空間解析幾何與向量代數(shù)(已修改)
2025-10-07 17:11 本頁面
【正文】 第七章 空間解析幾何與向量代數(shù)第一節(jié) 空間直角坐標(biāo)系教學(xué)目的：將學(xué)生的思維由平面引導(dǎo)到空間，使學(xué)生明確學(xué)習(xí)空間解析幾何的意義和目的。教學(xué)重點： 教學(xué)難點：空間思想的建立教學(xué)內(nèi)容：一、空間直角坐標(biāo)系1．將數(shù)軸（一維）、平面直角坐標(biāo)系（二維）進一步推廣建立空間直角坐標(biāo)系（三維）如圖7－1，其符合右手規(guī)則。即以右手握住軸，當(dāng)右手的四個手指從正向軸以角度轉(zhuǎn)向正向軸時，大拇指的指向就是軸的正向。2． 間直角坐標(biāo)系共有八個卦限，各軸名稱分別為：軸、軸、軸，坐標(biāo)面分別為面、面、面。坐標(biāo)面以及卦限的劃分如圖7－2所示。3． 圖7－1右手規(guī)則演示圖 圖7－2空間直角坐標(biāo)系圖 圖7－3空間兩點的距離圖3．空間點的坐標(biāo)表示方法。通過坐標(biāo)把空間的點與一個有序數(shù)組一一對應(yīng)起來。注意：特殊點的表示a)在原點、坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面上的點；b)關(guān)于坐標(biāo)軸、坐標(biāo)面、原點對稱點的表示法。二．4．空間兩點間的距離。 若、為空間任意兩點， 則的距離（見圖7－3），利用直角三角形勾股定理為：而 所以特殊地：若兩點分別為，例1：求證以、三點為頂點的三角形是一個等腰三角形。證明: 由于 ，原結(jié)論成立。例2：設(shè)在軸上，它到的距離為到點的距離的兩倍，求點的坐標(biāo)。解：因為在軸上，設(shè)P點坐標(biāo)為 所求點為：，二、向量的概念1．向量：既有大小，又有方向的量。在數(shù)學(xué)上用有向線段來表示向量，其長度表示向量的大小，其方向表示向量的方向。在數(shù)學(xué)上只研究與起點無關(guān)的自由向量（以后簡稱向量）。2． 量的表示方法有: 、等等。3． 向量相等：如果兩個向量大小相等，方向相同，則說（即經(jīng)過平移后能完全重合的向量）。4． 量的模：向量的大小，記為、。模為1的向量叫單位向量、模為零的向量叫零向量。零向量的方向是任意的。5． 量平行：兩個非零向量如果它們的方向相同或相反。零向量與如何向量都平行。6． 負向量：大小相等但方向相反的向量，記為三、向量的運算1．加減法： 加法運算規(guī)律：平行四邊形法則（有時也稱三角形法則），其滿足的運算規(guī)律有交換率和結(jié)合率見圖7－4 圖7－4 加法運算圖2． 即3．向量與數(shù)的乘法：設(shè)是一個數(shù)，向量與的乘積規(guī)定為時，與同向，時，時，與反向，其滿足的運算規(guī)律有：結(jié)合率、分配率。設(shè)表示與非零向量同方向的單位向量，那么定理1：設(shè)向量a≠0，那么，向量b平行于的充分必要條件是：存在唯一的實數(shù)λ，使b＝例1：在平行四邊形ABCD中，設(shè)，試用和b表示向量、和，這里M是平行四邊形對角線的交點。（見圖7－5） 圖7－4解：，于是由于， 于是又由于，于是由于， 于是 第二節(jié) 向量的坐標(biāo)教學(xué)目的：進一步介紹向量的坐標(biāo)表示式、為空間曲面等相關(guān)知識打好基礎(chǔ)。教學(xué)重點： 教學(xué)難點： 教學(xué)內(nèi)容：一、向量在軸上的投影1．幾個概念(1) 軸上有向線段的值：設(shè)有一軸，是軸上的有向線段，如果數(shù)滿足，且當(dāng)與軸同向時是正的，當(dāng)與軸反向時是負的，那么數(shù)叫做軸上有向線段的值，記做AB，即。設(shè)e是與軸同方向的單位向量，則(2) 設(shè)A、B、C是u軸上任意三點，不論三點的相互位置如何，總有(3) 兩向量夾角的概念：設(shè)有兩個非零向量和b，任取空間一點O，作，規(guī)定
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