高等數(shù)學(xué)11-3-經(jīng)營(yíng)管理(已修改)
2025-05-26 20:27 本頁(yè)面
【正文】 第三節(jié) 冪級(jí)數(shù) ?一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念 ?二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 ?三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算 ?四、小結(jié) 練習(xí)題 一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念 : 設(shè) ?? ),(,),(),(21xuxuxun是定義在 RI ? 上的函數(shù) , 則 ?? ????????)()()()(211xuxuxuxunnn稱(chēng)為定義在區(qū)間 I 上的 ( 函數(shù)項(xiàng) ) 無(wú)窮級(jí)數(shù) .,1 20????????xxxnn例如級(jí)數(shù) : 如果 Ix ?0 , 數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) ??? 10 )(nn xu 收斂 , 則稱(chēng) 0x 為級(jí)數(shù) )(1xunn???的 收斂點(diǎn) , 否則稱(chēng)為 發(fā)散點(diǎn) . 所有發(fā)散點(diǎn)的全體稱(chēng)為 發(fā)散域 . 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù) )(1xunn???的所有收斂點(diǎn)的全體稱(chēng)為 收斂域 , )()(l im xsxs nn ???函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和 余項(xiàng) )()()( xsxsxr nn ??(x在收斂域上 ) 0)(l im ??? xrnn注意 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn) x的收斂問(wèn)題 ,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問(wèn)題 . : ?? ????? )()()()( 21 xuxuxuxs n在收斂域上 , 函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和是 x 的函數(shù) )( xs ,稱(chēng) )( xs 為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的 和函數(shù) .(定義域是 ?) ),( xsn例 1 求級(jí)數(shù) nnnxn)11()1(1 ?????的收斂域 .解 由達(dá)朗貝爾判別法 )()(1xuxunn?xnn???? 111 )(11 ???? nx,11 1)1( ?? x當(dāng),20 時(shí)或即 ??? xx 原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂 . ,11 ??? x,11 1)2( ?? x當(dāng) ,11 ??? x,02 時(shí)即 ??? x原級(jí)數(shù)發(fā)散 . ,0時(shí)當(dāng) ?x ????1)1(nnn級(jí)數(shù) 收斂 。 ,2 時(shí)當(dāng) ??x ???11n n級(jí)數(shù) 發(fā)散 。 ).,0[)2,( ??????故級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)?1|1|)3( ?? x當(dāng) ,20 ???? xx 或二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性 : 形如 nnn xxa )(00???? 的級(jí)數(shù)稱(chēng)為 冪級(jí)數(shù) . ,000nnn xax ???? 時(shí)當(dāng) 其中 na 為 冪級(jí)數(shù)系數(shù) . : ,1 20????????xxxnn例如級(jí)數(shù)。,1 收斂時(shí)當(dāng) ?x 。,1 發(fā)散時(shí)當(dāng) ?x)。1,1( ?收斂域 )。,1[]1,( ??????發(fā)散域定理 1 ( Abel 定理 )如果級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 在 )0( 00 ?? xxx 處收斂 , 則它在滿(mǎn)足不等式 0xx ? 的一切 x 處絕對(duì)收斂 。如果級(jí)數(shù) ??? 0nnn xa 在 0xx ? 處發(fā)散 , 則它在滿(mǎn)足不等式 0xx ? 的一切 x 處發(fā)散 .證明 ,0l im0 ?? ??nnn xa ,)1(00 收斂???nnn xa
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