【正文】 第九章第九章 時間序列模型時間序列模型 關于標準回歸技術及其預測和檢驗我們已經(jīng)在前面的章節(jié)討論過了，本章著重于時間序列模型的估計和定義，這些分析均是基于單方程回歸方法。 這一部分屬于動態(tài)計量經(jīng)濟學的范疇。通常是運用時間序列的過去值、當期值及滯后擾動項的加權和建立模型，來 “ 解釋 ” 時間序列的變化規(guī)律。 1主要內容l 167。 序列相關理論序列相關理論l 167。 平穩(wěn)時間序列建模平穩(wěn)時間序列建模l 167。 非平穩(wěn)時間序列建模非平穩(wěn)時間序列建模l 167。 協(xié)整和誤差修正模型協(xié)整和誤差修正模型2167。167。 序列相關理論序列相關理論 第 6章在對擾動項 ut的一系列假設下，討論了古典線性回歸模型的估計、檢驗及預測問題。如果線性回歸方程的擾動項 ut 滿足古典回歸假設，使用 OLS所得到的估計量是線性無偏最優(yōu)的。 但是如果擾動項 ut不滿足古典回歸假設，回歸方程的估計結果會發(fā)生怎樣的變化呢？理論與實踐均證明，擾動項 ut關于任何一條古典回歸假設的違背，都將導致回歸方程的估計結果不再具有上述的良好性質。因此，必須建立相關的理論，解決擾動項不滿足古典回歸假設所帶來的模型估計問題。 3167。167。 序列相關及其產(chǎn)生的后果序列相關及其產(chǎn)生的后果 對于線性回歸模型 () 隨機誤差項之間不相關，即無序列相關的基本假設為 () 如果擾動項序列 ut表現(xiàn)為： () 4 即對于不同的樣本點，隨機擾動項之間不再是完全相互獨立的，而是存在某種相關性，則認為出現(xiàn)了序列相關性（ serial correlation）。由于通常假設隨機擾動項都服從均值為 0，同方差的正態(tài)分布，則序列相關性也可以表示為： ()特別的，如果僅存在 ()稱為 一階序列相關 ，這是一種最為常見的序列相關問題。 5 如果回歸方程的擾動項存在序列相關，那么應用最小二乘法得到的參數(shù)估計量的方差將被高估或者低估。因此，檢驗參數(shù)顯著性水平的 t統(tǒng)計量將不再可信?？梢詫⑿蛄邢嚓P可能引起的后果歸納為： ② 使用 OLS公式計算出的標準差不正確，相應的 顯著性水平的檢驗不再可信 ； ③ 如果在方程右邊有滯后因變量， OLS估計是有偏的且不一致。 ① 在線性估計中 OLS估計量不再是有效的； 6 EViews提供了檢測序列相關和估計方法的工具。但首先必須排除虛假序列相關。 虛假序列相關是指模型的序列相關是由于省略了顯著的解釋變量而引起的。例如 ，在生產(chǎn)函數(shù)模型中，如果省略了資本這個重要的解釋變量，資本對產(chǎn)出的影響就被歸入隨機誤差項。由于資本在時間上的連續(xù)性，以及對產(chǎn)出影響的連續(xù)性，必然導致隨機誤差項的序列相關。所以在這種情況下，要把顯著的變量引入到解釋變量中。167。 序列相關的檢驗方法序列相關的檢驗方法 7 EViews提供了以下幾種檢測序列相關的方法。1． . 統(tǒng)計量檢驗 DurbinWatson 統(tǒng)計量（簡稱 ）用于檢驗一階序列相關，還可估算回歸模型鄰近殘差的線性聯(lián)系。對于擾動項 ut建立一階自回歸方程： () 原假設： ? = 0，備選假設是 ? ? 0。 8 如果序列不相關， 2附近。 如果存在正序列相關， 2。 如果存在負序列相關， 2～ 4之間。 正序列相關最為普遍。根據(jù)經(jīng)驗，對于有大于 50個觀測值和較少解釋變量的方程， 況，說明殘差序列存在強的正一階序列相關。 9 DubinWaston 統(tǒng)計量檢驗序列相關有三個統(tǒng)計量檢驗序列相關有三個 主要不足主要不足 ：： 1． DW 統(tǒng)計量的擾動項在原假設下依賴于數(shù)據(jù)矩陣 X。 2．回歸方程右邊如果存在滯后因變量， DW 檢驗不再有效。 3．僅僅檢驗是否存在一階序列相關。 其他兩種檢驗序列相關方法： Q統(tǒng)計量和 BreushGodfrey LM檢驗克服了上述不足，應用于大多數(shù)場合。 10 2 . 相關圖和相關圖和 Q 統(tǒng)計量統(tǒng)計量 我們還可以應用所估計回歸方程殘差序列的自相關和偏自相關系數(shù)（在本章 式），以及 LjungBox Q 統(tǒng)計量來檢驗序列相關。 Q 統(tǒng)計量的表達式為： 其中： rj是殘差序列的 j 階自相關系數(shù)， T是觀測值的個數(shù)， p是設定的滯后階數(shù) 。()11 p階滯后的 Q 統(tǒng)計量的 原假設是：序列不存在p階自相關；備選假設為：序列存在 p階自相關 。 如果 Q 統(tǒng)計量在某一滯后階數(shù)顯著不為零，則說明序列存在某種程度上的序列相關。在實際的檢驗中，通常會計算出不同滯后階數(shù)的 Q 統(tǒng)計量、自相關系數(shù)和偏自相關系數(shù)。如果各階 Q 統(tǒng)計量都沒有超過由設定的顯著性水平?jīng)Q定的臨界值，則不拒絕原假設，即不存在序列相關，并且此時，各階的自相關和偏自相關系數(shù)都接近于 0。12 反之，如果在某一滯后階數(shù) p， Q 統(tǒng)計量超過設定的顯著性水平的臨界值，則拒絕原假設，說明殘差序列存在 p階自相關。由于 Q統(tǒng)計量的 P值要根據(jù)自由度 p來估算，因此，一個較大的樣本容量是保證 Q 統(tǒng)計量有效的重要因素。 在 EViews軟件中的操作方法： 在方程工具欄選擇 View/Residual Tests/correlogramQstatistics 。 EViews將顯示殘差的自相關和偏自相關函數(shù)以及對應于高階序列相關的 LjungBox Q統(tǒng)計量。 如果殘差不存在序列相關，在各階滯后的自相關和偏自相關值都接近于零。所有的 Q統(tǒng)計量不顯著，并且有大的 P值 。13例例 :利用相關圖檢驗殘差序列的相關性利用相關圖檢驗殘差序列的相關性 下面是這些檢驗程序應用的例子，考慮用普通最小二乘估計的簡單消費函數(shù)的結果： 14 瀏覽這些結果：系數(shù)在統(tǒng)計上是很顯著的，并且擬合得很好。但是，如果誤差項是序列相關的，那么估計 OLS標準誤差將是無效的，并且估計系數(shù)由于在方程右端有滯后因變量會發(fā)生偏倚和不一致。在這種情況下 DW 統(tǒng)計量作為序列相關的檢驗是不合適的，因為在方程右端存在著一個滯后因變量。選擇 View/Residual test/CorrelogramQstatistice會產(chǎn)生如下情況： 1516 虛線之間的區(qū)域是自相關中正負兩倍于估計標準差所夾成的。如果自相關值在這個區(qū)域內，則在顯著水平為 5% 的情形下與零沒有顯著區(qū)別。 本例 1～ 3階的自相關系數(shù)都超出了虛線，說明存在 3階序列相關。各階滯后的 Q統(tǒng)計量的 P值都小于 5% ，說明在 5% 的顯著性水平下，拒絕原假設，殘差序列存在序列相關。 173 . 序列相關序列相關 LM檢驗檢驗 與 關不同， BreushGodfrey LM檢驗（ Lagrange multiplier，即拉格朗日乘數(shù)檢驗）也可應用于檢驗回歸方程的殘差序列是否存在高階自相關，而且在方程中存在滯后因變量的情況下， LM檢驗仍然有效。 LM檢驗原假設為：直到 p階滯后不存在序列相關， p為預先定義好的整數(shù)；備選假設是：存在 p階自相關。 檢驗統(tǒng)計量由如下輔助回歸計算。 18 1）估計回歸方程，并求出殘差 et () 2) 檢驗統(tǒng)計量可以基于如下回歸得到 () 這是對原始回歸因子 Xt 和直到 p階的滯后殘差的回歸。 LM檢驗通常給出兩個統(tǒng)計量： F統(tǒng)計量和 TR2統(tǒng)計量 。 F統(tǒng)計量是對式（ ）所有滯后殘差聯(lián)合顯著性的一種檢驗。 TR2統(tǒng)計量是 LM檢驗統(tǒng)計量，是觀測值個數(shù) T乘以回歸方程（ ）的 R2。一般情況下， TR2統(tǒng)計量服從漸進的 分布。 19 在給定的顯著性水平下，如果這兩個統(tǒng)計量小于設定顯著性水平下的臨界值，說明序列在設定的顯著性水平下不存在序列相關；反之，如果這兩個統(tǒng)計量大于設定顯著性水平下的臨界值，則說明序列存在序列相關性。 在軟件中的操作方法： 選擇 View/Residual Tests/Serial correlation LM Test，一般地對高階的，含有 ARMA誤差項的情況執(zhí)行 BreushGodfrey LM。在滯后定義對話框，輸入要檢驗序列的最高階數(shù)。20 上一例子中相關圖在滯后值 3時出現(xiàn)峰值。 Q統(tǒng)計量在各階滯后值中都具有顯著性，它顯示的是殘差中的顯著序列相關。 進行序列相關的 LM檢驗，選擇 View/Residual Tests/Serial Correlation LM Test，輸入 p =2產(chǎn)生如下結果： 例例 : 關于殘差序列相關的關于殘差序列相關的 LM檢驗檢驗 (1)21 此檢驗拒絕直至 2階的無序列相關的假設。Q統(tǒng)計和 LM檢驗都表明： 殘差是序列相關的，因此方程在被用于假設檢驗和預測之前應該重新定義。 22例例 : 關于殘差序列相關的關于殘差序列相關的 LM檢驗檢驗 (2) 考慮美國的一個投資方程。美國的 GNP和國內私人總投資 INV是單位為 10億美元的名義值，價格指數(shù) P為 GNP的平減指數(shù)（ 1972=100），利息率 R為半年期商業(yè)票據(jù)利息?；貧w方程所采用的變量都是實際 GNP和實際投資；它們是通過將名義變量除以價格指數(shù)得到的，分別用小寫字母 gnp， inv表示。實際利息率的近似值 r則是通過貼現(xiàn)率 R減去價格指數(shù)變化率 p得到的。樣本區(qū)間： 1963年～ 1984年，應用最小二乘法得到的估計方程如下： 23 t =（ ） （ ） R2= .= 從 ，這個模型存在正的序列相關，但是，看起來還不是強的正序列相關。 24圖 回歸方程殘差圖圖 回歸方程殘差圖圖 回歸方程殘差圖 從殘差圖 。所以，再采取上面介紹的其他檢驗序列相關的方法檢驗殘差序列的自相關性。 25下面采用 LM 統(tǒng)計量進行檢驗 (p=2)，得到結果如下： LM統(tǒng)計量顯示，在 5% 的顯著性水平拒絕原假設，回歸方程的殘差序列存在序列相關性。因此，回歸方程的估計結果不再有效，必須采取相應的方式修正殘差的自相關性。當然，對于這個例子，我們也可以用 Q統(tǒng)計量進行檢驗，而且效果更為直觀，更有利于實際建模，但是這涉及到序列自相關和偏自相關系數(shù)的理論。26167。 擾動項存在序列相關的擾動項存在序列相關的線性回歸方程的估計與修正線性回歸方程的估計與修正 線性回歸模型擾動項序列相關的存在，會導致模型估計結果的失真。因此，必須對擾動項序列的結構給予正確的描述，以期消除序列相關對模型估計結果帶來的不利影響。 通常可以用 AR(p) 模型來描述一個平穩(wěn)序列的自相關的結構，定義如下： () ()27其中： ut 是無條件誤差項，它是回歸方程（ ）的誤差項，參數(shù) ?0， ?1, ? 2 , ? , ?k是回歸模型的系數(shù)。式（ ）是誤差項 ut的 p階自回歸模型，參