【正文】 系列的初等變畢業(yè)論文 第 6 頁(yè) 共 27 頁(yè) 換可以變成 A?(),從而也有 gf??( )| ( ) . 當(dāng) A?()所有的階子式為零時(shí) ,B?()所有的 k 階子式也就等于零 ； 反之亦然 .故 A?()與 B?()又相同的各階行列式 因子 ,從而有相同的秩 .證畢 . 既然初等變換不改變行列式因子 ,所以 ,每個(gè) ? 矩陣 與它的標(biāo)準(zhǔn)型有完全相同的行列式因子 .而求標(biāo)準(zhǔn)型的矩陣是較為簡(jiǎn)單的 ,因而 ,在求一個(gè) ? 矩陣 的行列式因子時(shí) ,只要求出它的標(biāo)準(zhǔn)型的行列式因子即可 . 現(xiàn)在來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)型矩陣的行列式因子 .設(shè)標(biāo)準(zhǔn)型為 1200rddd?????????????()()() 其中 1, ,id i r? ?( )( )是首項(xiàng)系數(shù)為 1 的 多項(xiàng)式 ,且1 1, , 1iid d i r??? ??( )| ( )( ),其他的元素都是 ,在這種形式的矩陣中 ,如果有一個(gè) k 階子式包含的行與列的標(biāo)號(hào)不完全相同 ,那么這個(gè) k 階子式一定為 ,為了計(jì)算 k 階行列式因子 ,只要看 由 12, , , ki i i 有行與 12, , , ki i i 列12 ki i i r??(1 )組成的 k 階子式就可以了 ,而這個(gè) k 階子式等于 12i i ikd d d? ? ?( ) ( ) ( ). 顯然 ,這種 k 階子式的最大公因式就是 12 kd d d? ? ?( ) ( ) ( ). 定理 5 矩陣 A?()的 Smith 標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的 ,并且 11 1()( ) ( ) , 2 , 3 , ,()kk kDd D d k rD ?? ? ? ??? ? ?( ) ( ). 證明 設(shè) ()A? 的標(biāo)準(zhǔn)是 畢業(yè)論文 第 7 頁(yè) 共 27 頁(yè) 1200rddd?????????????()()(). 由于 ()A? 與1200rddd?????????()()()等價(jià)，則它們有相同的秩與相同的行列式因子 ,因此 , ()A? 的秩就是標(biāo)準(zhǔn)型的主對(duì)角線上非零元素的個(gè)數(shù) r . ()A? 的 k 階子式因子就是 12( ) 1 , 2 , ,kkD d d d k r? ? ? ???( ) ( ) ( ) ( ) 于是 21 1 211( ) ( )( ) ( )rrrDDd D d d??? ? ? ??( ) = ( ) , ( ) = , , ( ) =. 這說明 A?()的標(biāo)準(zhǔn)型的主對(duì)角線上的非零元素是被 A?()的行列式因子所唯一決定的 ,所以 A?()得標(biāo)準(zhǔn)型是唯一的 .證畢 . 定理 6 矩陣 ()A? 與 B?()等價(jià)的充要條件是它們有相同的行列式因子（或相同的不變因子） . 證明：上一個(gè)定理的證明給出了 ? 矩陣的行列式因子與不變因子之間的關(guān)系 .這個(gè)關(guān)系式說明行列式因子與不變因子是相互確定的 .因此 ,說兩個(gè)矩陣有相同的各階行列式因子 ,就等于說它們有相同的各級(jí)不變因子 . 必要性已由定理 給出 . 充分性 顯然 .事實(shí)上，若 ? 矩陣 ()A? 與 B?()有相同的不變因子 ,則 ()A?畢業(yè)論文 第 8 頁(yè) 共 27 頁(yè) 與 B?()和同一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)型等價(jià) ,因而 ()A? 與 B?()等價(jià) .證畢 . 定義 6 矩陣 ()A? 的所有非常數(shù)不變因子 的首項(xiàng)系數(shù)為 1 的不可約因式方冪的全體 稱為 ()A? 的初等因子 . 定理 7 矩陣 ()A? 與 B?()等價(jià)的充要條件是它們有相同的初等因子 ,并且秩相等 . 例 題 3 求矩陣 B 的 初等因子 ,其中 11abbaabBbaabba????????????????= 解 : 11abbaabIBbaabba?????????????? ????????= 由于有兩個(gè) 5 階子式 2 2 2 311[ ( ) ] ( ) , 011a b bb a aa b a ba b a bb a aa a b????????????? ? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ??? 是互素的 ,所以 5 =1D ?() 從而 14DD??( )= = ( )= 1 畢業(yè)論文 第 9 頁(yè) 共 27 頁(yè) 而又 2 2 36 [ ( a ) b ]D I B? ? ?? ? ? ?( ) = 所以 B 的不變因子為 331 5 6 6( ) ( ) 1 , ( ) ( a b ) ( a b ) ,d d d D? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?() 所以 B 的初等因子為 33( a b) , ( a b) .??? ? ? ? 3 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與矩陣可對(duì)角化 在掌握了 ? 矩陣 的基本概念 :行列式因子、不變因子、初等因子基礎(chǔ)上我們將進(jìn)入 Jordan 標(biāo)準(zhǔn)型 與矩陣可對(duì)角化 理論的核心 . 3． 1 對(duì)角化的 定義及判定 定理 定義 7 如果方陣 A 相似于對(duì)角陣 ,即存在可逆矩陣 P 和對(duì)角陣 D ,使得1A PDP?? ,則 稱 A 可對(duì)角化 . 定理 [3]8 (對(duì)角化定理 ) n 階 矩陣 A 可對(duì)角化的充分必要條件是 A 有 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 . 事實(shí)上 , 1A PDP?? ,D 為對(duì)角陣的充分必要條件是 P 的列向量是 A 的 n個(gè)線性無關(guān)的特征向量 .此時(shí) ,D 的對(duì)角線上的元素分別是 A 的對(duì)應(yīng)于 P 中的特征向量的特征值 . 換句話說 ,A 可對(duì)角化的充分必要條件是 有 n 個(gè)線性無關(guān)的 特征向量形成n 的基 ,我們稱這樣的向量為特征向量基 . 證 首先看到 ,若 P 是列為 12, , , n? ? ? 的任一 n 階矩陣 ,D 是對(duì)角線元素為 12, , , n? ? ? 的對(duì)角陣 ,那么 ? ? ? ?1 2 1 2, , , , , ,nnA P A A A A? ? ? ? ? ??? （ 1） 而 畢業(yè)論文 第 10 頁(yè) 共 27 頁(yè) ? ?121 1 2 2, , , nnnAP D P?? ? ? ? ? ? ???????????? （ 2） 現(xiàn)在假設(shè) A 可對(duì)角化且 1A PDP?? ,用 P 右乘等式兩邊 ,則有 AP PD? .此時(shí)由 （ 1）和（ 2）得 ? ? ? ?1 2 1 1 2 2, , , , , ,n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ?? （ 3） 由列相等 ,有 1 1 1 2 2 2= , = , , =n n nA A A? ? ? ? ? ? ? ? ? （ 4） 因?yàn)?P 可逆 ,故 P 的列 12, , , n? ? ? 必定線性無關(guān) .同樣 ,因?yàn)檫@些 12, , , n? ? ?非零 ,（ 4）表示 12, , , n? ? ? 是特征值 , 12, , , n? ? ? 是相應(yīng)的特征向量 .這就證明了定理中第一 ,第二和隨后的第三個(gè)命題的必要性 . 最后 ， 給定任意 n 個(gè)特征向量 12, , , n? ? ? ， 用它們作為矩陣 P 的列 ,并用相應(yīng)的特征值來構(gòu)造矩陣 D ,由 （ 1） ~（ 3） ,等式 AP PD? 成立而不需要特征向量有任何條件 .若特征向量是線性無關(guān)的，則 P 是可逆的 ,由 AP PD? 可推出 1A PDP?? .證畢 . 例 題 4