【正文】 分形的結(jié)構(gòu)進(jìn)行更加深入的研究 . 研究意義 本論文針對(duì)分形及多重分形理論，通過認(rèn)真學(xué)習(xí)相關(guān)理論知識(shí)并將其運(yùn)用于金融領(lǐng)域，利用金融時(shí)間序列的具體實(shí)例進(jìn)行分析研究，主要目的是判斷并研究金融時(shí)間序列中的分形及多重分形 行為， 通過數(shù)據(jù)的擬合，研究市場(chǎng)的長(zhǎng)程相關(guān)性和波動(dòng)行為，并計(jì)算廣義 Hurst 指數(shù)，度量并比較不同的市場(chǎng)有效性市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)大小 . 國(guó)內(nèi)外研究綜述 單分形相關(guān)的國(guó)外文獻(xiàn)綜述 1977 年， Mandelbrot 分析研究了在不同的時(shí)間標(biāo)度上時(shí)間序列的動(dòng)力學(xué)特點(diǎn) [1]，之后經(jīng)過多年的研究，提出了“分形”這一概念 .Przekota G 用 Hurst 指數(shù)這一指標(biāo)來識(shí)別資本市場(chǎng)的時(shí)間序列特征，考察并研究了金融市場(chǎng)時(shí)間序列的長(zhǎng)期相關(guān)性的統(tǒng)計(jì)方法 [2].. Peng 等人 [3] 于 20 世紀(jì)初，在分析研究 DNA 分子鏈的單分形結(jié)構(gòu)的時(shí)候，提出了用于解決非平穩(wěn)的時(shí)間序列分形分析的方法，稱之為消除趨勢(shì)波動(dòng)方法 ( detrended fluctuation analysis)，簡(jiǎn)記為 DFA 方法 . 單分形相關(guān)的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)綜述 國(guó)內(nèi)的一些學(xué)者對(duì)單分形理論也有了一定程度的分析研究，牛淑珍運(yùn)用了R/S（重標(biāo)極差）分析方法，來研究深圳和上海兩地的股票市場(chǎng)的每周的收盤指數(shù)的時(shí)間序列 [4]，其結(jié)果顯示，我國(guó)的股票市場(chǎng)的波動(dòng)性呈現(xiàn)出非線性的特征 .莊新田用上海證券綜合指數(shù)（上證綜指）和深圳證券成分指數(shù)（深圳成指） 每日的收盤價(jià)格為樣本，來研究上海和深圳兩地的股票交易市場(chǎng)的分形特征 [5]，并認(rèn)為兩地的金融市場(chǎng)并不具有有效市場(chǎng)的特征，它們的股價(jià)指數(shù)顯示出有偏隨機(jī)游走而非正態(tài)的特征，同時(shí)時(shí)間序列具有長(zhǎng)記憶的特征 . 多重分形相關(guān)的國(guó)外文獻(xiàn)綜述 在金融股票市場(chǎng)上通過對(duì)分形理論的深入研究，分形理論不斷取得新的成果，并且學(xué)者們已經(jīng)開始了從研究單分形理論過渡到多重分形理論的分析研究階段 .Muniandy 通過研究馬來西亞外匯的分形行為，用 R/S 分析方法、 DFA 方 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 3 法和相關(guān)系數(shù)的二階矩等方法計(jì)算了全局的 Hurst 指數(shù)， 并用多重分形的布朗運(yùn)動(dòng)來分析金融時(shí)間序列的多重分形特征性 [6].Norouzzdeh用 MFDFA分析方法研究了伊朗的銀幣對(duì)美元的匯率波動(dòng)的多重分形特征，他通過對(duì)廣義 Hurst 指數(shù)、標(biāo)度指數(shù)、廣義分形維以及奇異譜的研究，發(fā)現(xiàn)了產(chǎn)生多重分形的原因，這一原因是與尖峰厚尾的分布特征和長(zhǎng)程相關(guān)性相關(guān)的 [7].Sadegh Movahed運(yùn)用了分形分析的 MFDFA 方法來研究河流流量的波動(dòng)，結(jié)果表示，存在著兩個(gè)相互交叉的時(shí)間標(biāo)度，河流流量的 Hurst 指數(shù)顯示出了長(zhǎng)程相關(guān)性的特征，并逐漸發(fā)現(xiàn)了多重分形的特性是因?yàn)楦怕拭?度函數(shù)的厚尾這一分布所造成的 [8]. 多重分形相關(guān)的國(guó)內(nèi)文獻(xiàn)綜述 張永東和畢秋香在《 中國(guó)股票市場(chǎng)多標(biāo)度行為的實(shí)證分析 》一文 [9]中， 通過研究中國(guó)股指的時(shí)間序列，并分析研究不同時(shí)間跨度的指數(shù)增量序列和收益率序列、 廣義的累積絕對(duì)收益序列的標(biāo)準(zhǔn)差，發(fā)現(xiàn)了標(biāo)準(zhǔn)差 s 與時(shí)間跨度 t 之間滿足一種冪律關(guān)系，而且冪指數(shù)并不是唯一的，它具有明顯的多標(biāo)度的特征 .常松和何建敏，他們運(yùn)用多重分形特征理論來分析中國(guó)的股票市場(chǎng) [10]，驗(yàn)證了中國(guó)股票市場(chǎng)的多重分形游走特征，而且通過進(jìn)一步研究多重分形過程局部的尺度特性，將這種局部尺度和多尺度之間的相關(guān)性聯(lián)合建立了小波和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)相互結(jié)合的對(duì)于股票價(jià)格的一種預(yù)測(cè)模型 .莊新田和苑瑩通過運(yùn)用 MFDFA 方法（消除波動(dòng)趨勢(shì)的分析方法）對(duì)上證綜指的日收益率進(jìn)行多重分形特征的分析，發(fā)現(xiàn)了出現(xiàn)多重分形的原因，這 是由于非線性的長(zhǎng)程相關(guān)性和概率分布函數(shù)的尖峰厚尾分布所導(dǎo)致的，隨后繼續(xù)研究了股票價(jià)格的指數(shù)波動(dòng)特征，發(fā)現(xiàn)了當(dāng)股票價(jià)格的指數(shù)波動(dòng)相對(duì)較大時(shí)，廣義 Hurst 指數(shù)具有非常顯著的波動(dòng)特征，由此他提出了基于廣義 Hurst 指數(shù)的兩種不同的風(fēng)險(xiǎn)指標(biāo) [11]. 文獻(xiàn)綜述總結(jié) 從以上研究來看，現(xiàn)階段，將分形理論應(yīng)用到金融領(lǐng)域仍是一個(gè)熱門的課題，但卻還不夠完善，仍存在著大量的缺陷 .目前來說，國(guó)內(nèi)外對(duì)待金融市場(chǎng)中多重分形理論的分析研究以及應(yīng)用都還處于初級(jí)階段，都還不成熟，很大部分的相關(guān)研究成果都只是停留在對(duì)金 融時(shí)間序列的多重分形特性的檢驗(yàn)階段，而沒有繼續(xù)深入 .盡管部分學(xué)者已經(jīng)證明了多重分形譜的形態(tài)特征對(duì)金融時(shí)間序列的波動(dòng)、金融風(fēng)險(xiǎn)的預(yù)測(cè)及考察都具有一定的指示效果，但研究結(jié)果終究比較零碎，不完善，現(xiàn)在還沒有形成一個(gè)比較完整的體系 .比如說實(shí)證方法和技術(shù)多樣缺乏標(biāo)準(zhǔn)的判別指標(biāo)，對(duì)于分形結(jié)構(gòu)存在的原因的分析各有不同，至于分形及多重分形理論在金融市場(chǎng)上的預(yù)測(cè)等應(yīng)用還在探索中，具體的應(yīng)用還有待于進(jìn)一步研究，需要不斷改進(jìn) . 研究?jī)?nèi)容 研究思路及框架 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 4 基本思路： 本文將先介紹分形理論的一些基本知識(shí)點(diǎn)，簡(jiǎn)單介 紹分形市場(chǎng)理論，然后將分形理論應(yīng)用到中國(guó)上證綜指和深證綜指的金融時(shí)間序列中，通過計(jì)算廣義Hurst指數(shù)，研究市場(chǎng)的長(zhǎng)程相關(guān)性和波動(dòng)行為，判斷金融時(shí)間序列是否符合分形及多重分形行為，并度量市場(chǎng)的風(fēng)險(xiǎn)和市場(chǎng)效率 . 基本框架： ，包括：研究背景及意義、國(guó)內(nèi)外文獻(xiàn)綜述、研究?jī)?nèi)容簡(jiǎn)述； 金融時(shí)間序列的相關(guān)分形理論與方法，包括： ，包括 R/S分析， MFDFA方法、 MFDMA方法等； ，做個(gè)各種方法的對(duì)比； ，并作出評(píng)價(jià) . 研究方式與 方法 研究方式 ： 本論文通過查閱相關(guān)文獻(xiàn)充分理解基本理論知識(shí) 及方法，如 R/S分析，MFDFA方法、 MFDMA方法等，主動(dòng)請(qǐng)教指導(dǎo)老師，之后根據(jù)自己的想法及思路，在 matlab上實(shí)現(xiàn)相關(guān)程序，根據(jù)圖形得出結(jié)論，最后總結(jié)、評(píng)價(jià)，找到不足，并指出自己的一些展望 . 具體研究方法有： 1. 在圖書館查閱相關(guān)書籍，進(jìn)行相關(guān)方面知識(shí)的研究和探討 . 2. 借助網(wǎng)絡(luò)媒介進(jìn)行相關(guān)資料的搜索 . 3. 查閱國(guó)內(nèi)外期刊中與課題相關(guān)的文章，加以分析研究 . 4. 就本課題向老師和同學(xué)們討教，聽取他們的意見和觀點(diǎn) . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 5 2 金融時(shí)間序列的相關(guān)分形理論與方法 分形理論 分形理論的形成 分形理論是由 Mandelbrot 首先提出來的，并在此基礎(chǔ)上發(fā)展為一種系統(tǒng)的理論，它起源于對(duì)海岸線長(zhǎng)度測(cè)量的研究問題 .Mandelbrot 在研究英國(guó)的海岸線的復(fù)雜邊界時(shí)，發(fā)現(xiàn)了不同比例的地圖上測(cè)量出來的海岸線長(zhǎng)度是不同的，這也正是歐幾里德幾何所無(wú)法解釋的一點(diǎn) .大家都知道，海岸線是彎彎曲曲的，不規(guī)則且極不光滑的一條曲線 .如果要對(duì)它的長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，就必須要選取一定的測(cè)量單位才可以 .如果選作“公里”作為測(cè)量單位來測(cè)量海岸線 ，很顯然從幾米直到幾十米的彎曲程度就都被隨之忽略掉了，此時(shí)測(cè)量的結(jié)果我們記為 M1；如果選取“米”作為測(cè)量單位，測(cè)量的結(jié)果很明顯要比上一次的準(zhǔn)確一些，幾米直到幾十米的彎曲程度都可以被包括在測(cè)量的范圍內(nèi)，然而厘米量級(jí)的這樣小的彎曲，卻仍然被排除在計(jì)量長(zhǎng)度范圍之外，這時(shí)的測(cè)量結(jié)果我們記為 M2，則一定有關(guān)系式 M2M1；如果繼續(xù)用更小的“毫米”為單位來測(cè)量，其結(jié)果顯然要比前兩次精確的多了，但是仍存在微米量級(jí)的小的彎曲被忽略掉了，此時(shí)的測(cè)量結(jié)果記為 M3 ，且存在關(guān)系式 M3M2，如果繼續(xù)把海岸 線分解到“分子”、“原子”這樣的尺度標(biāo)準(zhǔn)，很顯然測(cè)量得到的長(zhǎng)度 L4 會(huì)大到天文數(shù)字的級(jí)別 .追究其原因則是因?yàn)楹０毒€是一種具有各種層次且無(wú)窮多的細(xì)節(jié)的非常復(fù)雜的幾何對(duì)象 . 自然界中存在很多類似于海岸線這樣的幾何對(duì)象，它們都是一些極其不規(guī)則而且支離破碎的片段的集合，如河流、山脈、血管、云團(tuán)、樹枝等等 .Mandelbrot 用“分形”這一概念，來描述這些十分復(fù)雜的幾何對(duì)象 .在研究過程中，他將測(cè)量長(zhǎng)度和放大尺度（比例）分別取其對(duì)數(shù)，發(fā)現(xiàn)所對(duì)應(yīng)坐標(biāo)點(diǎn)之間存在著一種線性的關(guān)系，這表示，這類十分復(fù)雜的集合體都具有一種共同 的特征，即自相似性的特征，也就是說局部的形態(tài)與整體的形態(tài)是相似的 .后來，通過研究， Mandelbrot 更進(jìn)一步發(fā)展了分形幾何理論，這一理論不僅可以產(chǎn)生許多分形集曲線和圖形，如 Mandelbrot 集、 Koch 曲線、 Cantor集、 Sierpinski 墊片 等等 ，而 且還 可以 用來 描述 復(fù)雜 對(duì)象 的幾 何特性 .Mandelbrot 用“分形理論”這一定義，來反映這種表示這些復(fù)雜的圖形特征和復(fù)雜過程規(guī)律的性質(zhì) . 分形理論的定義及特征 盡管至今為止，分形理論還是沒有形成一個(gè)比較嚴(yán)格的定義，但是很多研究者都根據(jù)自己的理 解做出了自己的定義 .最開始的時(shí)候，分形定義是由Mandelbrot 提出來的，他指出分形是這樣的一種集合：它的維數(shù)嚴(yán)格意義上 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 6 是大于其拓?fù)渚S數(shù)的 .但是這個(gè)定義還是不夠嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，而且比較抽象，不能夠被人們所理解 .接著他指出另一個(gè)定義，部分以某種形式與整體相似的這樣的一種形狀叫“分形”，但是這個(gè)定義是仍然不夠全面的，仍然不能夠被大家所認(rèn)可 .直到 1990 年， Edger 指出，分形集合是這樣的一種集合，它比傳統(tǒng)的幾何學(xué)所研究的所有的集合還要更加不規(guī)則，不管是將它放大多少倍還是縮小多少倍，甚至是更進(jìn)一步地進(jìn)行縮小，這種集合的 不規(guī)則程度性仍然是十分明顯的 .緊接著，英國(guó)數(shù)學(xué)家 Kenh J. Falconer 出版了《 Fractal Geometry》一本書，對(duì)分形定義做了如下比較詳盡的描述 . 集合 F 如果滿足以下條件，則認(rèn)為它是是分形的： （ 1）集合 F 具有很精細(xì)的結(jié)構(gòu) .即它在任意小的尺度之下，它總是具有復(fù)雜的細(xì)節(jié)的； （ 2）集合 F 通常具有某種自相似性特征，這種自相似性可以有時(shí)是嚴(yán)格相似的，但也可能是統(tǒng)計(jì)意義上的相似； （ 3）傳統(tǒng)意義上的的幾何語(yǔ)言是無(wú)法對(duì)不規(guī)則的集合 F 進(jìn)行局部與全局特征的描述的； （ 4）集 合 F 的分形維數(shù)大多部分都是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的； 分形集合總的來說是有以下的特征的： （ 1）自相似性 .也就是說，局部和整體之間是相似的，這既包括嚴(yán)格意義上的自相似，還包括在一定的尺度范圍內(nèi)的近似意義上的自相似以及存在于統(tǒng)計(jì)意義上的自相似性 . （ 2）標(biāo)度不變性 .也就是說無(wú)論放大多少倍或者是縮小多少倍，集合的不規(guī)則特征、形態(tài)結(jié)構(gòu)及其復(fù)雜程度等是都不會(huì)發(fā)生變化的 .而且存在這種關(guān)系：具有標(biāo)度不變性特征的集合體一定具有自相似性的特征 . （ 3）分?jǐn)?shù)維 .即分形維數(shù)不是以整數(shù)表示的，而是以分?jǐn)?shù)的形式表示的，而且一般來說分形維數(shù)是大于它的拓?fù)渚S數(shù)的 .維數(shù)是空間理論和幾何學(xué)里的一個(gè)基本概念 .我們現(xiàn)在已經(jīng)習(xí)慣于歐幾里德幾何的整數(shù)維數(shù)了，比如：點(diǎn)是零維的，線是一維的，面是二維的，而體積是三維的 .在歐氏空間之中，物體被認(rèn)為是連續(xù)且光滑的，對(duì)稱的而且同質(zhì)的，因此我們通常可以用整數(shù)維對(duì)其進(jìn)行系統(tǒng)的描述 .但是對(duì)于描述分形體，這種既不規(guī)則也不光滑的對(duì)象，傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)是幾乎無(wú)法做出回答的 .分形維數(shù)是對(duì)幾何體的不規(guī)則性程度，復(fù)雜的程度，粗糙程度等性質(zhì)的一個(gè)有效地測(cè)度 . （ 4）自放射性 .自放射變換指的是整體的各個(gè)方向的變換比 率是基本不一樣的，但是局部的隨機(jī)性與整體的確定性是同時(shí)存在的 . 最后，分形集其實(shí)可以說是這樣的一類集合體，他的局部和整體之間存在著結(jié)構(gòu)、形態(tài)等方面的自相似性，而且這種相似性是不會(huì)隨著測(cè)量尺度的變化而改變的，同時(shí)觀測(cè)尺度和相似比例之間滿足著一定的指數(shù)關(guān)系形式 . 天津科技大學(xué) 2020屆本科生畢業(yè)論文 7 所以說，分形能夠從不同的標(biāo)度指數(shù)來描述出集合的特征，能用分形維數(shù)的概念來刻畫分形結(jié)構(gòu)的特征 . 多重分形理論 多重分形定義 多重分形 (Multifractal)，這一概念是定義在分形結(jié)構(gòu)上的，它是由多個(gè)不同的標(biāo)度 q 和標(biāo)度指數(shù) ??qh 的分形測(cè)度來組成的這樣的一個(gè)無(wú)限的集合 .多重分形理論是從集合的局部出發(fā)來進(jìn)行研究整體特征的一種方法，它在直觀上可將多重分形很形象地看作是由眾多的維數(shù)不同的單一分形進(jìn)行交錯(cuò)疊加而形成的 .從幾何的角度來看，組成分形集合的許多若干個(gè)子集的標(biāo)度 q 及分形維數(shù)都是互相不相同的，多重分形也被稱為是稱多標(biāo)度分形 .可以表征多重分形的主要方法有：廣義 Hurst 指數(shù)，或者可 以使用奇異譜函數(shù) )(af .奇異譜)(af 可以定量地刻畫出來分形體在各個(gè)不同的局部條件下對(duì)應(yīng)的概率分布特征，其中奇異標(biāo)度指數(shù) a 規(guī)定了奇異性的強(qiáng)度，而 )(af 則