【正文】 題習(xí)題課 第 2 頁(yè) 共 36 頁(yè) 2 教學(xué)過(guò)程 第一講：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 授課題目 等差數(shù) 列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 課型 習(xí)題課 年級(jí) 高三 教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能 熟練運(yùn)用等差、等比數(shù)列的概念、通項(xiàng)公式、前 n 項(xiàng)和公式以及遞推公式的有關(guān)性質(zhì)，分析和解決等差、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 . 過(guò)程與方法 通過(guò)對(duì)等差、等比數(shù)列綜合題的分析、探究，提高學(xué)生的觀察、探索、發(fā)現(xiàn)的能力；利用例題來(lái)培養(yǎng)學(xué)生分析、比較、概括、歸納的能力 . 情感、態(tài)度與價(jià)值觀 通過(guò)具體問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)等差等比數(shù)列之間的關(guān)系以及同其他知識(shí)的關(guān)系，并利用相關(guān)知識(shí)予以解決，感受數(shù)列的應(yīng)用價(jià)值；培養(yǎng)學(xué) 生嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)、細(xì)心觀察的科學(xué)態(tài)度 . 學(xué)情分析 在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差 、等比 數(shù)列的 所有基本知識(shí) ，對(duì)于基本概念以及相關(guān)知識(shí)都比較熟悉， 同時(shí)學(xué)生已有了函數(shù) 與方程 知識(shí)，因此在教學(xué)中可適當(dāng)滲透函數(shù) 與方程 思想。數(shù)列作為離散函數(shù) 的模型，具有函數(shù)的性質(zhì)，又有自己獨(dú)特的遞推關(guān)系，使得他與高中數(shù)學(xué)的其他部分有著密切的聯(lián)系，又具有自己鮮明的特征，因此是高考重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一。 mathematical methods 數(shù)列綜合題習(xí)題課 目 錄 1 前言 1 2 教學(xué)過(guò)程 2 第一講：等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 2 等差數(shù)列的綜合問(wèn)題 3 等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 5 等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合問(wèn)題 7 第二講： 數(shù)列的求和 9 公式法求和 9 錯(cuò)位相減法求和 12 數(shù)列求和的其他方法 14 第三講：數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何的綜合問(wèn)題 17 數(shù)列與函數(shù)、不等式的綜合問(wèn)題 18 數(shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題 21 第四講：其他數(shù)列綜合問(wèn)題 24 遞推公式與通項(xiàng)公式 24 數(shù)列與存在性問(wèn)題 26 數(shù)列 、極限、解析幾何的 綜合題 29 數(shù)列構(gòu)造法與最值問(wèn)題的應(yīng)用 31 數(shù)列與向量、概率的綜合問(wèn)題 32 3 結(jié)論 36 參考文獻(xiàn) 37 致謝 38 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 1 頁(yè) 共 36 頁(yè) 1 前言 數(shù)列是高中階段重要 的 數(shù)學(xué) 基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)數(shù)列是刻畫(huà)離散現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，在我們的日常生活中，數(shù) 列 模型可以幫助我們解決如存款利息、購(gòu)房貸款、資產(chǎn)折舊等實(shí)際問(wèn)題， 學(xué)習(xí)它，研究它，主要是想利用它來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題，讓其為我們的生活更好地服務(wù)。 function。 本文通過(guò)對(duì)歷年高考題的分析與講解，希望 能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，自始至 終貫穿觀察、分析、歸納、類比、運(yùn)算、概括、應(yīng)用等能力 。其次， 數(shù)列這一章蘊(yùn)含著多種數(shù)學(xué)思想及方法，如函數(shù)思想、方程思想，而且在基本概念、公式的教學(xué)本身也包含著豐富的數(shù)學(xué)方法，掌握這些思想方法不僅可以增進(jìn)對(duì)數(shù)列概念、公式的理解，而且運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法解決問(wèn)題的過(guò)程，往往能誘發(fā)知識(shí)的遷移，使學(xué)生產(chǎn)生舉一反三、融會(huì)貫通的解決數(shù)列問(wèn)題 。 inequality。也就是說(shuō)，我們所學(xué)知識(shí)都來(lái)源于實(shí)踐，最后還要應(yīng)用于生活。對(duì)于數(shù)列綜合題的學(xué)習(xí)需要學(xué)生具有一定的綜合能力，本文正是為了培養(yǎng)與鍛煉學(xué)生這種綜合能力而進(jìn)行編寫(xiě)的。 然而將這些知識(shí)綜合在一起來(lái)考查，學(xué)生們往往感覺(jué)比較困難， 針對(duì)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，本節(jié)課采取了循序漸進(jìn)、層層深入的 教學(xué)方式，以問(wèn)題解答的形式，通過(guò)分析、討論、歸納、探索而獲得知識(shí) ，為學(xué)生積極思考、自主探究搭建 了理想的平臺(tái)，讓學(xué)生見(jiàn)識(shí)到這類題型的考查方式與解題的基本思路，為學(xué)生后來(lái)更深一層的研究 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 3 頁(yè) 共 36 頁(yè) 數(shù)列問(wèn)題打下基礎(chǔ) . 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 通過(guò)對(duì)等差、等比數(shù)列通項(xiàng)公式的運(yùn)用，滲透函數(shù)與方程思想，以及對(duì)數(shù)列前 n 項(xiàng)和 nS 與數(shù)列 ??na 之間的關(guān)系理解 . 教學(xué)方法 講授法 教具 粉筆、直尺 等差數(shù)列的綜合問(wèn)題 方法引導(dǎo)： 解決等差數(shù)列的綜合問(wèn)題時(shí)，首先要熟練掌握等差數(shù)列的定義，能夠用定義法或等差中項(xiàng)法判斷或證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列；其次要熟練掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前 n 項(xiàng)和公式，能夠用等差數(shù)列的性質(zhì)解決相關(guān)問(wèn)題。 解析： 首先看看三個(gè)問(wèn)題，第一問(wèn)是要求 A 與 B 的值，第二問(wèn)要證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，第三問(wèn)是要證明不等式 51mn m na a a??對(duì)任何正整數(shù) m 、 n 都成立，針對(duì)第一問(wèn)，這里同學(xué)們很容易盯著 ? ? ? ?15 8 5 2 , 1 , 2 , 3 ,nnn S n S A n B n?? ? ? ? ? ? ???不放，而忽視1 2 31, 6, 1 1,a a a? ? ?，導(dǎo)致此題無(wú)從下手，這就是沒(méi)有理解題意的表現(xiàn)，我們往往只盯著題目中比較大，比較長(zhǎng)的式子，而忽視一些細(xì)節(jié)，所以在作題時(shí)，要把題設(shè)中所有對(duì) 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 4 頁(yè) 共 36 頁(yè) 象“是什么，有什么性質(zhì)，如何表示”盡可能理清楚的寫(xiě)下來(lái)。 而第二問(wèn)要我們證明數(shù)列 ??na 為等差數(shù)列，而條件給我們的只是有關(guān)前 n 項(xiàng)和 nS 之間的關(guān)系，所以第二問(wèn)解題的關(guān)鍵就是要找出 nS 與 na 之間的關(guān)系，這里仍然考察 nS 與 na的關(guān)系。 ∴ 數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1，公差為 5 的等差數(shù)列。閑話不多說(shuō)我們來(lái)看看這道題。 解析： 還是一樣，先看看問(wèn)題。 對(duì)于第二問(wèn)，由于 ? ?45 nnabnak?? ，這個(gè)關(guān)系式很復(fù)雜，我們可以不關(guān)注其“長(zhǎng)相”，依然從深層去理解，緊抓問(wèn)題之間的關(guān)系，聯(lián)系第一問(wèn)我們可得 14 3 4 3nnab n?? ? ? ，故1nnab n??，從而 11 .43n nnb ??? ? 到這里我們就把剛剛題目中的“隱性信息”轉(zhuǎn)化成了“顯性信息”，接下來(lái)的求解就可水到渠成。其實(shí)只要抓住問(wèn)題的本源，掌握數(shù)列的性質(zhì)，就一定能找出頭緒。 例 3 假設(shè) 1 2 3 4, , ,a a a a是 一 個(gè) 等 差 數(shù) 列 ， 且 滿 足 130 2, ? ? ? 若? ?2 1, 2, 3, 4 .nanbn?? 給出以下命題：（ 1）數(shù)列 ??nb 是等比數(shù)列；（ 2） 2 4b? ；（ 3） 4 32b? ；（ 4） 24256bb? 。通過(guò)上節(jié)的講 解與練習(xí)，學(xué)生們已經(jīng)對(duì)等差等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識(shí)相當(dāng)熟悉，各種思想方法也得到了一次訓(xùn)練，對(duì)于數(shù)列求和，因?yàn)橛泻芏喾椒?，致使學(xué)生在解題時(shí)不知道用哪種方法，所以本文從最基本的求和方法開(kāi)始講解，層層遞進(jìn)地介紹了包括 錯(cuò)位相減法 、 倒序相加法 、 裂項(xiàng)相消法 、 并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法 的相關(guān)應(yīng)用，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 . 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn) 會(huì)用各種求和方法進(jìn)行求和，理解公式法求和，錯(cuò)位相減法求和，倒序相加法求和，裂項(xiàng)相消法求和，并項(xiàng)轉(zhuǎn)化法求和的基本思想以及會(huì)靈活運(yùn)用 . 教學(xué)方法 講授法 教具 粉筆、直尺 公式法求和 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 10 頁(yè) 共 36 頁(yè) 方法引導(dǎo)： 所 謂公式法，就是直接應(yīng)用等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和公式，以及正整數(shù)的平方和公式、立方和公式等公式求解。 選題意圖： 此題是在數(shù)列的知識(shí)框里鑲上了函數(shù)知識(shí)，兩類知識(shí)結(jié)合的天衣無(wú)縫，即考查了數(shù)列求和的知識(shí)，又考查了函數(shù)的最值點(diǎn)等相關(guān)知識(shí)。由 ? ? ? ? 222( ) 2 1 5 7 1 3 8 .f x x n x n n x n n? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?????（這里還可以直 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 11 頁(yè) 共 36 頁(yè) 接用對(duì)稱軸為 12 ???? nabx ），于是 可得 1nan??，我們知道題目是要我們證數(shù)列 ??na是等差數(shù)列，這里只要考慮一下等差數(shù)列通項(xiàng)的特征，就能立即得到結(jié)果，當(dāng)然如果你不放心，也可以檢驗(yàn)相鄰兩項(xiàng)的關(guān)系， 即 ? ? ? ?1 1 1 1 1nna a n n? ? ? ? ? ? ? ?，隱藏的等差數(shù)列終于暴露出來(lái)了，到此就證明了數(shù)列 ??na 是等差數(shù)列。 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 12 頁(yè) 共 36 頁(yè) 能力考察： 已知數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)為 1 4a? ，公比為 1?q 的等比數(shù)列， nS 是其前 n 項(xiàng)和，且 1 5 34 , , 2a a a? 成等差數(shù)列。 例 2 已知數(shù)列 ??na 是首項(xiàng)、公比都為 ? ?0, 1q q q??的等比數(shù)列，? ?*4lo gn n nb a a n N??. （ 1）當(dāng) 5q? 時(shí)，求數(shù)列 ??nb 的前 n 項(xiàng)和 nS （ 2）當(dāng) 1415q? 時(shí)，若 1nnbb?? ，求 n 的最小值。 解析： 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 13 頁(yè) 共 36 頁(yè) 等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和，對(duì)于我們來(lái)說(shuō)是很 容易的，畢竟我們有現(xiàn)成的公式可以套用，那么如果把等差與等比數(shù)列糅合在一起，導(dǎo)致項(xiàng)與項(xiàng)之間沒(méi)有了明顯的關(guān)系，你還能作出來(lái)嗎？錯(cuò)位相減法，就是為了培養(yǎng)和訓(xùn)練學(xué)生的“創(chuàng)造”思想的。 ∴ 14n? ，即取 15n? 時(shí)， 1nnbb?? 故所求的 n 的最小值是 15，結(jié)論與上所求一致。所謂倒序相加法即如果一個(gè)數(shù)列 ??na ，與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng) 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 15 頁(yè) 共 36 頁(yè) 之和等于首末兩項(xiàng)之和，可采用把正著寫(xiě) 和倒著寫(xiě)的兩個(gè)式子相加，就得到一個(gè)常數(shù)列的和，進(jìn)而求出數(shù)列的前 n 項(xiàng)和。說(shuō)了這么多，接著我們來(lái)看看下面的這道例題。 數(shù)列綜合題習(xí)題課 第 16 頁(yè) 共 36 頁(yè) 解析： 先考慮 2()f x x x??的對(duì)稱軸為 21??x ，即在 ?????? ???? ,21x時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)。 能力考察：： 設(shè)函數(shù) 211 2 3() nnf x a a x a