【正文】 第一篇：奧數(shù)追及問題奧數(shù)第七講 行程問題（一）——追及問題第七講行程問題（一）——追及問題本講學(xué)習(xí)的追及問題與相遇問題同屬于行程問題中的一類，它是同向運動問題。追及問題的基本特點是：兩個物體同向運動，慢走在前，快走在后面，它們之間的距離不斷縮短，直到快者追上慢者。追及問題屬于較復(fù)雜的行程問題。追及問題中的各數(shù)量關(guān)系是：路程差=速度差追及時間；速度差=路程差247。追及時間；追及時間=路程差247。速度差；解答追及問題可適當(dāng)?shù)倪x擇畫圖法、假設(shè)法、比較法等思考方法解題。在解決同向問題時，要注意以下幾點：（1）要弄清題意，緊扣速度差、追及時間和路程差這三個量之間的基本關(guān)系；（2）對復(fù)雜的同向運動問題，可以借助直觀圖來幫助理解題意，分析數(shù)量關(guān)系；（3）要注意運動物體的出發(fā)點、出發(fā)時間、行走方向、善于撲捉速度、時間、路程對應(yīng)關(guān)系。（4）要善于聯(lián)想、轉(zhuǎn)化、使隱藏的數(shù)量關(guān)系明朗化，找準(zhǔn)理解題目的突破口。第一課時教學(xué)內(nèi)容：掌握簡單的追及問題教學(xué)目標(biāo)：理解和掌握簡單的追及問題 教學(xué)重點：掌握追及問題的基本公式 教學(xué)難點：利用公式求簡單的追及問題 教學(xué)過程：一、談話導(dǎo)入。今天我們來學(xué)習(xí)行程問題當(dāng)中的追及問題，它屬于同向運動中的一種，下面我們就通過一個例子來給大家講敘怎樣解決追及問題。例子：兔子在狗前面150米，一步跳2米，狗更快，一步跳3米，狗追上兔子需要跳多少步？我們知道，狗跳一步要比兔子跳一步遠3—2=1（米），也就是狗跳一步可以追上兔子1米，現(xiàn)在狗與兔子相距150米，因此，只要算出150米中有幾個1米，那么就知道狗跳了多少步追上兔子的。不難看出150247。1=150（步），這是狗跳的步數(shù)。這里兔在前面跳，狗在后面追，它們一開始相差150米，這150米叫做“追及距離”；兔子每步跳2米，狗每步跳3米，它們每步相差1米，這個叫“速度差”；狗追上兔子所需的步數(shù)叫做“追及步數(shù)”有時是以秒、分鐘、小時計算，則叫“追及時間”，像這種包含追及距離、速度差和追及時間（追及步數(shù)）三個量的應(yīng)用題，叫做追及問題。解決追及問題的基本關(guān)系式是：路程差=速度差追及時間；速度差=路程差247。追及時間；追及時間=路程差247。速度差 在解決追及問題中，我們要抓住一個不變量，即追趕者所用時間與被追趕者所用的時間是相等的，都等于追及時間。大家還要注意區(qū)別“追及距離”與“追趕者追上被追趕者所走的距離”這兩個量之間的區(qū)別。就像剛才的例子，“追及距離”為150米，而狗追上兔一共走了3150=450（米）二、新授課：1．明確公式中三個量的含義：速度差：快車比慢車單位時間內(nèi)多行的路程即快車每小時比慢車多行的或每分鐘多行的路程。追及時間：快車追上慢車相差的距離。路程差：快車開始和慢車相差的路程。2．熟悉追及問題的三個基本公式：路程差=速度差追及時間；速度差=路程差247。追及時間；追及時間=路程差247。速度差3．解題技巧：在理解行駛時間、地點、方向等關(guān)系的基礎(chǔ)上畫出線段圖，分析題意思，尋找路程差及另外兩個量之間的關(guān)系，最終找到解答方法?！纠?】甲、乙兩人相距150米，甲在前，乙在后，甲每分鐘走60米，乙每分鐘走75米，兩人同時向南出發(fā)，幾分鐘后乙追上甲？【思路分析】這道問題是典型的追及問題，求追及時間，根據(jù)追及問題的公式：追及時間=路程差247。速度差150247。（7560）=10（分鐘）答：10分鐘后乙追上甲?！拘〗Y(jié)】提醒學(xué)生熟練掌握追及問題的三個公式?！纠?】 騎車人與行人同一條街同方向前進，行人在騎自行車人前面450米處，行人每分鐘步行60米，兩人同時出發(fā)，3分鐘后騎自行車的人追上行人，騎自行車的人每分鐘行多少米？【思路分析】這道題目，是同時出發(fā)的同向而行的追及問題，要求其中某個速度，就必須先求出速度差，根據(jù)公式：速度差=路程差247。追及時間：速度差：450247。3=150（千米）自行車的速度： 150+60=210（千米）答：騎自行車的人每分鐘行210千米?！拘〗Y(jié)】這道題目在于靈活運用追及問題的三個基本公式求其中任意三個量。【例3】兩輛汽車從A地到B地，第一輛汽車每小時行54千米，第二輛汽車每小時行63 千米，第一輛汽車先行2小時后，第二輛汽車才出發(fā)，問第二輛汽車出發(fā)后幾小時追上第一輛汽車？【思路分析】根據(jù)題意可知，第一輛汽車先行2小時后，第二輛汽車才出發(fā)，畫線段圖分析：從圖中可以看出第一輛行2小時的路程為兩車的路程差，即542=108（千米），兩車相差108米，第二輛車去追第一輛車，第二輛車去追第一輛車，第二輛車每小時比第一輛車每多行6354=9（千米），即為速度差，用 追及時間=路程差247。速度差。解：（1）兩車路程差為：542=108（千米）（2）第二輛車追上所用時間：108 247。（6354）=12（小時）答：第二輛車追上第一輛車所用的時間為12小時?！拘〗Y(jié)】這道追及問題是不同時的，要先算出追及路程?！炯皶r練習(xí)】哥哥和弟弟兩人同時在一個學(xué)校上學(xué)，弟弟以每分鐘80米的速度先去學(xué)校，3分鐘后，哥哥騎車以每分鐘200米的速度也向?qū)W校騎去，那么哥哥幾分鐘追上弟弟？姐妹兩人在同一小學(xué)上學(xué)，妹妹以每分鐘50米的速度從家走向?qū)W校，姐姐比妹妹晚10分鐘出發(fā)，為了不遲到，她以每分鐘150米的速度從家跑步上學(xué)，結(jié)果兩人卻同時到達學(xué)校，求家到學(xué)校的距離有多遠？三、課堂小結(jié)：追及問題的基本公式：路程差=速度差追及時間；速度差=路程差247。追及時間；追及時間=路程差247。速度差第二課時 教學(xué)時間：教學(xué)內(nèi)容：環(huán)形跑道的追及問題教學(xué)目標(biāo)：掌握不同形式的追及問題的解題思路和基本規(guī)律 教學(xué)重點：通過圖形分析追及問題教學(xué)難點：找準(zhǔn)解決環(huán)形路程的追及問題的突破口 教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)：追及問題的三個基本公式。二、新授課：【例4】 一條環(huán)形跑道長400米，甲騎自行車平均每分鐘騎300米，乙跑步，平均每分鐘跑250米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇? 【分析與解】 當(dāng)甲、乙同時同地出發(fā)后，距離漸漸拉大再縮小，最終甲又追上乙，這時甲比乙要多跑1圈，即甲乙的距離差為400米，而甲乙兩人的速度已經(jīng)知道，用環(huán)形跑道長除以速度差就是要求的時間。解：①甲乙的速度差：300250=50（米）②甲追上乙所用的時間：400247。50=8（分鐘）答：經(jīng)過8分鐘兩人相遇?！炯皶r練習(xí)】兩名運動員在湖周圍環(huán)形道上練習(xí)長跑，甲每分鐘跑250米，乙每分鐘跑200米，兩人同時同地同向出發(fā)，經(jīng)過45分鐘甲追上乙，如果兩人同時同地反向出發(fā)，經(jīng)過多少分鐘兩人相遇？【例5】在周長400米的圓的一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每分鐘60米和50米的速度，同時同向出發(fā)，沿圓周行駛，問2小時內(nèi)，甲追上乙多少次？【分析與解】此題屬于追及問題，首先明確路程差和速度差，開始甲、乙在圓徑的兩端，其路程差為圓周長的一半，400247。2=200（米），當(dāng)甲追上乙后，如果再想追上乙必須比乙多行圓的一周的路程，即一周400米為路程差，根據(jù)不同的路程差，我們可以求出甲追上乙一次，所用的時間，在總時間中去掉第一次的追及時間再看剩下的時間里包含幾個“甲追上乙所用的時間”就可以求出2小時內(nèi)甲追上乙的次數(shù)。解：2小時=120分甲第一次追上乙所用的時間：400247。2247。（6050）=20（分）甲第二次開始每追乙一次所用的時間：400247。（6050）=40（分）甲從第二次開始追上乙多少次：（12020）247。40=2次??20秒甲共追上乙多少次：2+1=3（次）答：甲共追上乙3次?！拘〗Y(jié)】這類環(huán)形跑道的追及問題一定要明確路程差和速度差?！炯皶r練習(xí)】在周長為300米得圓形跑道一條直徑的兩端，甲、乙兩人分別以每秒7米，每秒5米的騎車速度同時順時針方向行駛，20分鐘內(nèi)甲追上乙?guī)状危俊纠?】在480米的環(huán)形跑道上，甲、乙兩人同時同地起跑，如果同向而行3分鐘20秒相遇，如果背向而行40秒相遇，已知甲比乙快，求甲、乙的速度？同向行駛，甲乙相遇，說明甲必須比乙多跑一圈，即400米才能與乙相遇，400米正好是兩人的路程差，除以甲追趕乙所用的3分20秒，可知甲、乙的速度差。背向行駛，甲、乙相遇，說明甲、乙必須合走一圈即400米，400米正好上兩人的路程總和除以40秒相遇時間，可知甲、乙的速度和。這樣已知甲、乙的速度和及速度差，可將此題轉(zhuǎn)化或和差關(guān)系的應(yīng)用題，這樣可求出甲、乙的速度分別是多少？解：3分20秒=200秒甲、乙的速度和：400247。40=10（米）甲、乙的速度差：400247。200=2（米）甲的速度為每秒多少米？（10+2）247。2=6（米）乙的速度為每秒多少米？（102）247。2=4（米）答：甲的速度為每秒6米，乙的速度為每秒4米?！拘〗Y(jié)】這類題目是相遇問題和追及問題的結(jié)合，以及和差問題的綜合運用?！炯皶r練習(xí)】甲、乙兩地相距450米，A、B兩人從兩地同時相向而行，經(jīng)過5分鐘相遇，已知A每分鐘比B 每分鐘慢6米，求A、B兩車的速度各是多少米？三、課后練習(xí)： 反向而行 同向而行一圓形跑道周長300米，甲、乙兩人分別從A、B兩端同時出發(fā)，若反向而行1分鐘相遇，若同向而行5分鐘，甲可追上乙，求甲、乙兩人的速度。甲、乙兩人在環(huán)形跑道上練長跑，兩人從同一地點同時同向出發(fā)，已知甲每秒跑6米，乙每秒跑4米，經(jīng)過20分鐘兩人共同相遇6次，問這個跑道多長？甲、乙兩人環(huán)繞周長400米的跑道跑，如果他們從同一地點背向而行，經(jīng)過2分鐘相遇，如果從同一地點同向而行，經(jīng)過20分鐘甲追上乙，求甲、乙兩人每分鐘的速度各是多少？四、課后反思： 第三課時 教學(xué)時間：教學(xué)內(nèi)容：追及問題教學(xué)目標(biāo)：掌握復(fù)雜的追及問題 教學(xué)重點： 教學(xué)難點： 教學(xué)過程：一、新授課：【例7】 一支隊伍長350米，以每秒2米的速度前進，一個人以每秒3米的速度從隊尾趕到隊頭，然后再返回隊尾，一共要用多少分鐘？分析 要求一共要多少分鐘，必須先求出從隊尾趕到隊頭要多少分鐘，再求出從隊頭到隊尾要用多少分鐘，把這兩個時間相加即可?！痉治雠c解】解：①趕上隊頭所需要時間：350247。（32）=350（秒）②返回隊尾所需時間：350247。（3+2）=70（秒）③一共用多少分鐘？350+70=420（秒）=7（分）答：一共要用7分鐘?！炯皶r練習(xí)】一支隊伍長450米，以每秒3米的速度前進，一個通訊員騎車以勻速從隊尾趕到隊頭用了50秒。如果他再返回隊尾，還需要多少秒？【例8】 某校202名學(xué)生排成兩路縱隊，以每秒3米的速度去春游。李老師從隊尾騎自行車以每秒5米的速度到隊頭，然后又返回到隊尾，一共要用多少秒？【分析與解】 要求一共要用多少分鐘，首先必須求出隊伍的長度。解：①這支路隊伍長度：（202247。21）=50(米)②趕上隊頭所需要時間：50247。（53）=25（秒）③返回隊尾所需時間：50247。（5+3）=（秒）④一共用的時間：25+=（秒）答：?！炯皶r練習(xí)】有966名解放軍官兵排成6路縱隊參加抗洪搶險。隊伍行進速度是每秒3米?，F(xiàn)有一通訊員從隊頭趕往隊尾用了16秒鐘。如果他再從隊尾趕到隊頭送信還需要多少時間？【例9】 甲、乙、丙三人從A地出發(fā)到B地。乙比丙晚出發(fā)10分鐘，40分鐘后追上丙；甲比乙晚出發(fā)20分鐘，100分鐘追上乙；甲出發(fā)多少分鐘后追上丙？設(shè)丙的速度為1米/分鐘.(1)當(dāng)乙追上丙時，丙共行了1（40+10）=50米，由此可知乙行50米用了40分鐘，乙的速度為50247。40=（米/分鐘）；(2)當(dāng)甲追乙時，乙已先出發(fā)走了20分鐘，20=25（米），甲乙的速度差為25247。100=（米）。+=（米）。(3)當(dāng)甲追丙時，丙已經(jīng)先出發(fā)走了10+20=30分鐘，這時甲丙的距離1(10+20)=30米，=（米/分鐘），追及時間為30247。=60(分鐘)?！炯皶r練習(xí)】小明、小峰和小光三人都從甲地到乙地，早上6時小明、小峰兩人一起從甲地出發(fā)，小明每小時走5千米，小峰每小時走4千米，小光上午8時從甲地出發(fā)，傍晚6時，小光、小明同時到達乙地。小光什么時候追上小峰？三、課后練習(xí)甲乙兩人在周長400米的環(huán)形跑道上競走，已知乙的速度是平均每分鐘80米，甲在乙前100米，問多少分鐘后，甲可以追上乙？一隊自行車運動員以每小時24千米的速度騎車從甲地到乙地,兩小時后一輛摩托車以每小時56千米的速度也從甲地到乙地,:甲乙兩地相距多少千米?自行車隊出發(fā)12分鐘后，通訊員騎摩托車去追他們，在距離出發(fā)點9千米處追上了自行車隊。然后，通訊員立刻返回出發(fā)點，隨后又返回去追上了自行車隊，再追上時恰好離出發(fā)點18千米，試求自行車隊和摩托車的速度。四、課后反思：第四課時教學(xué)內(nèi)容：追擊問題的練習(xí)題教學(xué)目標(biāo)：掌握各種類型的追擊問題相遇問題 教學(xué)重點：會熟練解決基本的追擊問題 教學(xué)難點：會解決復(fù)雜的追擊問題【例10】兩艘渡船從南岸開往北岸，第一艘以每小時30千米的速度先開，第二艘渡船晚12分鐘，速度為每小時40千米，結(jié)果兩船同時到達，求南北兩岸相距多少千米？ 第一艘【分析與解】根據(jù)題意畫圖：要求南北岸的距離可用第一艘的速度乘以第一艘船所用的時間，或是用第二艘船的速度乘以第二艘船所用的時間。這兩種時間等于追及時間，所以歸為追及問題。第五課時教學(xué)內(nèi)容：追擊問題的練習(xí)題教學(xué)目標(biāo)：掌握各種類型的追擊問題相遇問題 教學(xué)重點：會熟練解決基本的追擊問題 教學(xué)難點：會解決復(fù)雜的追擊問題 教學(xué)過程：甲、乙兩地相距54千米，A、B兩人同時從兩地相向而行，A每小時行4千米，B每小時行5千米，兩人經(jīng)過幾小時相遇？甲、乙兩人同時從學(xué)校向相反方向行駛，甲每分鐘行52千米，乙每分鐘行50千米，經(jīng)過7分鐘后他們相距多少米？他們各自離學(xué)校有多少米？甲、乙兩地相距480米，客車和貨車同時從兩地相向而行，經(jīng)過5小時相遇，客車的速度是每小時50千米，求貨車的速度是每小時多少千米？小明和小紅兩人從相距2280米的兩地相向而行，小明每分鐘行60米，小紅每分鐘行80米，小明出發(fā)