【正文】 第 1 頁 共 23 頁 普通高中課程標準實驗教科書 — 數學 [人教版 ] 高三新 數學 第一輪復習教案（講座 30） — 數列求和及數列實際問題 一．課標要求： 1． 探索并掌 握一些基本的 數列 求前 n 項和 的方法； 2． 能在具體的問題情境中，發(fā)現數列的 數列的通項和遞推 關系，并能用有關 等差、等比數列 知識解決相應的 實際 問題。 二．命題走向 數列求和和數列綜合及實際問題在高考中占有重要的地位，一般情況下都是出一道解答題，解答題大多以數列為工具，綜合運用函數、方程、不等式等知識，通過運用逆推思想、函數與方程、歸納與猜想、等價轉化、分類討論等各種數學思想方法 ，這些題目都考察考生靈活運用數學知識分析問題和解決問題的能力，它們都屬于中、高檔題目。 有關命題趨勢： 1．數列是一種特殊的函數，而不等式則是深刻認識函數和數列的有效工具，三者的綜合題是對基礎和能力的雙重檢驗，在三者交匯處設計試題，特別是代數推理題是高考的重點； 2．數列推理題是將繼續(xù)成為數列命題的一個亮點，這是由于此類題目能突出考察學生的邏輯思維能力，能區(qū)分學生思維的嚴謹性、靈敏程度、靈活程度； 3．數列與新的章節(jié)知識結合的特點有可能加強，如與解析幾何的結合等； 4．有關數列的應用問題也一直備受關注。 預 測 20xx 年高考對本將的考察為： 1．可能為一道考察關于數列的推導能力或解決生產、生活中的實際問題的解答題； 2．也可能為一道知識交匯題是數列與函數、不等式、解析幾何、應用問題上等聯系的綜合題，以及數列、數學歸納法等有機結合。 三．要點精講 1．數列求通項與和 （ 1）數列前 n 項和 Sn 與通項 an 的關系式： an=??? ? ?11s ss nn 12??nn 。 （ 2）求通項常用方法 ①作新數列法。作等差數列與等比數列； ②累差疊加法。最基本的形式是： an=(an－ an－ 1)+(an－ 1+an－ 2)+? +(a2－ a1)+a1； ③歸納、猜想法。 （ 3）數列前 n 項和 ①重要公式： 1+2+? +n=21 n(n+1)； 第 2 頁 共 23 頁 12+22+? +n2=61n(n+1)(2n+1)； 13+23+? +n3=(1+2+? +n)2=41n2(n+1)2； ②等差數列中， Sm+n=Sm+Sn+mnd； ③等比數列中， Sm+n=Sn+qnSm=Sm+qmSn； ④裂項 求和 將數列的通項分成兩個式子的代數和，即 an=f(n+1)－ f(n)，然后累加抵消掉中間的許多項，這種先裂后消的求和法叫裂項求和法。用裂項法求和，需要掌握一些常見的裂項，如： )11(1))(( 1 CAnBAnBCCAnBAna n ????????、)1( 1?nn=n1－11?n、 n178。 n！=(n+1)!－ n!、 Cn－ 1r－ 1=Cnr－ Cn－ 1r、)!1( ?nn=!1n－)!1( 1?n等。 ⑤錯項相消法 對一個由等差數列及等比數列對應項之積組成的數列的前 n 項和，常用錯項相消法。nnn cba ?? , 其中 ??nb 是等差數列， ??nc 是等比數列，記nnnnn cbcbcbcbS ?????? ?? 112211 ，則 1 2 1 1n n n n nqS b c b b c??? ? ? ? ? ?，? ⑥并項求和 把數列的某些項放在一起先求和，然后再求 Sn。 數列求通項及和的方法多種多樣，要視具體情形選用合適方法。 ⑦通項分解法： nnn cba ?? 2．遞歸數列 數列的連續(xù)若干項滿足的等量關系 an+k=f(an+k－ 1,an+k－ 2,? ,an)稱為數列的遞歸關系。由遞歸關系及 k 個初始值可以確定的一個數列叫做遞歸數列。如由 an+1=2an+1，及 a1=1，確定的數列 }12{ ?n 即為遞歸數列。 遞歸數列的通項的求法一般說來有以下幾種： （ 1）歸納、猜想、數學歸納法證明。 （ 2）迭代法。 （ 3）代換法。包括 代數代換，對數代數，三角代數。 （ 4）作新數列法。最常見的是作成等差數列或等比數列來解決問題。 四．典例解析 題型 1：裂項求和 第 3 頁 共 23 頁 例 1． 已知數列 ??na 為等差數列，且公差不為 0，首項也不為 0，求和： ?? ?ni iiaa1 11 。 解 析 ：首先考慮 ??? ?ni iiaa1 11 ?? ??ni ii aad1 1 )11(1 ， 則?? ?ni iiaa1 11 = 1111 )11(1 ?? ?? nn aa naad 。 點評：已知數列 ??na 為等差數列，且公差不為 0，首項也不為 0，下列求和11111nn iiiiiiaadaa ?????????也可用裂項求和法 。 例 2． 求 )(,321 14321 1321 121 11 *Nnn ???????????????? ??。 解 析 ：)1( 221 1 ??????? kkka k?， ])1n(n 132 121 1[2S n ????????? 1211121113121211[2 ???????? ????????? ??????????? ???????? ?? n nnnn新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 點評：裂項求和的關鍵是先將形式復雜 的因式轉化的簡單一些。 題型 2：錯位相減法 例 3． 設 a 為常數，求數列 a， 2a2， 3a3，?， nan，?的前 n 項和 。 解析：①若 a=0 時， Sn=0； ②若 a=1，則 Sn=1+2+3+? +n= )1n(n21 ?； ③若 a≠ 1， a≠ 0 時， SnaSn=a（ 1+a+? +an1nan）， Sn= ]naa)1n(1[)a1( a 1nn2 ?????。 例 4． 已知 1,0 ?? aa ，數列 ??na 是首項為 a，公比也為 a 的等比數列，令)(lg Nnaab nnn ??? ，求數列 ??nb 的前 n 項和 nS 。 第 4 頁 共 23 頁 解 析 ： , lgnnnna a b n a a? ? ?， 232 3 4 1( 2 3 ) l g( 2 3 ) l gnnnnS a a a n a aa S a a a n a a?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? … … ①… … ② ① ②得： anaaaaSa nnn lg)()1( 12 ??????? ?， ? ?nn anana aaS )1(1)1( lg 2 ??????新疆源頭學子小屋 特級教師 王新敞htp:@:/ 點評：設數列 ??na 的等比數列，數列 ??nb 是等差數列，則數列 ? ?nnba 的前 n 項和 nS求解，均可用 錯位相減法 。 題型 3：倒序相加 例 5． 求 S C C nCn n n nn? ? ? ?3 6 31 2 ?。 解析： S C C C nCn n n n nn? ? ? ? ?0 3 6 30 1 2178。 ?。 ① 又 S nC n C C Cn nn nn n n? ? ? ? ? ??3 3 1 3 01 1 0( ) ? 178。 ② 所以 S nn n? ?3 2 1178。 。 點評： Sn 表示從第一項依次到第 n 項的和，然后又將 Sn 表示成第 n 項依次反序到第一項的和，將所得兩式相加，由此得到 Sn 的一種求和方法。 例 6．設數列 ??na 是公差為 d ，且首項為 da ?0 的等差數列， 求和： nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 解 析 ：因為 nnnnnn CaCaCaS ????? ?11001 ， 00111 nnnnnnnn CaCaCaS ???? ??? ? nnnnn CaCaCa 0110 ???? ? ?， 011 0 1 1 02 ( ) ( ) ( ) nn n n n n n nS a a C a a C a a C??? ? ? ? ? ? ? ? 0100( ) ( ) ( ) 2nnn n n n na a C C C a a? ? ? ? ? ? ? 110( ) 2 nnnS a a ??? ? ? ?。 第 5 頁 共 23 頁 點評：此類問題還可變換為探索題形：已知數列 ??na 的前 n 項和 nS 12)1( ??? nn ，是否存在等差數列 ??nb 使得 nnnnnn CbCbCba ???? ?2211 對一切自然數 n 都成立 。 題型 4：其他方法 例 7． 求數列 1， 3+5， 7+9+11， 13+15+17+19，?前 n 項和。 解析：本題實質是求一個奇數列的和。在該數列的前 n項中共有 1 2 12? ? ? ? ?? n n n( )個奇數，故 S n n n n n nn ?? ? ? ? ? ? ?( ) [ ( ( ) ) ] ( )12 1 1 12 1 22 142 2179。 例 8． 求數列 1， 3＋ 13， 32＋ 132， …… ， 3n＋ 13n的各項的和 。 解 析 ：其和為 (1＋ 3＋ …… ＋ 3n)＋ (13 132?＋ …… ＋ 13n)= 3 12 1 321n n? ?? ? ?=12(3n＋ 1－3n)。 題型 5：數列綜合問題 例 9． （ 20xx 年 浙江卷） 已知函數 ()fx＝ x3+x2，數列 | xn | （ xn 0）的第一項 x1＝ 1，以后各項按如下方式取定：曲線 y＝ ()fx在 11( ( ))nnx f x??? 處的切線與經過（ 0， 0）和（ xn， f（ xn））兩點的直線平行（如圖）。 求證：當 n? *N 時： （ I） 221132n n n nx x x x??? ? ?；（ II） 1211( ) ( )22nnnx????。 解析：（ I）因為 39。2( ) 3 2 ,f x x x?? 所以曲線 ()y f x? 在 11( , ( ))nnx f x??處的切線斜率12113 2 .nnnk x x????? 因為過 (0,0) 和 ( , ( ))nnx f x 兩點的直線斜率是 2 ,nnxx? 所以 221132n n n nx x x x??? ? ?. （ II）因為函數 2()h x x x??當 0x? 時單調遞增， 而 221132n n n nx x x x??? ? ? 2 1142nnxx???? 211(2 ) 2nnxx???? 第 6 頁 共 23 頁 所以 12nnxx?? ，即 1 1,2nnxx? ? 因此 11 21 2 11( ) .2 nnnn xx xx x x x ????? ? ????? ? 又因為122 12( ),nn n nx x x x? ?? ? ? 令 2 ,n n ny x x?? 則 1 1.2nnyy? ? 因為 21 1 1 2,y x x? ? ? 所以 12111( ) ( ) .22nnnyy??? ? ? 因此 221( ) ,2