? 時(shí)成立，不等式獲證。 注： 如果把此不等式中的內(nèi)積用坐標(biāo)表達(dá)出來(lái)，就是下述不等式：2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ? ? ? ? ?… … …它也被稱為 柯西 — 布尼亞可夫斯基不等式。 應(yīng)用 用于證明不等式 例 5. 證明： 2 2 21 2 1 2nna a a a a a
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