專題：等式約束條件下不等式的范圍問題(已修改)
2025-11-02 02:48 本頁面
【正文】 第一篇：專題：等式約束條件下不等式的范圍問題專題：等式約束條件下不等式的范圍問題題，關(guān)鍵在于對等式條件的應(yīng)用。主要分為三類方法：178。 代入消元法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或?qū)春瘮?shù)等的值域問題。178。 三角換元法：引入三角函數(shù)新元。178。 均值不等式：綜合應(yīng)用等式和待求式，轉(zhuǎn)化為均值不等式的問題?！仁綏l件下不等式的范圍問題：，b206。Rb27.+，且a2+2=1，求y=a+b2的最大值。0，y0，且(x1)(y1)=4，求x+y的最小值。.（06重慶理科）若設(shè)a，b，c206。R+且a(a+b+c)+bc=42，則2a+b+c的最小值為？.++ 4.（07重慶）若a是12b與1+2b的等學(xué)林家教八年家教經(jīng)驗(yàn)、一流的專職老師授課先上課，滿意輔導(dǎo)質(zhì)量再收費(fèi)1比中項(xiàng)，則2aba+2b的最大值為？ 已知a0，b0，且1a+3b=1，則a+2b的最小值為？+ +設(shè)a，b206。R，且a2+2b2=6則a+b的最小值為？已知設(shè)x0，y0，且2x+3y=2，則xy的最小值是？ 已知設(shè)x0，y0，且xy=4x+y+12，則xy的最小值是？已知3a2+2b2=5，試求y=(2a2+1)(b2+2)的最大值。一個(gè)月單科成績提高1015分三個(gè)月幫助改善學(xué)習(xí)方法、提高學(xué)習(xí)效率***（黃老師）第二篇：從等式約束的最小化問題說起從等式約束的最小化問題說起：上面問題的拉格朗日表達(dá)式為：也就是前面的最小化問題可以寫為：minxmaxyL(x,y)。它對應(yīng)的對偶問題為：maxy minxL(x,y)。下面是用來求解此對偶問題的對偶上升迭代方法：這個(gè)方法在滿足一些比較強(qiáng)的假設(shè)下可以證明收斂。為了弱化對偶上升方法的強(qiáng)假設(shè)性，一些研究者在上世紀(jì)60年代提出使用擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式（augmented Lagrangian）代替原來的拉格朗日表達(dá)式：其中ρ0。對應(yīng)上面的對偶上升方法，得到下面的乘子法（method of multipliers）：注意，乘子法里把第二個(gè)式子里的αk改成了擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式中引入的ρ。這不是一個(gè)隨意行為，而是有理論依據(jù)的。利用L(x,y)可以導(dǎo)出上面最小化問題對應(yīng)的原始和對偶可行性條件分別為（?L?y=0，?L?x=0）：既然xk+1 最小化 Lρ(x,yk)，有：上面最后一個(gè)等式就是利用了yk+1=yk+ρ(Axk+1?b)。從上面可知，這種yk+1的取法使得(xk+1,yk+1)滿足對偶可行條件?L?x=0。而原始可行條件在迭代過程中逐漸成立。乘子法弱化了對偶上升法的收斂條件，但由于在xminimization步引入了二次項(xiàng)而導(dǎo)致無法把x分開進(jìn)行求解（詳見[1])。而接下來要講的Alternating Direction Method of Multipliers(ADMM)就是期望結(jié)合乘子法的弱條件的收斂性以及對偶上升法的可分解求解性。ADMM求解以下形式的最小化問題：其對應(yīng)的擴(kuò)展拉格朗日表達(dá)式為：ADMM包括以下迭代步驟：ADMM其實(shí)和乘子法很像，只是乘子法里把x和z放一塊求解，而ADMM是分開求解，類似迭代一步的GaussSeidel方法。其中()中的推導(dǎo)類似于乘子法，只是使用了zk+1最小化Lρ(xk+1,z,yk)：其中用到了z對應(yīng)的對偶可行性式子：?L?z=?g(z)+BTy=0定義新變量u=1ρy，那么()中的迭代可以變?yōu)橐韵滦问剑涸谡嬲蠼鈺r(shí)通常會使用所謂的overrelaxation方法，也即在z和u中使用下面的表達(dá)式代替其中的Axk+1：αkAxk+1?(1?αk)(Bzk?c)，其中αk為relaxation因子。有實(shí)驗(yàn)表明αk∈[,]可以改進(jìn)收斂性([2])。下面讓我們看看ADMM怎么被用來求解大型的機(jī)器學(xué)習(xí)模型。所謂的大型，要不就是樣本數(shù)太多，或者樣本的維數(shù)太高。下面我們只考慮第一種情況，關(guān)于第二種情況感興趣的讀者可以參見最后的參考文獻(xiàn)[1, 2]。樣本數(shù)太多無法一次全部導(dǎo)入內(nèi)存，常見的處理方式是使用分布式系統(tǒng)，把樣本分塊，使得每塊樣本能導(dǎo)入到一臺機(jī)器的內(nèi)存中。當(dāng)然，我們要的是一個(gè)最終模型，它的訓(xùn)練過程利用了所有的樣本數(shù)據(jù)。常見的機(jī)器學(xué)習(xí)模型如下： minimize x∑Jj=1fj(x)+g(x)，其中x為模型參數(shù)，fj(x)對應(yīng)第j個(gè)樣本的損失函數(shù)，而g(x)為懲罰系數(shù)，如g(x)=||x||1。假設(shè)把J個(gè)樣本分成N份，每份可以導(dǎo)入內(nèi)存。此時(shí)我們把上面的問題重寫為下面的形式：除了把目標(biāo)函數(shù)分成N塊，還額外加了N個(gè)等式
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