【正文】 第四章 平面解析幾何初步第1課時 直線的方程基礎過關1．傾斜角:對于一條與x軸相交的直線,把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角α叫做直線的傾斜角．當直線和x軸平行或重合時，規(guī)定直線的傾斜角為0176。．傾斜角的范圍為________．斜率:當直線的傾斜角α≠90176。時，該直線的斜率即k＝tanα；當直線的傾斜角等于90176。時，直線的斜率不存在．2．過兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式 ．若x1＝x2，則直線的斜率不存在，此時直線的傾斜角為90176。．3．直線方程的五種形式名稱方程適用范圍斜截式點斜式兩點式截距式一般式典型例題例1. 已知直線(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1．① 當m＝ 時，直線的傾斜角為45176。．②當m＝ 時，直線在x軸上的截距為1．③ 當m＝ 時，直線在y軸上的截距為－．④ 當m＝ 時，直線與x軸平行．⑤當m＝ 時，直線過原點．解：(1) －1 ⑵ 2或－ ⑶ 或－2 ⑷－ ⑸ 變式訓練1.（1）直線3y＋x＋2=0的傾斜角是 （ ）A．30176。 B．60176。 C．120176。 D．150176。（2）設直線的斜率k=2，P1（3，5），P2（x2，7），P（－1，y3)是直線上的三點，則x2，y3依次是 （ ）A．－3，4 B．2，－3 C．4，－3 D．4，3（3）直線l1與l2關于x軸對稱，l1的斜率是－，則l2的斜率是 （ ）A． B．－ C． D．－（4）直線l經(jīng)過兩點（1，－2），（－3，4），則該直線的方程是 ． 解：（1）D．提示：直線的斜率即傾斜角的正切值是－．（2）C．提示：用斜率計算公式．（3）A．提示：兩直線的斜率互為相反數(shù)．（4）2y＋3x＋1=0．提示：用直線方程的兩點式或點斜式例2. 已知三點A（1，1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點在同一條直線上.證明 方法一 ∵A（1，1），B（3，3），C（4，5），∴kAB==2,kBC==2，∴kAB=kBC，∴A、B、C三點共線.方法二 ∵A（1，1），B（3，3），C（4，5），∴|AB|=2，|BC|=，|AC|=3，∴|AB|+|BC|=|AC|，即A、B、C三點共線.方法三 ∵A（1，1），B（3，3），C（4，5），∴=（2，4），=（1，2），∴=2.又∵與有公共點B，∴A、B、C三點共線.變式訓練2. 設a，b，c是互不相等的三個實數(shù)，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明 ∵A、B、C三點共線，∴kAB=kAC，∴，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，∴b2c2+abac=0，（bc）（a+b+c）=0，∵a、b、c互不相等，∴bc≠0，∴a+b+c=0.例3. 已知實數(shù)x,y滿足y=x22x+2 (1≤x≤1).試求：的最大值與最小值.解： 由的幾何意義可知，它表示經(jīng)過定點P（2，3）與曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPA≤k≤kPB,由已知可得：A（1，1），B（1，5），∴≤k≤8，故的最大值為8，最小值為.變式訓練3. 若實數(shù)x,y滿足等式(x2)2+y2=3，那么的最大值為 （ ）A. B. C. D.答案D例4. 已知定點P(6, 4)與直線l1:y＝4x，過點P的直線l與l1交于第一象限的Q點，與x軸正半軸交于點M．求使△OQM面積最小的直線l的方程．解：Q點在l1: y＝4x上，可設Q(x0，4x0)，則PQ的方程為：令y＝0，得：x＝(x01)，∴ M(，0)∴ S△OQM＝4x0＝10 ＝10[(x0－1)＋＋2]≥40當且僅當x0－1＝即x0＝2取等號，∴Q(2，8)PQ的方程為：，∴x＋y－10＝0(2，1)，且分別交x軸y軸的正半軸于點A、B，O為坐標原點．(1)當△AOB的面積最小時，求直線l的方程；(2)當取最小值時，求直線l的方程．解：設l：y－1＝k(x－2)(k＜0)則A(2－，0)，B(0，1－2k)①由S＝(1－2k)(2－)＝(4－4k－)≥＝4當且僅當－4k＝－，即k＝－時等號成立∴△AOB的面積最小值為4此時l的方程是x＋2y－4＝0②∵|MA||MB|＝＝＝2≥4當且僅當－k＝－即k＝－1時等號成立此時l的方程為x＋y－3＝0（本題也可以先設截距式方程求解）小結歸納1．直線方程是表述直線上任意一點M的坐標x與y之間的關系式，由斜率公式可導出直線方程的五種形式．這五種形式各有特點又相互聯(lián)系，解題時具體選取哪一種形式，要根據(jù)直線的特點而定．2．待定系數(shù)法是解析幾何中常用的思想方法之一，用此方法求直線方程，要注意所設方程的適用范圍．如：點斜式、斜截式中首先要存在斜率，截距式中橫縱截距存在且不為0，兩點式的橫縱坐標不能相同等（變形后除處）．3．在解析幾何中,設點而不求,往往是簡化計算量的一個重要方法.4．在運用待定數(shù)法設出直線的斜率時，就是一種默認斜率存在，若有不存在的情況時，就會出現(xiàn)解題漏洞，此時就要補救：較好的方法是看圖，數(shù)形結合來找差距.第2課時 直線與直線的位置關系基礎過關（一）平面內(nèi)兩條直線的位置關系有三種________．1．當直線不平行坐標軸時，直線與直線的位置關系可根據(jù)下表判定直線條件關系l1：y＝k1x＋b1l2：y＝k2x＋b2l1：A1x＋B1y＋C1＝0l2：A2x＋B2y＋C2＝0平行重合相交(垂直)2．當直線平行于坐標軸時，可結合圖形判定其位置關系．（二）點到直線的距離、直線與直線的距離1．P(x0，y0)到直線Ax＋By＋C＝0 的距離為______________．2．直線l1∥l2，且其方程分別為：l1：Ax＋By＋C1＝0 l2：Ax＋By＋C2＝0，則l1與l2的距離為 ．（三）兩條直線的交角公式若直線l1的斜率為k1，l2的斜率為k2，則1．直線l1到l2的角θ滿足 ．2．直線l1與l2所成的角(簡稱夾角)θ滿足 ．（四）兩條直線的交點：兩條直線的交點的個數(shù)取決于這兩條直線的方程組成的方程組的解的個數(shù)．（五）五種常用的直線系方程.① 過兩直線l1和l2交點的直線系方程為A1x＋B1y＋C1＋(A2x＋B2y＋C2)＝0(不含l2).② 與直線y＝kx＋b平行的直線系方程為y＝kx＋m (m≠b).③ 過定點(x0, y0)的直線系方程為y－y0＝k(x－x0)及x＝x0.④ 與Ax＋By＋C＝0平行的直線系方程設為Ax＋By＋m＝0 (m≠C).⑤ 與Ax＋By＋C＝0垂直的直線系方程設為Bx－Ay＋C1＝0 (AB≠0).典型例題例1. 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a1)y+a21=0,（1）試判斷l(xiāng)1與l2是否平行；（2）l1⊥l2時，求a的值.解（1）方法一 當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2。當a=0時，l1:y=3,l2:xy1=0,l1不平行于l2。 當a≠1且a≠0時，兩直線可化為l1:y=3,l2:y=(a+1),l1∥l2，解得a=1, 綜上可知，a=1時，l1∥l2，否則l1與l2不平行.