【正文】 na b a b a b a a a b b b? ? ? ?? ? ? ? ? ? 當(dāng) 定 義 內(nèi) 積 ， ， 其 中2 2 2 2 2 2 2 21 1 2 2 1 2 1 2, , , ( .. . ) ( .. . ) ( .. . ) ,n n n na b a b a b a a a b b b? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?則即為柯西施瓦茨不等式在實(shí)數(shù)域和 n 維歐式空間的表現(xiàn)形式。 證明： 因?yàn)?2 ( ) 1niQ a bt ya?? ? ? ? ?? ? 212 ( )niQ a bt y tb?? ? ? ? ?? ? 求二階偏導(dǎo)得 2 2 22221 1 12 1 2 , 2 , 2n n ni i iQ Q Qn t ta b a b? ? ?? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? 因?yàn)?2 2 22 2 2 2 222 1 1 1 1( ) ( 2 ) 2 ( 2 ) 4 ( )n n n ni i i iQ Q Q t n t t n ta b a b? ? ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ??? ? ? ? 由柯西施瓦茨不等式得 2211( ) 0nniin t t?????? 所以 2 2 22 2 222 11( ) 4 ( ) 0nniiQ Q Q t n ta b a b??? ? ? ??? ? ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? 又 22 12 1 2 0 ,niQ na?? ? ? ?? ? 故 21( , ) ( )niQ a b a bt y?? ? ??存在極小值。 證法 2 通過(guò)利用實(shí)向量空間的內(nèi)積的基本性質(zhì)來(lái)證明 如果 0 , , 0 , , 0? ? ? ? ?? ? ?故結(jié)論成立。除了文中特別加以標(biāo)注引用的內(nèi) 容外，本論文不包含任何其他個(gè)人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫(xiě)的成果作品。 5 維歐氏空間中的 CauchySchwarz不等式 定理 [1] 在 n 維歐氏空間中，對(duì)任意向量 ,??有 2, , , ,? ? ? ? ? ?? 其中等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng) ,??線性相關(guān)時(shí)成立。 定理（數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的柯西 — 施瓦茨不等式） 若級(jí)數(shù) 22nnab??和 收斂，則級(jí)數(shù) nnab? 收斂，且 2 2 2()n n n na b a b??? ? ?. 10 證明： 由于 22nnab??和 收斂，則有 22()nnab?? 收斂，而 221| | ( )2n n n na b a b??， 故nnab? 絕對(duì)收斂 . 由定理 中的 2 2 21 1 1( ) .n n ni i i ii i ia b a b? ? ??? ? ?可知當(dāng)令 n?? 取極限時(shí)，2( ) .n n n na b a b?? ? ?即為所要證明的不等式 . 應(yīng)用 用于證明不等式 例 8. 若 ( ), ( )f x g x 都在在 ? ?,ab 上可積，則有 閔可夫斯基（ Minkowski） 不等式： 1 1 12 2 22 2 2[ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]b b ba a af x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 證明： 由柯西施瓦茨不等式得 2 2 2( ( ) ( ) ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )b b b ba a a af x g x dx f x dx f x g x dx g x dx? ? ? ?? ? ? ? 12 2 2 22( ) 2 [ ( ) ( ) ] ( )b b b ba a a af x d x f x d x g x d x g x d x? ? ? ?? ? ? ? 112 2 222[ ( ( ) ) ( ( ) ) ]bbaaf x d x g x d x???? 故 1 1 12 2 22 2 2[ ( ( ) ( ) ) ] [ ( ) ] [ ( ) ]b b ba a af x g x d x f x d x g x d x? ? ?? ? ? 概率空間中的 CauchySchwarz 不等式 定理 [4] 設(shè) ??， 為任意隨機(jī)變量，若 22( ), ( )EE??存在，則 ()E?? 也存在， 且 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)存在常數(shù) 0t ，使得 0{ } 1Pt???? 證明：構(gòu)造二次 函數(shù) 定義任意實(shí)數(shù) t 的二次函數(shù)為 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 2 ( ) ( )u t E t E t E t E? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? 因?yàn)閷?duì)一切 t ，必然有 2( ) 0t????，從而有 () 0,ut? 于是方程 () 0ut? 要么無(wú)實(shí)根， 要么有一個(gè)實(shí)根，即重根，則判別式非正，從而 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( ) 0E E E?? ? ?? ? ?， 即 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???. 11 當(dāng)?shù)忍?hào)成立，方程 () 0ut? 有一個(gè)重根 0t ，使 20( ) 0Et????， 從而 2 2 20 0 0 0( ) ( ) ( ( ) ) ( ) 0D t E t E t E t? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 即 0( ) 0,Dt????且 0( ) 0Et????，于是 00{ 0 } 1 , { } 1P t P Y t X??? ? ? ? ?且 反之，若存在常數(shù) 0t ，使得 0{ } 1Pt????成立，即 0{ 0} 1,Pt??? ? ? 從而 2 2 200{ 0 } 1 , { ( ) 0 } 1P t P t? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? 于是 2 2 2 200{ } 0 , { } 0E t E t? ? ?? ?? ? ? ? 即 2 2 2 2( ) ( ) , ( ) ( )E t E E t E? ? ?? ???且 故 2 2 2 2 2 2 2 2 200[ ( ) ] [ ( ) ] ( ) ( ) ( ) ( )E t E t E E E E? ? ? ? ? ? ?? ? ? 即在 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???式中等號(hào)成立。 當(dāng)定義內(nèi)積 , ( )E? ? ??? ，若 ,??為隨機(jī)變量，取 ,? ? ? ???，則由2, , ,? ? ? ? ? ?? 得 2 2 2[ ( ) ] ( ) ( )E E E?? ? ???，即為柯西施瓦茨不等式在概率空間的表現(xiàn)形式。 數(shù)學(xué)分析中的 CauchySchwarz 不等式 定理 定理 [2]（積分學(xué)中的柯西 — 施瓦茨不等式） 設(shè) ( ), ( )f x g x 在 ? ?,ab 上可積，則 2 22( ) ( ) ( ) ( )b b ba a af x g x d x f x d x g x d x?? ??????? ? ?. 證法 1 通過(guò)建立輔助函數(shù)來(lái)證明 作函數(shù) 2 22( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x xa a aF x f t g t d t f t d t g t d t??? ? ?????? ? ?，由定積分的性質(zhì)得 8 39。此外，本文還給出了柯西施瓦茨不等式的四種不同形式的內(nèi)在聯(lián)系。 （請(qǐng)?jiān)谝陨舷鄳?yīng)方框內(nèi)打“√”） 學(xué)位論文作者簽名： 日期： 年 月 日 導(dǎo)師簽名： 日期： 年 月 日 目 錄 內(nèi)容 摘要 ............................................................ 1 關(guān)鍵詞 .............................................................. 1 Abstract............................................................ 1 Keywords............................................................ 1 不等式的簡(jiǎn)介 ............