[高考數(shù)學(xué)]平面向量與解析幾何綜合問題(已修改)
2025-01-19 19:44 本頁面
【正文】 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 第 1 頁共 13 頁 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 例 1．已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )3( , b? = jyix ???? )3( ,且滿足 |a? |+|b? |=4. (1)求點 P(x,y)的軌跡 C的方程 . (2)如果過點 Q(0， m)且方向向量為 c? =(1,1) 的直線 l與點 P的軌跡交于 A，B兩點，當(dāng) ? AOB的面積取到最大值時，求 m的值。 解： (1)? a? = jyix ???? )3( , |b? |= jyix ???? )3( ,且 |a? |+|b? |=4. ? 點 P(x,y)到點 ( 3 ,0)， ( 3 ,0)的距離這和為 4，故點 P 的軌跡方程為 14 22 ??yx (2)設(shè) A( 11,yx ),B( 22,yx )依題意直線 AB 的方程為 y=x+，得04485 22 ???? mmxx ，則 1x + 2x =58 m, 1x ? 2x = )1( 254 ?m 因此， 225221 )5( mmdABS A OB ???? 當(dāng) 225 mm ?? 時，即 m= 210? 時， 1max ?S [題設(shè)變式 ] 已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )3( , b? = jyix ???? )3( ,且滿足 ||a? ||b? ||= P(x,y)的軌跡 C 的方程 .(軌跡為雙曲線 ) [題設(shè)變式 ] 已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )3( , b? = jyix ???? )3( ,且滿足 b? ? i? =|a? |.求點 P(x,y)的軌跡 C的方程 . [提示：設(shè) K( 3 ,0)， F ( 3 ,0)，則 b? ? i? 表示 KP 在 x軸上射影，即點 P到 x= 3 的距離，所以點 P 到定點 F 的距離與到定直線 x= 3 的距離比為 1，故點P的軌跡是以 ( 3 ,0)為焦點以 x= 3 為準(zhǔn)線拋 物線 ] [題設(shè)變式 ] 已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )3( , b? = jyix ???? )3( ,且滿足 b? ? i? =? |a? |.求點 P(x,y)的軌跡 C的方程 . [提示：設(shè) K( 3 ,0)， F ( 3 ,0)，則 b? ? i? 表示 KP 在 x軸上射影，即點 P到 x= 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 第 2 頁共 13 頁 3 的距離，所以點 P 到定點 F 的距離與到定直線 x= 3 的距離比為?1 ??iba??? ，當(dāng) 110 ??? 時，點 P 的軌跡是以 ( 3 ,0)為焦點，以 x= 3 為相應(yīng)準(zhǔn)線的橢圓；當(dāng) 11?? 時，點 P的軌跡是以 ( 3 ,0)為焦點，以 x= 3 為相應(yīng)準(zhǔn)線的雙曲線的右支；若想得到雙曲線的雙支 ? 應(yīng)滿足什么條件？ ] [題設(shè)變式 ] 已知平面上兩定點 K、 F， P為一動點，滿足， KFKP? KFPF? .求點 P(x,y)的軌跡 C的方程 .(以 F焦點，過 K且垂直于 KF的直線為準(zhǔn)線的拋物線 ) [題設(shè)變式 ] 已知平面上兩定點 K、 F， P 為一動點，滿足， KFKP? PF?? .求點 P(x,y)的軌跡 C的方程 .(以 F焦點，過 K且垂直于 KF的直線為準(zhǔn)線的圓錐曲線。 ) [考題 ] 已知點 A( 22? ， 0)， B( 2? ， 0)動點 P 滿足 ||||2 BPABABAP ??? (1)若動點 P 的軌跡記作曲線 C1， 求曲線 C1 的方程 . (2)已知曲線 C1交 y 軸正半軸于點 Q，過點 D（ 0， 32? ）作斜率為 k 的直線交曲線 C1 于 M、 N 點，求證：無論 k 如何變化，以 MN 為直徑的圓過點 Q.（解答見附頁） [題設(shè)變式 ] 已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )3( , b? = jyix ???? )3( , 且滿足 | a? + b? |=4..求點 P(x,y)的軌跡 C 的方程 . ( OPBPAP 2?? ,點 P軌跡為圓，其中 A（ 3 ， 0）， B（－ 3 ， 0） ) [題設(shè)變式 ] 已知 ji??, 是 x,y 軸正方向的單位向量，設(shè) a? = jyix ???? )3( , b? = jyix ???? )3( ,且滿足 a? ? b? ＝ P(x,y)的軌跡 C的方程 . (軌跡為圓 ) 例 已知兩 點 M(2， 0)， N(2， 0)，動點 P 在 y 軸上的射影是 H，如果PNPMPHPH ?? , 分別是公比 q=2的等比數(shù)列的第三、第四項 . （ 1）求動點 P 的軌跡 C的方程； （ 2）已知過點 N 的直線 l 交曲線 C 于 x 軸下方兩個不同的點， A、 B，設(shè) R為 AB 的中點，若過點 R 與定點 Q(0， 2)的直線交 x 軸于點 D(x0， 0)，求 x0的取值范圍 . 導(dǎo)析 （ 1 ）設(shè) P(x ， y) ，則 H(0 ， y) ， ),0,( xPH ?? ),2( yxPM ???? ).,2( yxPN ??? 平面向量與解析幾何交匯的綜合問題 第 3 頁共 13 頁 .4)2)(2(, 2222 ??????????? yxyxxPNPMxPHPH所以 又因為 ,2???PHPH PNPM所以有 .24222 ???xyx 所以點 P的軌跡方程為 y2x2=4(x≠ 0). （ 2）設(shè) AB： y=k(x2)， A(x1y1)， B(x2y2)， R(x3y3).
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