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統(tǒng)計(jì)學(xué)抽樣推斷分析法(已修改)

2025-02-26 02:26 本頁面
 

【正文】 第八章 抽樣推斷分析法 第八章 抽樣推斷分析法 167。 抽樣方法概述 167。 概率與概率分布 167。 抽樣分布 167。 抽樣估計(jì)的方法與應(yīng)用 167。 抽樣推斷誤差的控制 第一節(jié) 抽樣方法概述 一 、 抽樣的概念和特點(diǎn) 抽樣 根據(jù)隨機(jī)原則從總體中抽取一部分單位作為樣本,并根據(jù)樣本數(shù)量特征對總體數(shù)量特征做出具有一定可靠程度的估計(jì)與推斷。 特點(diǎn) 按隨機(jī)原則抽取樣本單位 用部分信息推斷總體數(shù)量特征 抽樣推斷具有一定的概率保證程度 抽樣誤差可以事先計(jì)算并控制 ?抽樣的應(yīng)用 對不可能進(jìn)行全面調(diào)查的社會現(xiàn)象 對不必要進(jìn)行全面調(diào)查的社會現(xiàn)象 對普查資料進(jìn)行必要的修正 二 、 有關(guān)抽樣的幾個(gè)基本概念 樣本 從總體抽取出的、用以代表和推斷總體的部分單位的集合體。 注意 1.樣本的單位必須取自總體; 2. 由一個(gè)總體可以抽取許多樣本; 3. 樣本的抽取必須排除主觀因素的影響 , 以確保其客觀性與代表性 。 樣本容量和樣本個(gè)數(shù) ? 樣本容量: 一個(gè)樣本中所包含的個(gè)體單位數(shù) ,一般用 n表示 。 ? 樣本個(gè)數(shù): 一個(gè)抽樣方案中所有的可能被抽取的樣本的總數(shù)量 , 即可能的樣本個(gè)數(shù) 。 第二節(jié) 概率與概率分布 一、樣本空間及簡單隨機(jī)抽樣方式 試驗(yàn) 從總體中隨機(jī)抽取一個(gè)單位并把結(jié)果記錄下來稱為一次試驗(yàn) 。 樣本 ( 點(diǎn) ) 連續(xù) n次試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成一個(gè)樣本 ( 點(diǎn) ) 。 樣本空間 以全部樣本點(diǎn)為元素組成的集合稱為樣本空間 。 簡單隨機(jī)抽樣的兩種方式 重復(fù)抽樣 每次從 N個(gè)單位的總體中隨機(jī)抽取 1個(gè)單位,登記后放回總體參加下一次的抽取,連續(xù)進(jìn)行 n次。 n個(gè)單位的樣本由 n次連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成。 每次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。 每次試驗(yàn)都在相同條件下進(jìn)行,每個(gè)單位被選中的機(jī)會 (概率 )在各次是相同的。 特點(diǎn): 簡單隨機(jī)抽樣的兩種方式 不重復(fù)抽樣 每次從 N個(gè)單位的總體中隨機(jī)抽取1個(gè)單位,登記后不放回原總體,下次從總體中余下的單位里抽取,連續(xù)進(jìn)行 n次。 n個(gè)單位的樣本由 n次連續(xù)試驗(yàn)構(gòu)成,由于每次抽出后不放回,所以相當(dāng)于從總體中同時(shí)抽取 n個(gè)樣本單位。 每次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立。 每抽一次總體的單位數(shù)少一個(gè),每個(gè)單位被選中的機(jī)會 (概率 )在各次是不等的。 特點(diǎn): 簡單隨機(jī)抽樣的樣本個(gè)數(shù) 重復(fù)抽樣 如果考慮順序,可能的樣本個(gè)數(shù)是 。 nN不重復(fù)抽樣 如果考慮順序,可能的樣本個(gè)數(shù)為 ; 如果不考慮順序,可能的樣本個(gè)數(shù)為 。 )!(!nNN? !)!(!nnNN?二 、 事件及其概率 事件 樣本空間中滿足給定性質(zhì)的樣本點(diǎn)組成事件。 簡單事件 復(fù)合事件 對應(yīng)樣本空間中一個(gè)樣本點(diǎn)的事件,是不可再分事件 (基本事件 )。 由若干個(gè)簡單事件結(jié)合成的事件。 必然事件 不可能事件 每次實(shí)驗(yàn)中必定發(fā)生,是樣本空間本身。 在任何實(shí)驗(yàn)中都不發(fā)生,是空集。 實(shí)驗(yàn)中發(fā)生該事件的可能性大小。 若樣本空間中各樣本點(diǎn)出現(xiàn)的可能性大小相同,可用樣本空間中屬于該事件的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)與樣本空間中全部樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)之比來計(jì)算。 事件 A、 B之和 A?B表示事件 A或事件 B發(fā)生。 A?B??A?B 事件發(fā)生的概率 事件的和 事件的積 復(fù)合事件的概率是簡單事件的概率通過代數(shù)運(yùn)算得到的。 事件 A、 B之積 AB表示事件 A和事件 B同時(shí)發(fā)生。 AB???A?B 兩種常用的復(fù)合事件的概率 互不相容事件的和的概率 A、 B互不相容表示 AB?Ф??若事件 A與事件 B互不相容 ,則 :P(A+B)=P(A)+P(B)。 概率的加法定理: 幾個(gè) 互不相容事件中至少一個(gè)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率之和。 推論 設(shè) 表示 A的對立事件,則: P( )=1P(A) AA兩種常用的復(fù)合事件的概率 互相獨(dú)立事件的積的概率 A、 B互相獨(dú)立表示事件 B發(fā)生與否對事件 A沒有影響。 ??若事件 A與事件 B互相獨(dú)立 ,則 :P(AB)=P(A)P(B)。 概率的乘法定理: 幾個(gè) 互相獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率等于這幾個(gè)事件各自發(fā)生的概率之積。 推論 設(shè) A、 B互相獨(dú)立,則: P(A+B)=P(A)+P(B)P(A)P(B) 隨機(jī)變量 離散型隨機(jī)變量 連續(xù)型隨機(jī)變量 三 、 離散型隨機(jī)變量的概率分布 概率分布表 將離散型隨機(jī)變量的所有可能取值及相應(yīng)的概率按順序列成表。 ??X X x1 x2 … xn … x1 x2 … … P P p(x1) p(x2) … p(xn) … p(x1)p(x2) … … nx ? ?nxp(i=1,2, …) 離散型隨機(jī)變量的概率分布也可以用等式表述為: ? ?? ?i ixp 1離散型隨機(jī)變量的概率分布的性質(zhì): ? ? 10 ?? ixp(i=1,2, …) ; ? ?ii xpxXp ?? )(例: 連續(xù)拋兩次硬幣,正面向上的次數(shù)的概率分布為: 412121)2(2121212121)1(412121)0(??????????????XpXpXp離散型隨機(jī)變量的概率分布還可以用 概率分布函數(shù) 來表示。 ? ?RxxXpxF ??? )()(? ?)()()()()()()()()()(121221211211221xFxFxXpxXpxXxpxXxpxXpxXxxXpxXp,xx????????????????????? 有對任意實(shí)數(shù)例: 連續(xù)拋兩次硬幣,正面向上的次數(shù)的概率分布用 分布函數(shù) 表示為: ????????????????????????)2(1)21(43)10(41)0(0)()(xxxxxXPxF一次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果:事件 A發(fā)生或 A不發(fā)生 貝努里試驗(yàn) n重貝努里試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)的次數(shù) k服從二項(xiàng)分布 。 nn qpC 00 111 ?nn qpC 222 ?nn qpC 0pC nnnk 0 1 2 … n 0 1 2 … n P … k … 四、連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布 連續(xù)型隨機(jī)變量的概率分布只能用概率分布函數(shù) 來表示。 ? ????? x dxxfxXpxF )()()(其中 f(x)是分布函數(shù) F(x)的導(dǎo)數(shù),稱為 密度函數(shù) 。 xxxXxpxxFxxFxfxx???????????????)(li m)()(li m)(00連續(xù)型隨機(jī)變量的密度函數(shù) 的性質(zhì): f(x)≥0 ? ?????? 1d xxf ????baxxfbXap d)()( a b x P(a Xb) f(x) 五、隨機(jī)變量的數(shù)值特征 常用的有: 數(shù)學(xué)期望、方差 離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 (一)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ? ? ? ????iii xpxXE?連續(xù)型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望 ? ? ?????? xxxfXE d)(?數(shù)學(xué)期望的兩個(gè)重要性質(zhì): )()()()(:,2)()()()()(:,),(,),(),(:,12121212121212121nnnnnnnnXEXEXEXXXEXXXn、XEXEXEXXXEXEXXXXXEXEXEXXXn、?????????????????????則相互獨(dú)立個(gè)隨機(jī)變量設(shè)則的數(shù)學(xué)期望分別為個(gè)隨機(jī)變量設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量的方差 ? ? ? ? ? ????????? xxfxXE d222 ???(二)隨機(jī)變量的方差 離散型隨機(jī)變量的方差 ? ? ? ?? ?iii xpx22 ?方差的兩個(gè)重要性質(zhì): nXnXnnnXnXXXXXXX、XXXXXXXXXXXXn、nnnnnnniinnnnn??????????????????????????????????????????????????????????????????)(,)(:,1)(:,,2)()()(:,,:,12222222122221222221221212112222212122212222121則若則相互獨(dú)立設(shè)則方差分別為相互獨(dú)立個(gè)隨機(jī)變量設(shè)???????????六、正態(tài)分布 —— 最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量分布 正態(tài)分布的密度函數(shù) ? ?? ?? ?????????xxfx222e21????稱隨機(jī)變量 X服從 均值 為 μ, 方差 為 σ2 的正態(tài)分布,記為 X~N(μ, σ2 )。 f(x) x f(x) ?? 1?? 2??正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線 μ是該分布的中心, σ是標(biāo)準(zhǔn)差,反映分布的離散程度, σ越大,分布曲線越平緩,離散程度越大;σ越小,分布曲線越陡峭,分布越集中。 ?正態(tài)分布的分布函數(shù) ? ???????????xtxdtdttfxF222e21)()(????利用正態(tài)分布函數(shù)可計(jì)算正態(tài)分布隨機(jī)變量 X落在任意區(qū)間的概率: ? ?????????baxdxaFbFbXaP 222e21)()()( ????對于不同的 μ和 σ2都要計(jì)算上述積分很麻煩。 標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布 μ=0, σ=1的正態(tài)
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