高等數(shù)學11-3-經營管理(已修改)
2025-05-26 20:27 本頁面
【正文】 第三節(jié) 冪級數(shù) ?一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念 ?二、冪級數(shù)及其收斂性 ?三、冪級數(shù)的運算 ?四、小結 練習題 一、函數(shù)項級數(shù)的一般概念 : 設 ?? ),(,),(),(21xuxuxun是定義在 RI ? 上的函數(shù) , 則 ?? ????????)()()()(211xuxuxuxunnn稱為定義在區(qū)間 I 上的 ( 函數(shù)項 ) 無窮級數(shù) .,1 20????????xxxnn例如級數(shù) : 如果 Ix ?0 , 數(shù)項級數(shù) ??? 10 )(nn xu 收斂 , 則稱 0x 為級數(shù) )(1xunn???的 收斂點 , 否則稱為 發(fā)散點 . 所有發(fā)散點的全體稱為 發(fā)散域 . 函數(shù)項級數(shù) )(1xunn???的所有收斂點的全體稱為 收斂域 , )()(l im xsxs nn ???函數(shù)項級數(shù)的部分和 余項 )()()( xsxsxr nn ??(x在收斂域上 ) 0)(l im ??? xrnn注意 函數(shù)項級數(shù)在某點 x的收斂問題 ,實質上是數(shù)項級數(shù)的收斂問題 . : ?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n在收斂域上 , 函數(shù)項級數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs ,稱 )( xs 為函數(shù)項級數(shù)的 和函數(shù) .(定義域是 ?) ),( xsn例 1 求級數(shù) nnnxn)11()1(1 ?????的收斂域 .解 由達朗貝爾判別法 )()(1xuxunn?xnn???? 111 )(11 ???? nx,11 1)1( ?? x當,20 時或即 ??? xx 原級數(shù)絕對收斂 . ,11 ??? x,11 1)2( ?? x當 ,11 ??? x,02 時即 ??? x原級數(shù)發(fā)散 . ,0時當 ?x ????1)1(nnn級數(shù) 收斂 。 ,2 時當 ??x ???11n n級數(shù) 發(fā)散 。 ).,0[)2,( ??????故級數(shù)的收斂域為,1|1|)3( ?? x當 ,20 ???? xx 或二、冪級數(shù)及其收斂性 : 形如 nnn xxa )(00???? 的級數(shù)稱為 冪級數(shù) . ,000nnn xax ???? 時當 其中 na 為 冪級數(shù)系數(shù) . : ,1 20????????xxxnn例如級數(shù)。,1 收斂時當 ?x 。,1 發(fā)散時當 ?x)。1,1( ?收斂域 )。,1[]1,( ??????發(fā)散域定理 1 ( Abel 定理 )如果級數(shù) ??? 0nnn xa 在 )0( 00 ?? xxx 處收斂 , 則它在滿足不等式 0xx ? 的一切 x 處絕對收斂 。如果級數(shù) ??? 0nnn xa 在 0xx ? 處發(fā)散 , 則它在滿足不等式 0xx ? 的一切 x 處發(fā)散 .證明 ,0l im0 ?? ??nnn xa ,)1(00 收斂???nnn xa
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