解析幾何試題及答案(已修改)
2025-08-17 16:39 本頁(yè)面
【正文】 解析幾何1.（21）（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)，點(diǎn)的坐標(biāo)為（1,1），點(diǎn)在拋物線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)滿(mǎn)足，經(jīng)過(guò)點(diǎn)與軸垂直的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)，點(diǎn)滿(mǎn)足,求點(diǎn)的軌跡方程。（21）（本小題滿(mǎn)分13分）本題考查直線(xiàn)和拋物線(xiàn)的方程，平面向量 的概念，性質(zhì)與運(yùn)算，動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等基本知識(shí)，考查靈活運(yùn)用知識(shí)探究問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，全面考核綜合數(shù)學(xué)素養(yǎng). 解：由知Q，M，P三點(diǎn)在同一條垂直于x軸的直線(xiàn)上，故可設(shè) ① 再設(shè) 解得 ②，將①式代入②式，消去，得 ③，又點(diǎn)B在拋物線(xiàn)上，所以， 再將③式代入，得 故所求點(diǎn)P的軌跡方程為2.（17）（本小題滿(mǎn)分13分）設(shè)直線(xiàn)（I）證明與相交；（II）證明與的交點(diǎn)在橢圓（17）（本小題滿(mǎn)分13分）本題考查直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系，線(xiàn)線(xiàn)相交的判斷與證明，點(diǎn)在曲線(xiàn)上的判斷與證明，橢圓方程等基本知識(shí)，考查推理論證能力和運(yùn)算求解能力. 證明：（I）反證法，假設(shè)是l1與l2不相交，則l1與l2平行，有k1=k2，代入k1k2+2=0，得此與k1為實(shí)數(shù)的事實(shí)相矛盾. 從而相交.（II）（方法一）由方程組，解得交點(diǎn)P的坐標(biāo)為，而此即表明交點(diǎn)（方法二）交點(diǎn)P的坐標(biāo)滿(mǎn)足， ，整理后，得所以交點(diǎn)P在橢圓：，過(guò)點(diǎn)（m，0）作圓的切線(xiàn)l交橢圓G于A，B兩點(diǎn)。（1）求橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)和離心率；（2）將表示為m的函數(shù)，并求的最大值。（19）解：（Ⅰ）由已知得所以所以橢圓G的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，離心率為（Ⅱ）由題意知，.當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)l的方程，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為此時(shí)當(dāng)m=－1時(shí)，同理可得當(dāng)時(shí)，設(shè)切線(xiàn)l的方程為由；設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，則；又由l與圓所以由于當(dāng)時(shí)，因?yàn)榍耶?dāng)時(shí)，|AB|=2，所以|AB|的最大值為2.．（本小題共14分）已知橢圓的離心率為，右焦點(diǎn)為（,0），斜率為I的直線(xiàn)與橢圓G交與A、B兩點(diǎn)，以AB為底邊作等腰三角形，頂點(diǎn)為P（3,2）.（I）求橢圓G的方程；（II）求的面積.（19）解：（Ⅰ）由已知得解得，又所以橢圓G的方程為（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)l的方程為由得設(shè)A、B的坐標(biāo)分別為AB中點(diǎn)為E，則；因?yàn)锳B是等腰△PAB的底邊，所以PE⊥=2。此時(shí)方程①為解得所以所以|AB|=.此時(shí)，點(diǎn)P（—3，2）到直線(xiàn)AB：的距離所以△PAB的面積S=．（本小題滿(mǎn)分13分）已知直線(xiàn)l：y=x+m，m∈R。（I）若以點(diǎn)M（2,0）為圓心的圓與直線(xiàn)l相切與點(diǎn)P，且點(diǎn)P在y軸上，求該圓的方程；（II）若直線(xiàn)l關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的直線(xiàn)為，問(wèn)直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C：x2=4y是否相切？說(shuō)明理由。17．本小題主要考查直線(xiàn)、圓、拋物線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類(lèi)與整合思想。滿(mǎn)分13分。解法一：（I）依題意，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，m）因?yàn)?，所以，解得m=2，即點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2）從而圓的半徑故所求圓的方程為（II）因?yàn)橹本€(xiàn)的方程為所以直線(xiàn)的方程為由,（1）當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切（2）當(dāng)，那時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C不相切。綜上，當(dāng)m=1時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切；當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)與拋物線(xiàn)C不相切。解法二：（I）設(shè)所求圓的半徑為r，則圓的方程可設(shè)為依題意，所求圓與直線(xiàn)相切于點(diǎn)P（0，m），則解得所以所求圓的方程為（II）同解法一。.（本小題滿(mǎn)分12分）如圖，直線(xiàn)l：y＝x＋b與拋物線(xiàn)C：x2＝4y相切于點(diǎn)A。（Ⅰ）求實(shí)數(shù)b的值；（Ⅱ）求以點(diǎn)A為圓心，且與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切的圓的方程。18．本小題主要考查直線(xiàn)、圓、拋物線(xiàn)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，滿(mǎn)分12分。解：（I）由，（*）因?yàn)橹本€(xiàn)與拋物線(xiàn)C相切，所以解得b=1。（II）由（I）可知，解得x=2，代入故點(diǎn)A（2，1），因?yàn)閳AA與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)y=1的距離，即所以圓A的方程為. （本小題滿(mǎn)分14分）設(shè)圓C與兩圓中的一個(gè)內(nèi)切，另一個(gè)外切.（1）求C的圓心軌跡L的方程.（2）已知點(diǎn)且P為L(zhǎng)上動(dòng)點(diǎn)，求的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo).19． （1）解：設(shè)C的圓心的坐標(biāo)為，由題設(shè)條件知化簡(jiǎn)得L的方程為（2）解：過(guò)M，F(xiàn)的直線(xiàn)方程為，將其代入L的方程得 解得 因T1在線(xiàn)段MF外，T2在線(xiàn)段MF內(nèi)，故 ，若P不在直線(xiàn)MF上，在中有 故只在T1點(diǎn)取得最大值2。8.（2）設(shè)是定點(diǎn)，切點(diǎn)分別為，：；21．解：（１），直線(xiàn)AB的方程為，即，方程的判別式，兩根或，，又，得，．（２）由知點(diǎn)在拋物線(xiàn)L的下方，①當(dāng)時(shí)，作圖可知，若，則，得；若，顯然有點(diǎn)； ．②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在第二象限，作圖可知，若，則，且；若，顯然有點(diǎn)； ．根據(jù)曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)時(shí)，綜上所述，（*）；由（１）知點(diǎn)M在直線(xiàn)EF上，方程的兩根或，同理點(diǎn)M在直線(xiàn)上，方程的兩根或，若，則不比、小，又，；又由（１）知，；，綜合（*）式，得證．（３）聯(lián)立，得交點(diǎn)，可知，過(guò)點(diǎn)作拋物線(xiàn)L的切線(xiàn)，設(shè)切點(diǎn)為，則，得，解得，又，即，設(shè)，，又，；，．．（本小題滿(mǎn)分14分） 在平面直角坐標(biāo)系中，直線(xiàn)交軸于點(diǎn)A，設(shè)是上一點(diǎn)，M是線(xiàn)段OP的垂直平分線(xiàn)上一點(diǎn)，且
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